Problemas de Cálculo e Álgebra

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4. Problema: Encontre a derivada parcial de \(f(x,y) = x^2 \sin(y)\) em relação a \(x\). 
 Resolução: A derivada parcial de \(f\) em relação a \(x\) é \(2x \sin(y)\). 
 
5. Problema: Determine o ponto de mínimo da função \(f(x) = x^3 - 3x + 2\). 
 Resolução: Igualando a derivada de \(f\) a zero, encontramos que o ponto de mínimo 
ocorre em \(x = 1\), e \(f(1) = 0\). 
 
6. Problema: Calcule a integral definida de \(\int_0^{\pi} x \cos(x) \, dx\). 
 Resolução: Integrando por partes, obtemos \(\pi \sin(\pi) - 1\). 
 
7. Problema: Determine a área da região limitada pelas curvas \(y = x^2\) e \(y = \sqrt{x}\). 
 Resolução: A área é dada pela integral de \(x^2 - \sqrt{x}\) de 0 a 1, que é igual a 
\(\frac{1}{6}\). 
 
8. Problema: Encontre a equação do plano tangente à superfície \(z = x^2 + y^2\) no ponto 
(1,1,2). 
 Resolução: A equação do plano tangente é \(z = 2x + 2y - 2\). 
 
9. Problema: Resolva a equação diferencial \(y'' - 4y = e^{2x}\). 
 Resolução: A solução geral é \(y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} - \frac{1}{4} e^{2x}\). 
 
10. Problema: Determine os valores de \(a\) para os quais a série \(\sum_{n=1}^{\infty} 
\frac{1}{n^a}\) converge. 
 Resolução: A série converge se \(a > 1\), diverge se \(a \leq 1\). 
 
11. Problema: Calcule a integral dupla de \(\int_0^1 \int_0^1 x^2 y \, dy \, dx\). 
 Resolução: A integral é igual a \(\frac{1}{4}\). 
 
12. Problema: Encontre a derivada de \(f(x) = \ln(\cos(x))\) em relação a \(x\). 
 Resolução: A derivada é \(-\tan(x)\). 
 
13. Problema: Determine os pontos de máximo e mínimo local da função \(f(x) = x^3 - 6x^2 
+ 9x + 1\).