Problemas de Cálculo Matemático

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55. Problema: Resolva a equação diferencial \(y' + y = \sin(x)\). 
 Resposta: A solução é \(y = Ce^{-x} - \cos(x) + \sin(x)\), onde \(C\) é uma constante 
arbitrária. Explicação: Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem não 
homogênea. 
 
56. Problema: Calcule a integral indefinida de \(\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\). 
 Resposta: A integral indefinida é \(\arctan(x) + C\), onde \(C\) é uma constante arbitrária. 
Explicação: Usamos a integral da tangente inversa. 
 
57. Problema: Determine a solução geral da equação diferencial \(y'' - 4y' + 4y = 0\). 
 Resposta: A solução geral é \(y = (C_1 + C_2x)e^{2x}\), onde \(C_1\) e \(C_2\) são 
constantes arbitrárias. Explicação: Esta é uma equação diferencial homogênea de 
segunda ordem com coeficientes constantes. 
 
58. Problema: Encontre a inversa da função \(f(x) = 3x^2 + 1\). 
 Resposta: A inversa de \(f(x)\) é \(f^{-1}(x) = \sqrt{\frac{x - 1}{3}}\). Explicação: Trocamos 
\(x\) por \(y\) e resolvemos para \(y\). 
 
59. Problema: Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas 
curvas \(y = \sqrt{x}\) e \(y = x\) em torno do eixo \(x\). 
 Resposta: O volume é \(\frac{2}{15}\pi\). Explicação: Usamos o método dos discos ou do 
cilindro para calcular o volume de revolução. 
 
60. Problema: Resolva a equação diferencial \(y' - y = e^x\). 
 Resposta: A solução é \(y = Ce^x - e^x\), onde \(C\) é uma constante arbitrária. 
Explicação: Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem não homogênea. 
 
61. Problema: Determine a área da região no primeiro quadrante limitada pela curva \(y = 
\cos(x)\), o eixo \(x\) e as linhas \(x = 0\) e \(x = \frac{\pi}{2}\). 
 Resposta: A área é \(1\). Explicação: Usamos integração definida para encontrar a área 
sob a curva \(y = \cos(x)\) entre \(x = 0\) e \(x = \frac{\pi}{2}\). 
 
62. Problema: Encontre a derivada de \(f(x) = \tan(x^2)\).