Problemas de Matemática

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35. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' + y = \frac{1}{\cos(x)} \). 
 Resposta: \( y(x) = e^{-\int 1 \, dx} \left( \int \frac{1}{\cos(x)} e^{\int 1 \, dx} \, dx + C \right) 
\). 
 Explicação: Podemos resolver esta equação utilizando o método do fator integrante. 
 
36. Problema: Determine os limites \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x - 1}{x^2 - 2x + 5} \). 
 Resposta: O limite é \( 3 \). 
 Explicação: Para determinar o limite de uma função racional quando \( x \) tende ao 
infinito, consideramos o termo de maior grau no numerador e no denominador. 
 
37. Problema: Determine a equação da reta tangente à curva \( y = \ln(x) \) no ponto \( (1,0) 
\). 
 Resposta: A equação da reta tangente é \( y = x - 1 \). 
 Explicação: Para encontrar a reta tangente, calculamos a derivada da função e 
utilizamos o ponto dado. 
 
38. Problema: Calcule a derivada parcial de \( f(x,y,z) = xyz \) em relação a \( z \). 
 Resposta: \( \frac{\partial f}{\partial z} = xy \). 
 Explicação: Para encontrar a derivada parcial em relação a \( z \), tratamos \( x \) e \( y \) 
como constantes e derivamos em relação a \( z \). 
 
39. Problema: Resolva a integral \( \int e^{2x}\sin(3x) \, dx \). 
 Resposta: \( \frac{1}{13}e^{2x}(3\sin(3x) - 2\cos(3x)) + C \). 
 Explicação: Podemos resolver esta integral utilizando integração por partes. 
 
40. Problema: Determine os valores de \( k \) para os quais a matriz \( A = \begin{pmatrix} 2 
& k \\ k & 3 \end{pmatrix} \) é simétrica. 
 Resposta: A matriz é simétrica quando \( k = 1 \) ou \( k = 3 \). 
 Explicação: Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta. 
 
41. Problema: Resolva a equação diferencial \( y'' + 9y = \cos(3x) \). 
 Resposta: \( y(x) = C_1\cos(3x) + C_2\sin(3x) + \frac{1}{10}\cos(3x) \), onde \( C_1 \) e \( 
C_2 \) são constantes arbitrárias.