Problemas de Cálculo Matemático

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86. Problema: Determine a área da região delimitada pela curva \( y = \sqrt{x} \) e pelo eixo 
\( x \) entre \( x = 0 \) e \( x = 4 \). 
 Resposta: A área é \( 8 \) unidades de área. 
 Explicação: Para encontrar a área sob uma curva, calculamos a integral da função no 
intervalo dado. 
 
87. Problema: Encontre os pontos de interseção das curvas \( y = x^2 \) e \( y = 4 - x^2 \). 
 Resposta: Os pontos de interseção são \( (-2,4) \) e \( (2,4) \). 
 Explicação: Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações e 
resolvemos para \( x \) e \( y \). 
 
88. Problema: Calcule a integral indefinida \( \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx \). 
 Resposta: \( \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C \). 
 Explicação: Podemos resolver esta integral utilizando uma substituição trigonométrica. 
 
89. Problema: Determine os limites \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \). 
 Resposta: O limite é \( 2 \). 
 Explicação: Este é um limite fundamental que pode ser provado utilizando técnicas 
como a regra de L'Hôpital. 
 
90. Problema: Determine a equação da reta tangente à curva \( y = \sin(x) \) no ponto \( 
\left(\frac{\pi}{2}, 1\right) \). 
 Resposta: A equação da reta tangente é \( y = \frac{1}{2}(x - \pi) + 1 \). 
 Explicação: Para encontrar a reta tangente, calculamos a derivada da função e 
utilizamos o ponto dado. 
 
91. Problema: Calcule a derivada parcial de \( f(x,y,z) = xyz^2 \) em relação a \( y \). 
 Resposta: \( \frac{\partial f}{\partial y} = xz^2 \). 
 Explicação: Para encontrar a derivada parcial em relação a \( y \), tratamos \( x \) e \( z \) 
como constantes e derivamos em relação a \( y \). 
 
92. Problema: Resolva a integral \( \int e^{2x}\sin(3x) \, dx \). 
 Resposta: \( \frac{1}{13}e^{2x}(3\sin(3x) - 2\cos(3x)) + C \).