Problemas de Matemática

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Resposta: \( y(x) = (C_1 + C_2x)e^{2x} \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são constantes 
arbitrárias. 
 Explicação: Resolva a equação característica associada à equação diferencial 
homogênea de segunda ordem. 
 
36. Problema: Determine a área da região no primeiro quadrante limitada pelas curvas \( y 
= x^2 \) e \( y = \ln(x) \). 
 Resposta: \( \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\ln(2) \) unidades de área. 
 Explicação: Encontre os pontos de interseção das curvas e calcule a integral definida da 
diferença entre as duas funções. 
 
37. Problema: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{\sin(2x)} \). 
 Resposta: \( \frac{3}{2} \). 
 Explicação: Utilize a definição de limite para trigonometria. 
 
38. Problema: Determine a solução particular da equação diferencial \( y' + 2y = 4e^{-2x} \) 
com a condição inicial \( y(0) = 1 \). 
 Resposta: \( y(x) = 2 - e^{-2x} \). 
 Explicação: Resolva a equação diferencial usando o método de fator integrante e 
aplique a condição inicial para encontrar a constante. 
 
39. Problema: Calcule o produto interno dos vetores \( \mathbf{u} = (2, -1, 3) \) e \( 
\mathbf{v} = (1, 2, -2) \). 
 Resposta: \( -1 \). 
 Explicação: Utilize a definição de produto interno de vetores. 
 
40. Problema: Determine a matriz diagonalizável mais simples similar à matriz \( A = 
\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \). 
 Resposta: \( A = PDP^{-1} \), onde \( P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) e \( 
D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \). 
 Explicação: Diagonalize a matriz encontrando sua forma diagonal. 
 
41. Problema: Determine a derivada direcional da função \( f(x, y) = e^{xy} \) no ponto \( (1, 
2) \) na direção do vetor \( \mathbf{v} = (3, 4) \). 
 Resposta: \( D_{\mathbf{v}} f(1, 2) = 20e^2 \).