Problemas de Matemática

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Resposta: \( y(x) = Ce^{-4x} + \frac{1}{2}e^{-4x} \), onde \( C \) é uma constante arbitrária. 
 Explicação: Resolva a equação diferencial homogênea associada e use o método da 
variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular. 
 
86. Problema: Determine os limites laterais de \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{|x-2|} \) quando \( x \) 
se aproxima de \( 2 \). 
 Resposta: \( \lim_{x \to 2^-} f(x) = -4 \) e \( \lim_{x \to 2^+} f(x) = 4 \). 
 Explicação: Avalie a função para \( x \) ligeiramente menor e ligeiramente maior que 2. 
 
87. Problema: Calcule a integral definida \( \int_{1}^{2} \frac{1}{x^3} \, dx \). 
 Resposta: \( \frac{1}{4} \). 
 Explicação: Calcule a integral indefinida e aplique os limites de integração. 
 
88. Problema: Determine a solução geral da equação diferencial \( y' = y^2 \). 
 Resposta: \( y(x) = -\frac{1}{x + C} \), onde \( C \) é uma constante arbitrária. 
 Explicação: Resolva a equação diferencial separável. 
 
89. Problema: Calcule a integral definida \( \int_{0}^{\pi} x\sin(x) \, dx \). 
 Resposta: \( \pi \). 
 Explicação: Utilize integração por partes para resolver a integral definida. 
 
90. Problema: Determine os pontos de máximo e mínimo relativos da função \( f(x) = x^3 - 
6x^2 + 9x + 1 \). 
 Resposta: Máximo relativo em \( (2, 3) \) e mínimo relativo em \( (3, -1) \). 
 Explicação: Encontre os pontos críticos da função e aplique o teste da primeira derivada 
para determinar onde a 
 
 função cresce ou decresce. 
 
91. Problema: Calcule a matriz inversa de \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} 
\). 
 Resposta: \( A^{-1} = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \).