Problemas de Cálculo e Área

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43. **Problema:** Calcule a área da região delimitada pela curva \( y = \sqrt{4x-x^2} \) e o 
eixo x. 
 **Resposta:** A área é \( 4\pi \). 
 **Explicação:** Calculamos a integral da função no intervalo onde é positiva. 
 
44. **Problema:** Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' + 2y' + y = e^{-x} 
\). 
 **Resposta:** \( y = (C_1 + C_2x)e^{-x} + e^{-x} \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são 
constantes. 
 **Explicação:** Resolvemos a equação característica e usamos o método dos 
coeficientes a determinar. 
 
45. **Problema:** Encontre a equação do plano tangente à superfície \( z = x^2 + y^2 \) no 
ponto \( (1,1,2) \). 
 **Resposta:** A equação do plano tangente é \( z = 2x + 2y - 2 \). 
 **Explicação:** Utilizamos a definição de plano tangente em um ponto. 
 
46. **Problema:** Determine a área da região delimitada pela curva \( y = \frac{1}{x} \) e o 
eixo x no intervalo \( [1,2] \). 
 **Resposta:** A área é \( \ln(2) - \ln(1) = \ln(2) \). 
 **Explicação:** Calculamos a integral da função no intervalo dado. 
 
47. **Problema:** Determine a solução particular da equação diferencial \( y'' - 2y' + y = 
2xe^x \). 
 **Resposta:** Uma solução particular é \( y_p = (x^2 - 2x)e^x \). 
 **Explicação:** Usamos o método dos coeficientes a determinar. 
 
48. **Problema:** Calcule a integral tripla de \( \iiint (x + y 
 
 + z) \, dV \) sobre o tetraedro com vértices em \( (0,0,0) \), \( (1,0,0) \), \( (0,1,0) \) e \( (0,0,1) 
\). 
 **Resposta:** A integral é \( \frac{1}{2} \). 
 **Explicação:** Dividimos o tetraedro em sub-regiões e calculamos a integral em cada 
uma delas.