Problemas de Cálculo Matemático

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Resposta: A integral é \( \frac{e^{2x}}{2} + C \). 
 
27. Problema: Encontre os valores de \( x \) que satisfazem a equação \( \cos(x) = 
\frac{\sqrt{3}}{2} \). 
 Resposta: Os valores de \( x \) são \( \frac{\pi}{6} \) e \( \frac{11\pi}{6} \). 
 
28. Problema: Determine a derivada de \( f(x) = \frac{1}{x} \ln(x) \). 
 Resposta: Aplicando a regra do produto, a derivada é \( -\frac{\ln(x) + 1}{x^2} \). 
 
29. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2} \) com 
condição inicial \( y(1) = 2 \). 
 Resposta: Integrando ambos os lados, obtemos \( y = -\frac{1}{x} + C \). Usando a 
condição inicial, encontramos \( C = \frac{3}{2} \), então a solução é \( y = -\frac{1}{x} + 
\frac{3}{2} \). 
 
30. Problema: Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} \). 
 Resposta: Usando a regra de L'Hôpital, o limite é \( \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = 
0 \). 
 
31. Problema: Determine a área da região delimitada pelas curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = 
\cos(x) \) no intervalo \( [0, \frac{\pi}{2}] \). 
 Resposta: A área é \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin(x) - \cos(x)) \, dx \), que é \( 2 \). 
 
32. Problema: Encontre a solução geral da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = e^x - y \). 
 Resposta: A solução geral é \( y = Ce^x - e^x + 1 \), onde \( C \) é uma constante 
arbitrária. 
 
33. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \). 
 Resposta: Fazendo a substituição \( u = x^2 + 1 \), a integral se torna \( \int \frac{1}{u} \, 
du \), que é \( \arctan(x) + C \). 
 
34. Problema: Encontre os valores de \( x \) que satisfazem a equação \( \tan(x) = 1 \). 
 Resposta: O valor de \( x \) é \( \frac{\pi}{4} \).