Problemas de Cálculo e Álgebra

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Resposta: A área é \( 2 \) unidades quadradas. 
 Explicação: Calcule a integral definida da função entre os limites de integração dados. 
 
61. Problema: Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' + 2y' + y = e^{-x} \). 
 Resposta: \( y = (c_1 + c_2x)e^{-x} + \frac{1}{2}e^{-x} \), onde \( c_1 \) e \( c_2 \) são 
constantes. 
 Explicação: A solução geral é a soma da solução da equação homogênea e uma 
solução particular da equação não homogênea. 
 
62. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = \cos^2(x) \). 
 Resposta: \( f'(x) = -2\cos(x)\sin(x) \). 
 Explicação: Use a regra da cadeia e a derivada da função \( \cos(x) \). 
 
63. Problema: Encontre o ponto crítico da função \( f(x) = e^x - x^2 \). 
 Resposta: O ponto crítico é \( (2,e^2 - 4) \). 
 Explicação: Encontre os valores de \( x \) onde a derivada da função é zero. 
 
64. Problema: Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} \). 
 Resposta: O limite é \( 1 \). 
 Explicação: Use a definição de derivada para calcular o limite. 
 
65. Problema: Resolva a equação \( \tan(x) = 1 \). 
 Resposta: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \), onde \( n \) é um inteiro. 
 Explicação: Use a definição de tangente para encontrar os valores de \( x \). 
 
66. Problema: Determine a área da região limitada pela curva \( y = e^x \) e o eixo \( x \) 
entre \( x = 0 \) e \( x = \ln(2) \). 
 Resposta: A área é \( 2 - 1 \) unidades quadradas. 
 Explicação: Calcule a integral definida da função entre os limites de integração dados. 
 
67. Problema: Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' + 3y' + 2y = 0 \). 
 Resposta: \( y = c_1 e^{-x} + c_2 e^{-2x} \), onde \( c_1 \) e \( c_2 \) são constantes.