Aula exericico de matematica-186

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91. Determine a derivada parcial de segunda ordem de \( f(x,y) = e^{xy} \) em relação a \( x 
\) e \( y \). 
 Resposta: \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = y^2e^{xy} \), \( \frac{\partial^2 f}{\partial 
y^2} = x^2e^{xy} \). Explicação: Calculando as derivadas parciais sucessivas. 
 
92. Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' - 4y = xe^{2x} \). 
 Resposta: \( y(x 
 
) = (c_1 + c_2x)e^{2x} + \frac{1}{6}xe^{2x} \). Explicação: Usando o método do fator 
integrante para equações não homogêneas. 
 
93. Calcule a integral \( \int_0^{\pi/2} \sin^2(x) \, dx \). 
 Resposta: \( \frac{\pi}{4} \). Explicação: Usando identidades trigonométricas e 
propriedades de integrais definidas. 
 
94. Determine a solução do problema de valor inicial \( y' = \frac{y}{x} + x \), \( y(1) = 1 \). 
 Resposta: \( y(x) = x + x\ln(x) \). Explicação: Usando a técnica de separação de variáveis 
e integrando. 
 
95. Encontre a transformada de Fourier da função \( f(x) = e^{-2|x|} \). 
 Resposta: \( F(\omega) = \frac{2}{\omega^2 + 4} \). Explicação: Usando as propriedades 
da transformada de Fourier. 
 
96. Calcule a derivada parcial de segunda ordem de \( f(x,y) = \sin(xy) \) em relação a \( x \) 
e \( y \). 
 Resposta: \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -y^2\sin(xy) \), \( \frac{\partial^2 f}{\partial 
y^2} = -x^2\sin(xy) \). Explicação: Calculando as derivadas parciais sucessivas. 
 
97. Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' - 5y' + 6y = 0 \). 
 Resposta: \( y(x) = c_1e^{2x} + c_2e^{3x} \). Explicação: Resolvendo a equação 
característica. 
 
98. Calcule a integral \( \int \frac{1}{x^3 - 1} \, dx \). 
 Resposta: \( \frac{1}{6}\ln\left|\frac{x-1}{x^2+x+1}\right| + C \), onde \( C \) é uma 
constante de integração. Explicação: Usando decomposição em frações parciais.