Exericico fixação-133

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Resposta: \( y = (C_1 + C_2x)e^x + \frac{1}{5}\cos(x) + x^2 - 1 \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) 
são constantes. 
 Explicação: Resolvemos a equação diferencial homogênea associada e aplicamos o 
método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular. 
 
49. Problema: Calcule a integral \( \iint_D (x + y) \, dA \), onde \( D \) é a região delimitada 
pelo triângulo com vértices \( (0,0) \), \( (1,0) \) e \( (1,1) \). 
 Resposta: A integral é \( 1/3 \). 
 Explicação: Utilizamos coordenadas retangulares para avaliar a integral dupla sobre a 
região \( D \). 
 
50. Problema: Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' + y = \cos(x) \). 
 Resposta: \( y = C_1\cos(x) + C_2\sin(x) + \frac{1}{2}\cos(x) \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) 
são constantes. 
 Explicação: Resolvemos a equação diferencial homogênea associada e, em seguida, 
encontramos uma solução particular usando o método dos coeficientes a determinar. 
 
51. Problema: Determine a matriz de transformação \( T \) que reflete vetores em \( 
\mathbb{R}^2 \) sobre o eixo \( y \). 
 Resposta: A matriz de transformação é \( T = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} 
\). 
 Explicação: Utilizamos a fórmula da matriz de transformação para encontrar a matriz \( 
T \). 
 
52. Problema: Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' + 4y' + 4y = e^x \). 
 Resposta: \( y = (C_1 + C_2x)e^{-2x} + e^x \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são constantes. 
 Explicação: Resolvemos a equação diferencial homogênea associada e, em seguida, 
encontramos uma solução particular usando o método dos coeficientes a determinar. 
 
53. Problema: Calcule a integral \( \int_{-\infty}^{\infty} xe^{-x^2} \, dx \). 
 Resposta: A integral é \( 0 \). 
 Explicação: Utilizamos a técnica de integração por partes para calcular a integral. 
 
54. Problema: Determine o intervalo de convergência da série de potências \( 
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1}x^n \).