Exericico fixação-160

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9. Problema: Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = 2x - x^2 
\). 
 Resolução: A área é dada pela integral da diferença entre as duas funções. Calculando \( 
\int_{0}^{2} (2x - x^2 - x^2) \, dx \), obtemos \( \frac{8}{3} \). 
 
10. Problema: Determine a solução da equação diferencial \( y' + 2y = e^{-2x} \). 
 Resolução: Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral é 
\( y = Ce^{-2x} + \frac{1}{3}e^{-2x} \), onde \( C \) é uma constante arbitraria. 
 
11. Problema: Encontre a derivada parcial de \( f(x, y) = x^2 + 3xy - y^2 \) em relação a \( x 
\). 
 Resolução: A derivada parcial de \( f(x, y) \) em relação a \( x \) é \( \frac{\partial f}{\partial 
x} = 2x + 3y \). 
 
12. Problema: Resolva a equação diferencial \( y'' - 4y' + 4y = 0 \). 
 Resolução: Esta é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com 
coeficientes constantes. A solução geral é \( y = (C_1 + C_2x)e^{2x} \), onde \( C_1 \) e \( 
C_2 \) são constantes arbitrarias. 
 
13. Problema: Determine os pontos de inflexão da curva \( y = x^3 - 3x^2 + 2x \). 
 Resolução: Os pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade da curva muda. 
Calculando a segunda derivada e igualando-a a zero, obtemos os pontos de inflexão em \( 
x = 0 \) e \( x = 2 \). 
 
14. Problema: Calcule a integral definida \( \int_{-1}^{1} \sin(x) \, dx \). 
 Resolução: Como a função seno é uma função ímpar, a integral definida de \( -1 \) a \( 1 
\) é zero. 
 
15. Problema: Encontre a equação da reta normal à curva \( y = \ln(x) \) no ponto \( (1, 0) \). 
 Resolução: Para encontrar a equação da reta normal, calculamos a derivada da função 
em \( x = 1 \), que é \( y' = \frac{1}{x} \). Assim, a equação da reta normal é \( y = -x \). 
 
16. Problema: Resolva a integral \( \int \frac{1}{x^2 + 4x + 4} \, dx \). 
 Resolução: Podemos reescrever o denominador como \( (x + 2)^2 \), e então a integral 
torna-se \( \int \frac{1}{(x + 2)^2} \, dx \).