Problemas de Cálculo e Álgebra

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58. Determine a equação da tangente à curva \( y = \ln(\cos(x)) \) no ponto \( x = 
\frac{\pi}{4} \). 
 Resposta: A equação da tangente é \( y = \frac{\sqrt{2}}{2}x - \frac{\sqrt{2}}{2} + 
\ln\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \). 
 
59. Encontre a área da superfície gerada pela rotação da curva \( y = x^2 \) em torno do 
eixo \( x \) no intervalo \( [0, 1] \). 
 Resposta: A área é \( \frac{\pi}{10} \). 
 
60. Calcule a derivada da função \( f(x) = \ln(\sin(x)) \). 
 Resposta: A derivada é \( f'(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \). 
 
61. Determine os valores de \( a \) para os quais a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^a} 
\) converge. 
 Resposta: A série converge para \( a > 1 \). 
 
62. Encontre a matriz inversa de \( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \). 
 Resposta: A matriz inversa é \( A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 
\end{pmatrix} \). 
 
63. Determine os valores próprios e os vetores próprios da matriz \( B = \begin{pmatrix} 3 & 
1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \). 
 Resposta: Os valores próprios são \( \lambda_1 = 4 \) com vetor próprio \( v_1 = 
\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) e \( \lambda_2 = 2 \) com vetor próprio \( v_2 = 
\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \). 
 
64. Encontre a solução da equação diferencial \( y' + y = e^{-x} \) com condição inicial \( 
y(0) = 1 \). 
 Resposta: A solução é \( y(x) = e^{-x} + e^x \). 
 
65. Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 2x + 1}{4x^2 + 5x - 7} \). 
 Resposta: O limite é \( \frac{3}{4} \). 
 
66. Determine a área da região delimitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = 2x - x^2 \).