Números reais - Parte 2

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Cálculo I
Prof.: Alexandre Tripoli Venção
alexandre.vencao@ifsc.edu.br
Polinômios
Definição: Um polinômio em x é qualquer
expressão que pode ser escrita na forma
𝑃 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0
Onde,
𝑛 é o grau do polinômio, para 𝑛 inteiro positivo
𝑎𝑛 ≠ 0
𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1, … , 𝑎1, 𝑎0 são os coeficientes
Operação com Polinômios
Valor numérico
Exemplo: dado polinômio
Q 𝑥 = 3𝑥3 + 4𝑥2 − 5𝑥 + 1, calcule
𝑄 1 =
𝑄 −2 =
Identidade
Exemplo: seja 𝐴 𝑥 = 2𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 + 3 e
𝐵 𝑥 = 𝑎 − 1 𝑥3 − 𝑏𝑥2 − 𝑥 + 𝑐. Determine 𝑎, 𝑏, 𝑐
para que se tenha a identidade 𝐴 𝑥 = 𝐵 𝑥 .
Operação com Polinômios
Adição e subtração
Exemplo: seja 𝐴 𝑥 = 2𝑥3 − 5𝑥2 − 𝑥 + 4 , 𝐵 𝑥
= −3𝑥3 + 4𝑥 e 𝐶 𝑥 = 𝑥2 + 5𝑥 − 6. Calcule:
• 𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑥 − 𝐶 𝑥
• 2𝐵 𝑥 − 3𝐶 𝑥
Operação com Polinômios
Multiplicação
Exemplo: seja 𝐴 𝑥 = 2𝑥3 − 5𝑥2 − 𝑥 + 4 ,
𝐵 𝑥 = −3𝑥3 + 4𝑥 e 𝐶 𝑥 = 𝑥2 + 5𝑥 − 6. Calcule:
• 𝐵 𝑥 ⋅ 𝐶 𝑥
• 2𝐵 𝑥 ⋅ 𝐴(𝑥)
Operação com Polinômios
Divisão
Valem as regras da álgebra, ou seja,
Calcule
𝐴 𝑥
𝐵(𝑥)
em cada um dos casos:
• 𝐴 𝑥 = 5𝑥4 − 14𝑥3 + 10𝑥2 − 7𝑥 + 7 e
𝐵 𝑥 = 𝑥 − 2
• 𝐴 𝑥 = 𝑥4 − 7𝑥2 + 𝑥 − 2 e B x = x + 3
Produtos Notáveis
Produtos Notáveis
Exemplos:
• 3𝑥 + 8 3𝑥 − 8 =
• 5𝑦 − 4 2 =
• 2𝑥 − 3𝑦 3 =
Fatoração
1) Há um fator comum em todos os termos:
2) O polinômio é a diferença de dois
quadrados:
3) O polinômio é um trinômio quadrado:
Fatoração
4) Um trinômio de 2º grau do tipo:
(𝑥 + 𝑛1)(𝑥 + 𝑛2)
5) Outra forma de fazer para polinômios de 2º
grau:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2
onde 𝑥1 e 𝑥2 são raízes da equação de segundo
grau.
Fatoração
6) Agrupamento: o polinômio pode ser
decomposto em grupos de mesmo número de
termos, tendo cada grupo um fator comum:
Exemplo:
Fatoração
Exercícios: fatore os seguintes polinômios
• 2𝑥3 + 2𝑥2 − 6𝑥
• 25𝑥2 − 36
• 9𝑥2 + 6𝑥 + 1
• 𝑥3 − 64
• 𝑥2 + 5𝑥 − 14
• 3𝑥3 + 𝑥2 − 6𝑥 − 2
Fatoração
Exercícios:
1) Páginas 30 e 31 do livro de Demana.
Expressões Fracionárias
Definição: é o quociente entre duas expressões
algébricas.
Expressões Fracionárias
Domínio de uma expressão fracionária: são os
números reais para os quais essa expressão
algébrica é definida.
Expressões Fracionárias
Exemplos: determine o domínio das expressões
algébricas.
• 3𝑥2 − 𝑥 + 5
• 𝑥 − 1
•
𝑥
𝑥−2
Expressões Fracionárias
Simplificação de expressões racionais
Exemplos) Dê o domínio e simplifique:
•
𝑥2−3𝑥
𝑥2−9
•
𝑥−3
𝑥2−5𝑥+6
•
𝑥6−3𝑥4+𝑥2−3
2𝑥2−6
Expressões Fracionárias
Operações com expressões racionais
Exemplos:
3)
2𝑥2+8𝑥−42
𝑥3+2𝑥2+4𝑥
⋅
𝑥3−8
𝑥2+5𝑥−14
=
Expressões Fracionárias
Operações com expressões racionais
Exemplos:
Exercícios: páginas 38 e 39 do livro de Demana.