calculo estacio (14)

Prévia do material em texto

34. Problema: Calcule a integral \( \int_{0}^{\infty} e^{-x} \sin(x) \, dx \). 
 Resolução: Use o método de integração por partes duas vezes para resolver a integral. 
 
35. Problema: Determine a área da região limitada pela curva \( y = \frac{1}{x} \), o eixo x e 
as linhas \( x = 1 \) e \( x = e \). 
 Resolução: Integre a função \( \frac{1}{x} \) sobre o intervalo dado. 
 
36. Problema: Resolva a equação diferencial \( y'' - 4y = \cos(2x) \). 
 Resolução: Encontre a solução particular usando o método dos coeficientes a 
determinar. 
 
37. Problema: Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências \( 
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} \). 
 Resolução: Use o teste da razão para encontrar o intervalo de convergência e teste de 
convergência para \( x = -1 \) e \( x = 1 \). 
 
38. Problema: Calcule a integral \( \int_{0}^{\infty} \frac{\sin^2(x)}{x^2} \, dx \). 
 Resolução: Use o método de expansão em série de Taylor para \( \sin^2(x) \) e integre 
termo a termo. 
 
39. Problema: Determine se a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} \) converge ou 
diverge. 
 Resolução: Use o teste da razão para analisar a convergência. 
 
40. Problema: Encontre os pontos críticos da função \( f(x) = x^3 e^{-x} \). 
 Resolução: Encontre a derivada da função e resolva para \( f'(x) = 0 \). 
 
41. Problema: Resolva a equação diferencial \( y'' + y = \tan(x) \). 
 Resolução: Encontre a solução particular usando o método da variação dos parâmetros. 
 
42. Problema: Calcule a integral \( \int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx \). 
 Resolução: Use a identidade trigonométrica \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \).