Sistemas de Amortização

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Sistema de Amortização
Rafaela Rodrigues Oliveira Amaro
Sistema de Amortização
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Introdução
Caro(a) aluno(a) é com imenso prazer que iniciamos esse conteúdo de Matemática 
Financeira! Aprendemos juntos muita coisa por aqui, não é mesmo? Aqui conheceremos 
com mais propriedade sobre sistemas de amortização, resumidamente, um sistema 
de amortização consiste em um plano de pagamento de uma dívida contraída e estes 
podem adotar diferentes formatos. Como exemplares deste segmento é possível 
criar operações comuns a todos nós, como a compra da casa própria financiada 
pelo sistema financeiro de habitação, as dívidas decorrentes de tributos, sejam 
eles municipais, estaduais ou federais, empréstimos bancários para pagamento em 
parcelas periódicas, dentre outros. Entendeu? Bem, no decorrer deste conteúdo letivo 
iremos mergulhar juntos neste universo!
Objetivos da Aprendizagem
Ao final do conteúdo, esperamos que você seja capaz de:
• Compreender o Sistema Americano de Amortização;
• Entender o Sistema de Amortiização Constante;
• Conhecer o Sistema Price ou Frances de Amortização;
• Aprender sobre o Sistema de Amortização Misto.
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Compreendendo o Sistema Americano de 
Amortização
Ao término deste conteúdo você será capaz de compreender em que fundamenta um 
sistema de amortização, bem como definir, caracterizar e compreender a dinâmica do 
Sistema Americano de Amortização (SAA) E então? Instigado para aperfeiçoar esta 
nova competência? Então vamos lá. Avante!
Sistemas de Amortização
Na língua portuguesa amortizar tem significado relacionado ao ato de abater, 
descontar, extinguir, quitar, pagar; no contexto financeiro esses verbos ainda são 
válidos, porém, agora associado ao parcelamento de uma dívida, que geralmente ocorre 
em parcelas, mas que também pode ser de abatido uma única vez, ou seja, amortizar 
é pagamento de um débito de maneira antecipada. Outra definição apresentada 
Castanheira e Macedo (2013) é dada por:
Amortizar é devolver o capital que se tomou emprestado.
Ainda neste contexto a NBC T 19.5, conforme elucidam Castanheira e Macedo (2013), 
é uma lei que orienta quanto as Normas Brasileiras de Contabilidade: Depreciação, 
Amortização e Exaustão, estes termos são definidos por, respectivamente:
• Depreciação é a redução do valor dos bens pelo desgaste ou perda de utilida-
de por uso, ação da natureza ou obsolescência.
• A depreciação de um ativo começa quando o item está em condições de ope-
rar na forma pretendida pela administração, e cessa quando o ativo é baixado 
ou transferido do imobilizado.
Assim, a amortização consiste em uma recuperação contábil:
1. do capital aplicado na aquisição de bens e direitos classificados no ativo imo-
bilizado, cuja existência ou exercício tenha duração limitada, ou cuja utiliza-
ção pelo contribuinte tenha o prazo limitado por lei ou contrato; e
2. dos custos, encargos ou despesas, registrados no ativo diferido, que contri-
buirão para a formação do resultado de mais de um período de apuração.
A principal distinção entre esses dois encargos se baseia no fato de que a depreciação 
incide sobre os bens físicos de propriedade do próprio contribuinte, a amortização 
relaciona-se com a diminuição de valor dos direitos com prazo definido.
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É comum que os acordos de crédito com as entidades financeiras podem prever a 
existência de amortizações antecipadas, embora, geralmente são cobradas taxas 
adicionais e penalizadoras como forma de reembolsar parte dos juros que deixarão 
de ser recebidos.
Uma parcela de financiamento é composta por duas parcelas: a parte correspondente 
a amortização mais a parcela relativa aos juros incidentes na operação, além de outros 
possíveis e alternativos encargos financeiros; a parte que corresponde à amortização 
é calculada a partir do saldo devedor, fazendo com que a dívida seja decrescida a 
cada período, já os juros são calculados, inicialmente, sobre o total da operação a ser 
realizado; observe na figura 1 a seguir essa relação.
Figura 1 – Composição de uma parcela de financiamento.
Fonte: Elaborado pela autora.
No Brasil existe mais de uma forma de realizar essa amortização, esse conjunto 
de regras recebe o nome de Sistema de Amortização; existem várias regras para a 
amortização e cada uma com suas peculiaridades. Estudaremos nesse conteúdo 
quatro destas metodologias, como o apresentado na figura 2 adiante.
Figura 2 - : Exemplares dos Sistemas de Amortização.
Fonte: Elaborado pela autora (2023).
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Existem ainda outros sistemas básicos de amortização. Você pode 
estudar os sistemas montante, sinkingfund, americano e alemão 
na leitura complementar LC62. Disponível nesse link.
Saiba mais
Sistema Americano de Amortização (SAA)
Dentre os sistemas de amortizações disponíveis no mercado financeiro, o Sistema 
Americano de Amortização (SAA) é considerado o mais simples, uma vez que sua 
dinâmica consiste em devolver o capital emprestado em um pagamento único, no 
término do prazo contratado; sendo assim, é comum a disponibilização de uma 
carência ao tomador do empréstimo (MACEDO; CASTANHEIRA, 2013).
Essa modalidade de amortização é amplamente utilizada nas operações relativas 
a papéis de renda fixa com renda quitada no final, além das letras de câmbio e os 
certificados de depostos com renda final.
Você tem conhecimento sobre o que são letras de câmbio? Nesse 
vídeo, há uma breve explicação desse título de crédito. Vale a pena 
assistir. Disponível nesse link.
Saiba mais
Conforme anunciam Castanheira e Macedo (2013), as características associadas ao 
Sistema Americano de Amortização (SAA) são:
• Os juros são calculados sobre o valor original da dívida;
• O contratante pode saldar seu débito a qualquer momento;
• Existe maior controle no fluxo de caixa para saldar a dívida.
• Permite o pagamento fracionado da dívida, reduzindo o valor dos juros, pro-
porcionalmente;
• Aconselhado quando está previsto o recebimento de uma quantia futura sufi-
ciente para saldar a dívida.
• O principal é liquidado em parcela única no término do prazo do financiamento.
https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=&ved=2ahUKEwjbkIC0utb9AhUKKLkGHfBeCtEQFnoECA0QAQ&url=https%3A%2F%2Feducapes.capes.gov.br%2Fbitstream%2Fcapes%2F401417%2F1%2FMatematica%2520Financeira%2520e%2520Analise%2520de%2520Investimentos%25203ed%2520GRAFICA.pdf&usg=AOvVaw0U4fVijhGkn0C4rvo-M-5d
https://www.youtube.com/watch?v=rIpi9BHr_gU&ab_channel=EuQueroInvestir
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Quanto aos juros referentes a essa modalidade de amortização, eles podem ser 
saldados apenas no vencimento do principal, caracterizando o Sistema Bullet, ou 
liquidados em parcelas periódicas (“cupons”), caracterizando o Sistema Padrão. Estes 
sistemas se distinguem pelo fato de que no Sistema Americano Padrão ocorre menor 
pagamento de juros quando comparado ao Sistema Americano Bullet, uma vez que a 
quitação dos juros em cada período não é preciso sua incorporação no principal, isto 
é, juros compostos (NETO, 2012).
Agora considere a situação em que uma pessoa jurídica tenha adquirido um empréstimo 
no valor de R$ 50.000,00 a ser quitada no término de quatro meses, sendo firmada 
entre as partes que os juros seriam cobrados no término deste período. Queremos 
saber de quanto será o montante equivalente a esse contexto, uma vez que a taxa de 
juros simples utilizado na operação é de 2% com capitalização mensal.
As informações da situação problema são: 
• PV = 50.000
• i = 2% = 0,02
• n = 4
Bem, como já conhecemos a relação de juros simples, basta substituir nela os dados 
obtidos:
FV = PV (1 + i x n)
FV = 50.000 (1 + 0,02 x 4)
FV = 50.000 (1,08)
FV = 54.000,00
Logo, é possível afirmar que para quitar uma dívida de R$ 50.000,00 após quatro 
meses seguindo o Sistema de Amortização Americano, o valor a ser pago equivale a 
R$ 54.000,00
Cálculo pela calculadora HP-12C
50000 CHS PV
2 i
4 n
FV
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Outra maneira e visualizarmos esse processo é pela elaboração de tabelas e sua 
posterior interpretação.
Sistema de Americanode Amortização (SAA)
Principal R$50.000,00 Taxa de Juros 2% a.m
Saldo Devedor
Período Juros Amortização Pagamento
1 R$1.000,00 0.00 R$1.000,00 R$50.000,00
2 R$1.000,00 0.00 R$1.000,00 R$50.000,00
3 R$1.000,00 0.00 R$1.000,00 R$50.000,00
4 R$1.000,00 R$50.000,00 R$51.000,00 0.00
Total R$4.000,00 R$50.000,00 R$54.000,00 0,00
Quadro 1 - Sistema de Amortização Americano (SAA).
Fonte: Elaborado pelo autor (2022).
Chamo sua atenção, estimado (a) aluno(a), para você observar que no sistema de 
amortização americano os juros são iguais e quando somados são adicionados ao 
capital inicial, e o resultado dessa operação indica o total a ser pago pela adesão a 
esse procedimento.
Você deve ter aprendido sobre a definição de amortização, bem como foi discutido 
sobre os tipos de sistemas de amortização utilizados no Brasil em diversas operações 
financeiras. Também definimos como funciona o Sistema de Amortização Americano 
(SAA), este se caracteriza principalmente pelos juros a serem calculados sobre o valor 
original da dívida, além de o contratante poder saldar sua dívida quando for oportuno, 
além desse sistema possibilitar um maior controle no fluxo de caixa para saldar a 
dívida e o pagamento parcial da dívida é menor, pois há a redução do valor dos juros 
proporcionalmente. Bem! Você entendeu bem todos os pontos abordados? Cumpriu 
com todas as atividades? Caso as tenha cumprido, está mais uma vez de parabéns e 
apto a prosseguir neste conteúdo.
Entendendo o Sistema de Amortização Constante
Ao término deste conteúdo você será capaz de entender como ocorre o processo de 
amortização seguindo os parâmetros do Sistema de Amortização Constante (SAC), 
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bem como compreenderá como funciona base de cálculo nesta metodologia. E então? 
Motivado para desenvolver esta competência? Então vamos lá. Avante!
Sistema de Amortização Constante
Na grande maioria dos sistemas de amortização os pagamentos são constantes, em 
contrapartida, o que é constante no Sistema de Amortização Constante (SAC) é a 
parcela de amortização.
Outra característica deste sistema de amortização, é que os juros decrescem, 
objetivando prestações decrescentes no decorrer do tempo; já os pagamentos 
permanecem compostos por dois elementos, sendo o somatório entre a amortização 
que é constante ao longo de todo o plano de pagamentos, e os juros que são 
mensurados a partir dos saldos devedores dos períodos anteriores (CASTANHEIRA; 
SERENATO, 2008).
Observe no gráfico 1 a seguir a relação entre o valor das prestações e a quantidade 
de prestações.
Gráfico 1 - Relação entre quantidade de prestações e valor das prestações no SAC.
Fonte: Elaborado pela autora.
Através da visualização do gráfico, veja que a medida que a dívida começa a ser 
amortizada, a parcela dos juros e consequentemente o valor associado a cada 
prestação como um todo tendem a decrescer, uma vez que o próprio saldo devedor se 
reduz. Por consequência deste fato, no SAC, o saldo devedor e a sua prestação tendem 
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a encolher permanentemente a partir do início do financiamento e não deixa resíduo, 
assim, neste contexto, existe menos exposição quanto aos aumentos de indexadores 
do contrato durante o financiamento.
Um indexador é um índice que é utilizado como um parâmetro para 
uma reajuste contratual ou do valor de um ativo. Este percentual 
possui muita utilidade para estabelecer a rentabilidade de alguns 
ativos, além de usufruído como base para o reajuste de contratos 
na economia.
Curiosidade
No sistema de amortização constante (SAC), a prestação inicial é um pouco maior 
quando comparados a outros sistemas de amortização, uma vez que a quantia a 
ser paga pela amortização também é maior. De início isso pode parecer um pouco 
inviável, considerando que você está iniciando a liquidação de uma dívida, no entanto 
o processo a ser realizado consiste em um abatimento maior no valor do débito, e 
consequentemente pagando menos juros ao longo de contrato como um todo.
De modo geral é possível listar as características gerais desta metodologia, como 
suas vantagens e desvantagens; estas informações estão listadas na figura 3 a seguir:
Figura 3 - Características do Sistema de Amortização Constante (SAC)..
Fonte: Elaborado pela autora (2023).
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É interessante pontuar caro (a) aluno (a), que no sistema de amortização constante 
(SAC) a parcela de amortização da dívida é calculada pela razão entre o saldo devedor 
pelo prazo total do financiamento, como um percentual fixo da dívida; devido a essa 
característica, o SAC é classificado como um sistema linear.
Conforme descrito por Castanheira e Macedo (2013), a relação que possibilita o 
cálculo da parcela é dado por:
Onde consideraremos:
• a = parcela correspondente a amortização
• c = capital
• n = quantidade de parcelas de amortização
Além desta igualdade, trabalharemos com outras que permitem o cálculo referente à 
parcela correspondente ao juro cobrado e ao valor correspondente a cada prestação. 
Observe.
Fórmula: j = i x sd Fórmula: p = a + j Onde consideraremos:
• j = juros incidido na parcela
• p = prestação
• sd = saldo devedor
Agora partiremos para a resolução de um exemplo, para juntos compreendermos 
como ocorre esse sistema de amortização.
Um imóvel no valor de R$100.000,00 foi financiado pelo Sistema de amortização 
constante, sem correção monetária sob as condições de:
• Entrada de R$30.000,00
• Sete parcelas mensais, vencendo a primeira após 30 dias da assinatura do 
contrato;
• Taxa de juro composto de 1,8% ao mês.
Quais os valores referentes as parcelas, amortizações e o saldo devedor considerando 
o SAC?
 
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Com bases nos resultados destes cálculos, será preenchida uma tabela, assim como 
no SAA, apresentando ao longo do tempo as amortizações, o valor das parcelas e o 
saldo devedor.
Inicialmente foi dada uma entrada no valor de R$30.000,00, assim o valor a ser 
financiado será de R$100.000,00 – R$30.000,00 = R$70.000,00; logo a parcela de 
amortização será dada por:
Para encontrar os valores referentes às parcelas é preciso determinar o valor do juro 
de cada período, considerando que o saldo devedor inicial é de R$70.000,00, é possível 
de ser encontrado pela relação:
J = i x sd
J = 0,018 x 70.000,00
J = 1260,00
Assim como a parcela é encontrada pelo somatório entre a parcela de amortização e 
o juro:
p = a + j
p = 10.000,00 + 1260,00
p = 11.260,00
Logo, o novo saldo devedor é de R$70.000,00 – R$10.000,00 = R$60.000,00; assim, o 
juro e o valor da segunda parcela serão dados por, respectivamente:
J = i x sd
J = 0,018 x 60.000,00
j = 1080,00
Assim como a parcela é encontrada pela adição da parcela de amortização e o juro:
p = a + j
p = 10.000,00 + 1080,00
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p = 11.080,00
Iniciamos o cálculo da terceira parcela calculamos o novo saldo devedor é de 
R$60.000,00 – R$10.000,00 = R$50.000,00; assim o juro e o valor da parcela são, 
respectivamente:
J = i x sd
J = 0,018 x 50.000,00
J = 900,00
Assim como a parcela é encontrada pela adição da parcela de amortização e o juro:
p = a + j
p = 10.000,00 + 900,00
p = 10.900,00
A próxima parcela considera o saldo devedor como de R$50.000,00 – R$10.000,00 = 
R$40.000,00; assim, o juro e o valor da parcela serão respectivamente:
J = i x sd
J = 0,018 x 40.000,00
J = 720,00
Como a parcela é encontrada pela soma entre a parcela de amortização e o juro:
p = a + j
p = 10.000,00 + 720,00
p = 10.720,00
O novo saldo devedor é de R$40.000,00 – R$10.000,00 = R$30.000,00; assim o juro e 
o valor da parcela são, nessa ordem:
J = i x sd
J = 0,018 x 30.000,00
J = 540,00
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Assim como a parcela é encontrada pela adição da parcela de amortização e o juro:
p = a + j
p = 10.000,00 + 540,00
p = 10.540,00
O novo saldo devedor é encontrado por R$30.000,00 – R$10.000,00 = R$20.000,00; 
logo o juro e o valor da parcela são, respectivamente:
J = i x sd
J = 0,018 x 20.000,00
J = 360,00
Como o valor da parcela é encontrada pela adição da parcela de amortização e o juro:
p = a + j
p = 10.000,00 +360,00
p = 10.360,00
Como último saldo devedor, é deR$20.000,00 – R$10.000,00 = R$10.000,00; assim o 
juro e o valor da parcela são, respectivamente:
J = i x sd
J = 0,018 x 10.000,00
J = 180,00
Assim como a parcela é encontrada pela adição da parcela de amortização e o juro:
p = a + j
p = 10.000,00 + 180,00
p = 10.180,00
Vamos, então, visualizar pelo quadro 2 a seguir com os dados correspondentes ao 
exemplo resolvido, onde foi utilizado o sistema de amortização constante (SAC).
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Sistema de Americano Constante (SAC)
Principal R$70.000,00 Taxa de Juros 1,8% a.m.
Saldo Devedor
Nº da Parcela Valor da Parcela Amortização Juro da Parcela
0 - - - R$70.000,00
1 R$11.260,00 R$10.000,00 R$1.260,00 R$60.000,00
2 R$11.080,00 R$10.000,00 R$1.080,00 R$50.000,00
3 R$10.900,00 R$10.000,00 R$900,00 R$40.000,00
4 R$10.720,00 R$10.000,00 R$720,00 R$30.000,00
5 R$10.540,00 R$10.000,00 R$540,00 R$20.000,00
6 R$10.360,00 R$10.000,00 R$360,00 R$10.000,00
7 R$10.180,00 R$10.000,00 R$180,00 R$0,00
Total R$75.040,00 R$70.000,00 R$5.040,00 0,00
Quadro 2 - Sistema de Amortização Constante (SAC).
Fonte: Elaborado pelo autor (2022).
Ao digitar um número qualquer n e as teclas f AMORT, são obtidos os juros acumulados 
referentes aos n períodos; se, em seguida, for digitado outro número qualquer 
acompanhado das teclas f AMORT teremos os juros acumulados referentes aos 
períodos posteriores. Assim, após encontrarmos os juros acumulados referente à n 
períodos, obteremos a amortização acumulada deste mesmo tempo pressionando-se 
a tecla . Pressionando-se RCL PV, obteremos o saldo devedor.
Você deve ter aprendido que a amortização se refere a um abatimento no valor 
principal do financiamento, uma vez que os juros representam os valores pagos a 
instituição que emprestou o dinheiro; a partir destas concepções, aprendemos mais 
detalhadamente sobre mais um sistema de amortização utilizado no Brasil. O sistema 
de amortização constante (SAC), nessa metodologia, o valor a ser financiado é 
fracionado em parcelas de valores distintos durante a vigência de todo o contrato; 
logo, as parcelas de amortização que são pagas periodicamente e mensalmente 
adicionadas aos juros são constantes, ou seja, a parte destinada a amortizar o saldo 
devedor não sofre variações em seus valores.
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Identificando o Sistema Price ou Francês de 
Amortização
Ao término deste conteúdo, você será capaz de entender como se baseia a metodologia 
do Sistema Francês de Amortização ou Sistema Price; conheceremos sobre sua 
definição formal, aplicação e relações que viabilizam a determinação de suas parcelas. 
E então? Motivado para desenvolver esta competência? Então vamos lá. Avante!
Sistemas Price ou Francês de Amortização (SFA)
O sistema francês de amortização, que também pode ser referenciado por sistema 
Price, foi criado por um pensador e matemático inglês Richard Price (1723 – 1791), mas 
por ter sido adotado na França a partir do século XIX, também recebe a denominação 
de Sistema Francês (NETO, 2012).
Nesta metodologia de amortização, que é muito utilizado no setor financeiro e de 
capitais, amplamente inserido por instituições financeiras e imobiliárias, é adotado o 
conceito de rendas imediatas, isto é, a amortização acontece em parcelas periódicas, 
sucessivas e iguais, sendo que o primeiro pagamento, ocorrendo ao final do primeiro 
período estabelecido (CASTANHEIRA; MACEDO, 2013).
Nesse sistema, o principal associado aos juros é devolvido em prestações iguais e 
periódicas, calculadas segundo uma série uniforme postecipada; observe pelo gráfico 
2 que diferentemente do sistema de amortização constante no SAF, o valor referente 
a cada uma das prestações é constante.
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Gráfico 2 - Relação entre quantidade de prestações e valor das prestações no PRICE.
Fonte: Elaborado pela autora (2023).
A medida que as parcelas são quitadas o saldo devedor decresce, e como o juro é 
calculado também sobre o saldo devedor, este consequentemente também diminui; 
por essa dinâmica proporcionar tais resultados as quantias referentes a amortização 
(devolução do total emprestado) aumentam com o decorrer do tempo, uma vez que 
as parcelas são iguais, periódicas e sucessivas (CASTANHEIRA; SERENATO, 2013).
Sobre o Sistema de Amortização Francês, os pontos mais significativos que merecem 
destaque quanto a sua relevância perante sua dinâmica de aplicação apresentam-se 
expostos na figura 4 a seguir.
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Figura 4 - Características do Sistema Francês de Amortização (PRICE).
Fonte: Elaborado pela autora.
Existe uma extensão para a planilha do Excel com simulador da tabela 
Price, esta funciona como um simulador de financiamento, onde é 
possível calcular as prestações, taxas de juros e amortização, sem 
a necessidade de aplicação da fórmula matemática. Basicamente 
essa planilha é composta por três campos amarelos que devem 
ser preenchidos com o valor do financiamento ou empréstimo, 
prazo de pagamento em meses e a taxa de juros anual ou custo 
efetivo total, que consiste em uma informação que deve ser 
disponibilizada pelo banco ou empresa.
Curiosidade
Para calcular o valor das parcelas nesse sistema de amortização, utilizamos da 
fórmula do modelo básico de renda, indicado por:
Onde será adotado:
• c = capital
• p = parcelado financiamento
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• i = taxa de juros
• n = quantidade de parcelas
Além desta fórmula, trabalharemos com as mesmas já conhecidas no sistema de 
amortização constante, que indicam a relação a ser utilizada para o cálculo referente 
à parcela correspondente ao juro cobrado e ao valor correspondente a cada prestação.
Fórmula: j = i x sd
Fórmula: p = a + j
Onde consideraremos:
• j = juros incidido na parcela
• p = prestação
• sd = saldo devedor
Agora, partiremos para a resolução de uma situação problema, a mesma que resolvemos 
no sistema de amortização constante e que é comum em nosso cotidiano, para juntos 
entendermos como ocorre o funcionamento desse sistema de amortização e, ao final, 
estabelecemos uma comparação entre esses dois métodos de amortização.
Um imóvel no valor de R$100.000,00 foi financiado pelo Sistema francês de 
amortização, sem correção monetária, sob as condições de:
• Entrada de R$30.000,0
• Sete parcelas mensais, vencendo a primeira após 30 dias da assinatura do 
contrato;
• Taxa de juros composto de 1,8% ao mês.
Quais os valores referentes as parcelas, amortizações e o saldo devedor considerando 
o SFA?
Para o cálculo das parcelas utilizamos a fórmula apresentada anteriormente, logo:
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Logo, esse financiamento será composto por sete prestações fixas e iguais a R$ 
10.732,84.
No momento do primeiro pagamento referente a primeira parcela o saldo devedor, 
considerando que o saldo devedor inicial é de R$70.000,00, é possível determinar a 
parcela referente a amortização pela relação:
J = i x sd
J = 0,018 x 70.000,00
J = 1260,00
Assim como a parcela é encontrada pelo somatório entre a parcela de amortização e 
o juro:
p = a + j ͢ a = p - j
a = R$ 10.732,84 - 1260,00
a = 9.472,84
Logo, o novo saldo devedor é de R$70.000,00 – R$9.472,84 = R$60.527,16; assim o 
juro e o valor da segunda parcela serão dados por, respectivamente:
J = i x sd
J = 0,018 x 60.527,16
J = 1089,49
Assim como a parcela é encontrada pela adição da parcela de amortização e o juro:
p = a + j ͢ a = p - j
20
a = R$ 10.732,84 - 1089,49
a = 9.643,35
Iniciamos o cálculo da terceira parcela calculamos o novo saldo devedor é de 
R$60.527,16 – R$9.643,35 = R$50.883,81; logo, o juro e o valor da parcela são, nessa 
ordem:
J = i x sd
J = 0,018 x 50.883,81
J = 915,91
Assim pela relação entre amortização e o juro:
p = a + j ͢ a = p - j
a = R$ 10.732,84 - 915,91
a = 9.816,93
A próxima parcela considera o saldo devedor como de R$50.883,81 – R$9.816,93 = 
R$41.066,88; assim o juro e o valor da parcela são, respectivamente:
J = i x sd
J = 0,018 x 41.066,88
J = 739,20
Como a parcela é encontrada pela soma entre a parcela de amortização e o juro:
p = a + j ͢ a= p - j
a = R$ 10.732,84 - 739,20
a = 9.993,64
Neste momento, o novo saldo devedor é de R$41.066,88 – R$9.993,64 = R$31.073,24; 
assim, o juro e o valor da parcela são, nessa ordem:
J = i x sd
J = 0,018 x 31.073,24
21
J = 559,32
Assim como a parcela é encontrada pela adição da parcela de amortização e o juro:
p = a + j ͢ a = p - j
a = R$ 10.732,84 - 559,32
a = 10.173,52
Agora, o novo saldo devedor é diferente e encontrado por R$31.073,24 – R$10.173,52 
= R$20.899,72; neste contexto, o juro e o valor da parcela são, respectivamente:
J = i x sd
J = 0,018 x 20.899,72
J = 376,19
O valor da parcela é encontrada pelo somatório entre a parcela de amortização e o 
juro, assim:
p = a + j ͢ a = p - j
a = R$ 10.732,84 - 376,19
a = 10.356,65
Como último saldo devedor, é de R$20.899,72 – R$10.356,65 = R$10.543,07; logo o 
juro e o valor da parcela são, respectivamente:
J = i x sd
J = 0,018 x 10.543,07
J = 189,77
Finalizando nosso cálculo, novamente aplicaremos a definição de que a parcela é 
encontrada pela adição da parcela de amortização e o juro:
p = a + j ͢ a = p - j
a = R$ 10.732,84 - 189,77
a = 10.543,07
22
Uma vez que a amortização resultou nesse valor, o saldo devedor é de R$ 
R$10.543,07-R$10.543,07 = 0,00.
Com estes valores, é possível visualizar através da disposição dos dados no quadro 3, 
a seguir, com os dados correspondentes ao exemplo resolvido; agora, utilizando como 
base a dinâmica do sistema francês de amortização (SFA).
Sistema Francês de Amortização (SFA)
Principal R$70.000,00 Taxa de Juros 1,8% a.m.
Saldo Devedor
Nº da Parcela Valor da Parcela Amortização Juro da Parcela
0 - - - R$70.000,00
1 R$10.732,84 R$9.472,84 R$1.260,00 R$60.527,16
2 R$10.732,84 R$9.643,35 R$1.089,49 R$50.883,81
3 R$10.732,84 R$9.816,93 R$915,91 R$41.066,88
4 R$10.732,84 R$9.993,64 R$739,20 R$31.073,24
5 R$10.732,84 R$10.173,52 R$559,32 R$20.899,72
6 R$10.732,84 R$10.356,65 R$376,19 R$10.543,07
7 R$10.732,84 R$10.543,07 R$189,77 R$0,00
Total R$75.129,88 R$70.000,00 R$5.129,88 R$0,00
Quadro 3 - Sistema Frances de Amortização (SFA).
Fonte: Elaborado pela autora.
A calculadora financeira HP 12- C realiza seus cálculos relacionados 
a PMT ou anuidades utilizando a metodologia do Sistema Price; 
desta maneira, ao realizar cálculos utilizando esse dispositivo, é 
necessário se atentar a essa configuração.
Curiosidade
Estimado aluno(a), os cálculos que foram realizados anteriormente podem também 
serem efetuados na calculadora HP-12C, para isso basta seguir os seguintes passos;
23
Utilizando a calculadora HP-12C
100000 ENTER
30000 - CHS PV
1.8 i
7 n
Você deve ter aprendido que o Sistema Francês de Amortização ou Sistema Price está 
presente na maioria da compras parceladas, em que o preço à vista da mercadoria se 
distribui do valor parcelado com os juros compostos, que estão inseridos especialmente 
nos financiamentos populacionais; este sistema possui como característica principal 
o fato de utilizar um valor constante para as parcelas que se referem à dívida adquirida; 
24
a variável que se altera conforme o período estabelecido é a parcela que se refere à 
amortização, uma vez que essa quantia cresce a cada parcela, não obstante o juro 
incidido nesta operação financeira diminui a cada período, até se chegar a um saldo 
devedor nulo, ou seja, a quitação da dívida adquirida.
Aprendendo o Sistema de Amortização Misto
Ao término deste conteúdo você será capaz de entender como funciona um outro 
sistema de amortização, este recebe o nome de sistema de amortização misto, uma 
vez que surge a partir da junção entre o Sistema Constante de Amortização e o Sistema 
Francês de Amortização; você será apresentado a definição formal dessa metodologia, 
bem como compreenderá seus cálculos E então? Motivado para desenvolver esta 
nova e interessante competência? Então vamos lá. Avante!
Sistemas de Amortização Misto
O sistema de amortização misto (SAM), como o próprio nome sugere, é o resultado 
entre a “mistura” de outros dois sistemas de amortização, ou seja, nesse método as 
concepções do Sistema de amortização constante e o sistema francês de amortização 
são agregados.
De acordo com Castanheira e Serenato (2008), o SAM foi criado pelo extinto Banco 
Nacional de Habitação em 1979, representando um mesclado entre o sistema francês 
e o sistema constante.
Por este sistema, o devedor paga o empréstimo em prestações, tais que cada uma 
delas resulta da média aritmética entre os valores encontrados para as prestações 
do sistema PRICE e do SAC. Por consequência deste fato os juros, amortizações 
e saldos devedores no sistema de amortização misto, em cada período, também 
são compostos cada um, pela média aritmética entre juros, amortizações e saldos 
devedores dos sistemas PRICE e SAC, observe na figura 4 essa representação.
25
Figura 5 - Composição do Sistema Misto.
Fonte: Elaborado pela autora.
Ressalta-se que na prática nem sempre é viável calcular esses valores, dessa forma, 
apenas as prestações são calculadas como médias aritméticas; assim, as prestações, 
as parcelas de amortização e os juros são calculados através das respectivas relações:
• Psam prestação no sistema de amortização misto
• Psfa prestação no sistema francês de amortização
• Psac prestação no sistema de amortização constante
Onde será adotado:
• asam parcela de amortização no sistema de amortização misto
• asfa parcela de amortização no sistema francês de amortização
• asac parcela de amortização no sistema de amortização constante
Onde será adotado:
• JSAM = juros no sistema de amortização misto
• JSFA juros no sistema francês de amortização
26
• JSAC juros no sistema de amortização constante
Vamos partir para a resolução de mais um exemplo, utilizaremos novamente os dados 
obtidos na dinâmica dos sistema Price e Sistema de amortização constante.
Vamos lá?
O sistema de amortização, também conhecido de Sistema 
de Amortização Crescente (SACRE), é considerado o tipo de 
financiamento imobiliário mais popular no Brasil, por abranger 
características do Price e SAC e por gerar um aumento nas parcelas 
até determinado valor máximo.
Curiosidade
No Sistema de amortização constante, encontramos como valor de prestação, de 
parcela de amortização e de juros respectivamente:
Sistema de Amortização Constante (SAC)
Principal R$70.000,00 Taxa de Juros 1,8% a.m.
Saldo Devedor
Nº da Parcela Valor da Parcela Amortização Juro da Parcela
0 - - - R$70.000,00
1 R$11.260,00 R$10.000,00 R$1.260,00 R$60.000,00
2 R$11.080,00 R$10.000,00 R$1.080,00 R$50.000,00
3 R$10.900,00 R$10.000,00 R$900,00 R$40.000,00
4 R$10.720,00 R$10.000,00 R$720,00 R$30.000,00
5 R$10.540,00 R$10.000,00 R$540,00 R$20.000,00
6 R$10.360,00 R$10.000,00 R$360,00 R$10.000,00
7 R$10.180,00 R$10.000,00 R$180,00 R$0,00
Total R$75.040,00 R$70.000,00 R$5.040,00 0,00
Quadro 4 - Sistema de Amortização Constante (SAC).
Fonte: Elaborado pela autora.
27
Pelo Sistema Price, encontramos como valor de prestação, de parcela de amortização 
e de juros respectivamente:
Sistema Francês de Amortização (SFA)
Principal R$70.000,00 Taxa de Juros 1,8% a.m.
Saldo Devedor
Nº da Parcela Valor da Parcela Amortização Juro da Parcela
0 - - - R$70.000,00
1 R$10.732,84 R$9.472,84 R$1.260,00 R$60.527,16
2 R$10.732,84 R$9.643,35 R$1.089,49 R$50.883,81
3 R$10.732,84 R$9.816,93 R$915,91 R$41.066,88
4 R$10.732,84 R$9.993,64 R$739,20 R$31.073,24
5 R$10.732,84 R$10.173,52 R$559,32 R$20.899,72
6 R$10.732,84 R$10.356,65 R$376,19 R$10.543,07
7 R$10.732,84 R$10.543,07 R$189,77 R$0,00
Total R$75.129,88 R$70.000,00 R$5.129,88 R$0,00
Quadro 5 - Sistema Frances de Amortização (SFA).
Fonte: Elaborado pela autora.
Para descobrir os valores na metodologia no sistema de amortização misto, realizamos 
a média aritmética, utilizando os dados acima e realizando a média aritmética por 
parcela, observe:
Sistema de Amortização Misto (SAM)
Principal R$70.000,00 Taxa de Juros 1,8% a.m.
Saldo Devedor
Nº da Parcela Valor da Parcela AmortizaçãoJuro da Parcela
0 - - - R$70.000,00
1
11.260,00 +
10.732,84 / 2 =
R$ 10.996,42
10.000,00 +
9.472,844 / 2 =
R$ 9.732,42
1.260,00 +
1.260,00 / 2 =
R$ 1.260,00
R$60.263,58
2
11.080,00 +
10.732,84 / 2 =
R$ 10.906,42
10.000,00 +
9.643,35 / 2 =
R$ 9.821,67
1.080,00 +
1.080,49 / 2 =
R$ 10.084,74
R$50.441,91
28
3
10.900,00 +
10.732,84 / 2 =
R$ 10.816,42
10.000,00 +
9.816,93 / 2 =
R$ 9.908,46
900,00 +
915,91 / 2 =
R$ 907,95
R$40.533,45
4
10.720,00 +
10.732,84 / 2 =
R$ 10.726,42
10.000,00 +
9.993,64 / 2 =
R$ 9.996,82
720,00 +
739,20 / 2 =
R$ 729,60
R$30.536,63
5
10.540,00 +
10.732,84 / 2 =
R$ 10.636,42
10.000,00 +
10.173,52 / 2 =
R$ 10.086,76
540,00 +
559,32 / 2 =
R$ 549,66
R$20.449,87
6
10.360,00 +
10.732,84 / 2 =
R$ 10.546,42
10.000,00 +
10.356,655 / 2
= R$ 10.178,32
360,00 +
376,19 / 2 =
R$ 368,09
R$10.271,55
7
10.180,00 +
10.732,84 / 2 =
R$ 10.456,42
10.000,00 +
10.543,07 / 2 =
R$ 10.271,53
180,00 +
189,77 / 2 =
R$ 184,88
R$0,02
Total R$75.080,94 R$70.000,00 R$5.084,92 R$0,002
Quadro 6 - Sistema Frances de Amortização (SFA).
Fonte: Elaborado pela autora.
Observe caro aluno, que a média aritmética entre os valores gera um valor intermediário, 
isto é, as quantias são um pouco maiores que o do sistema de amortização constante 
e um pouco menores que o sistema francês de amortização; outro ponto que merece 
destaque é o fato de o saldo devedor não ter zerado completamente, bem, este fato é 
decorrente de arredondamentos que são realizados durante os cálculos numéricos e 
são passíveis de aceitação na matemática financeira.
Assim, no SAM concluímos, conforme a figura 6, que suas características são indicadas 
por alguns pontos significativos, observe:
29
Figura 6 - Características do Sistema de Amortização Misto (SAM).
Fonte: Elaborado pela autora.
30
Conclusão
Você deve ter aprendido que o Sistema de Amortização Misto (SAM) é composto pela 
a união de dois outros sistemas de amortização: o Sistema Francês de amortização 
(SFA) e o Sistema de amortização Constante (SAC), onde os valores calculados são 
encontrados através da média aritmética destes dois sistemas, respectivamente. 
Concluímos que no sistema de amortização misto as amortizações são crescentes, 
e os valores dos juros, assim como o das prestações, em contra partida, são 
decrescentes; além disso, nesta metodologia o valor referente a prestação inicial 
é superior quando comparado ao sistema Francês de amortização e inferior ao do 
sistema de amortização constante. No Brasil, esta metodologia é uma das dinâmicas 
de amortização que constantemente é utilizada pelas instituições de créditos 
imobiliários, particularmente a Caixa Econômica Federal (CEF).
31
Referências
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Paulo: Atlas, 2012.
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Aplicada. Curitiba: Intersaberes, 2013. 275 p.
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análise financeira para todos os níveis: soluções algébricas e soluções na HP-12c. 2. 
ed. CURITIBA: Juruá , 2011. 228 p.
CONSELHO FEDERAL DE CONTABILIDADE. Resolução CFC nº. 1.027, de 15 de Abril 
de 2005. Aprova a NBC T 19.5: Depreciação, Amortização e Exaustão. Disponível em: 
http://www.portaldecontabilidade.com.br/nbc/nbct19_5.htm. Acesso em 20 de fev 
de 2023.
FARIA, Rogério Gomes de. Matemática comercial e financeira: com exercícios e 
cálculos em Excel e HP-12C. São Paulo: Ática, 2007.
MATHIAS, Washington Franco e GOMES, José Maria. Matemática Financeira. São 
Paulo: Editora Atlas, 2007.
LAPPONI, Juan Carlos. Matemática Financeira - Uma Abordagem Moderna. 2ª.ed. Rio 
de Janeiro: LtcLTC, 1994.
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira: objetiva e aplicada. 9. ed. São 
Paulo: Elsevier, 2011.
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