Geometria Analítica: Retas e Pontos

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28 Determine o coeficiente angular m e a inclinação a 
da reta s representada abaixo.
29 A reta r representada abaixo tem 150w de inclinação. 
Determine a ordenada q do ponto em que r inter-
cepta o eixo Oy.
30 (Ufam) A reta r que passa pelo ponto A(2, 5) e tem 
135° de inclinação intercepta o eixo das abscissas 
no ponto:
a) (7, 0) c) (5, 0) e) (0, 0)
b) (27, 0) d) (25, 0)
31 Em cada um dos casos a seguir, calcule o coeficiente 
angular das retas AB e CD e classifique-as como 
paralelas ou concorrentes.
a) A(4, 6) e B(7, 9); C(1, 2) e D(5, 6)
b) A(2, 23) e B(1, 4); C(5, 8) e D(3, 9)
c) A(6, 9) e B(6, 1); C(2, 8) e D(2, 12)
26 No plano cartesiano abaixo estão representadas as 
retas r e s.
32 A reta r é horizontal e passa pelos pontos A(5, 2k 2 8) 
e B(7, 5k 1 12). Determine o número real k.
27 Determine o coeficiente angular m da reta AB em 
cada um dos casos a seguir.
a) A(1, 6) e B(4, 9)
b) A(26, 4) e B(3, 25)
c) A(2, 6) e B(10, 6)
d) A(24, 2) e B(24, 8)
Resolva os exercícios complementares 20 a 26.
 De acordo com esse gráfico, classifique como ver-
dadeira (V) ou falsa (F) cada uma das afirmações a 
seguir.
a) A inclinação da reta s é maior que a inclinação 
da reta r.
b) O coeficiente angular da reta s é maior que o 
coeficiente angular da reta r.
c) Sendo mr e ms os coeficientes angulares das retas 
r e s, respectivamente, tem-se OmrO , OmsO.
d) O coeficiente angular da reta r é negativo.
e) O coeficiente angular da reta s é negativo.
f ) A soma das inclinações das retas r e s pode ser 
maior que 180w.
y
s
x6
6
y
q
x
r
4
0
�4
y
x
s
r
16
 Condição de alinhamento de três pontos
Os	pontos	A(1, 3), B(3, 7) e C(5, 11), representados abaixo, são colineares? Isto é, pertencem 
à mesma reta?
3
1 3
7
11
y
x
A
B
C
5
71
S
e
ç
ã
o
 2
.2
	•	
R
e
ta
R
ep
ro
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o 
pr
oi
bi
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. A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
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 e
 L
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 9
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10
 d
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19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
CAP 02.indb 71 04.10.10 13:53:10
Para	responder	a	essa	pergunta,	não	basta	traçar	a	reta	AB com o auxílio da régua, pois o 
ponto C pode estar fora dessa reta a uma distância tão pequena que não possa ser detectada 
graficamente.	Por	isso,	vamos	usar	o	conceito	de	coeficiente	angular	e	a	seguinte	propriedade:
Se duas retas são paralelas e têm um ponto comum, então elas são paralelas coincidentes.
Indicando por mAB e mBC os coeficientes angulares das retas AB e BC, respectivamente, cal-
culamos:
mAB 5 
7 2 3
 ______ 
3 2 1
 5 2 e mBC 5 
11 2 7
 _______ 
5 2 3
 5 2
Como mAB 5 mBC , deduzimos que AB e BC têm a mesma inclinação; logo, essas retas são para-
lelas.	Além	de	paralelas, AB e BC têm o ponto B em comum e, portanto, essas retas são paralelas 
coincidentes, com o que concluímos que os pontos A, B e C são colineares.
Podemos	generalizar	a	condição	de	alinhamento	de	três	pontos	pelo	teorema	a	seguir.
Três pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) são colineares se, e somente se, mAB 5 mBC ou se 
não existem mAB e mBC .
Nota:
Se três pontos D, E e F do plano cartesiano são tais que não existem os coeficientes angu-
lares das retas DE e EF, então essas retas são verticais e, portanto, paralelas. Como, além de 
paralelas, as retas DE e EF têm o ponto E em comum, concluímos que essas retas são paralelas 
coincidentes e, portanto, os pontos D, E e F são colineares.
16 Verificar se os pontos A, B e C são ou não colineares 
nos seguintes casos:
a) A(2, 4), B(3, 7) e C(5, 13)
b) A(4, 2), B(1, 2) e C(21, 2)
c) A(3, 8), B(3, 4) e C(3, 21)
d) A(5, 1), B(3, 3) e C(0, 4) 
e) A(4, 2), B(4, 7) e C(1, 3)
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
Resolução
 Em cada item, devemos observar mAB e mBC :
•	 se	mAB 5 mBC ou se não existirem mAB e mBC , então 
concluímos que A, B e C são colineares;
•	 se	mAB % mBC ou se existir apenas um dos coefi-
cientes angulares mAB e mBC , então concluímos 
que A, B e C não são colineares.
 Assim temos:
a) mAB 5 7 2 4 ______ 
3 2 2
 5 3
 mBC 5 13 2 7 _______ 
5 2 3
 5 3
 Como mAB 5 mBC , concluímos que A, B e C são 
colineares.
b) mAB 5 2 2 2 ______ 
4 2 1
 5 0
 mBC 5 2 2 2 _________ 
1 2 (21)
 5 0
 Como mAB 5 mBC , concluímos que A, B e C são 
colineares.
c) mAB 5 8 2 4 ______ 
3 2 3
 5 4 __ 
0
 (Y)
 mBC 5 
4 2 (21)
 _________ 
3 2 3
 5 5 __ 
0
 (Y)
 Como não existem mAB e mBC , concluímos que A, 
B e C são colineares.
d) mAB 5 3 2 1 ______ 
3 2 5
 5 21
 mBC 5 4 2 3 ______ 
0 2 3
 5 2 1 __ 
3
 
 Como mAB % mBC, concluímos que A, B e C não são 
colineares.
e) mAB 5 7 2 2 ______ 
4 2 4
 5 5 __ 
0
 (Y)
 mBC 5 7 2 3 ______ 
4 2 1
 5 4 __ 
3
 
 Como existe apenas um dos coeficientes angula-
res, concluímos que A, B e C não são colineares.
17 Determinar o valor de y para que os pontos A(2, 5), 
B(4, 11) e C(5, y) sejam colineares.
Resolução
 mAB 5 11 2 5 _______ 
4 2 2
 5 3
 mBC 5 
y 2 11
 _______ 
5 2 4
 5 y 2 11
 Para que A, B e C sejam colineares, devemos ter 
mAB 5 mBC , isto é: 3 5 y 2 11 ] y 5 14
EXERCÍCIOS pROpOStOS
72
C
a
p
ít
u
lo
 2
	•	
G
e
o
m
e
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n
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 d
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19
98
.
CAP 02.indb 72 04.10.10 13:53:11
33 Verifique se os pontos A, B e C são ou não colineares, 
nos seguintes casos:
a) A(4, 2), B(6, 8) e C(7, 11)
b) A @ 1 __ 
3
 , 22 # , B(0, 25) e C @ 1 __ 
2
 , 2 
7 __ 
2
 # 
c) A(5, 2), B(3, 1) e C(4, 2)
d) A @ 1 __ 
4
 , 2 # , B @ 2 __ 
5
 , 2 # e C @ 3 __ 
4
 , 2 # 
e) A(23, 24), B(1, 24) e C(3, 24)
36 (Vunesp) Sejam P(a, b), Q(1, 3) e R(21, 21) pontos do 
plano.
 Se a 1 b 5 7, determine P de modo que P, Q e R sejam 
colineares.
37 Se o ponto (x, y) pertence à mesma reta que os 
pontos A(2, 5) e B(4, 9), então:
a) y 5 2x 1 1 c) y 5 x e) y 5 5x 2 4
b) y 5 3x 2 1 d) y 5 3 2 2x
34 Determine o número real k para que os pontos 
A(3, 22), B(4, 5) e C(k, 29) sejam colineares.
35 Determine o número real q para que os pontos 
A(6, 2), B(1, 4) e C(2, q 1 3) sejam vértices de um 
triângulo.
EXERCÍCIOS pROpOStOS
Resolva os exercícios complementares 27 a 29 e 77 a 80.
 Equação fundamental da reta
A	reta	r representada abaixo passa pelo ponto P(6, 3) e seu coeficiente angular é mr 5 2.
3
α
y
x
P
r
6
mr 5 tg a 5 2
Com base nesses dados, podemos obter uma equação que represente todos os pontos (x, y) 
que pertencem à reta r.	 Para	 obtê-la,	 consideremos	 um	 ponto	 genérico	G(x, y), distinto de P. 
O	ponto	G pertence à reta se, e somente se, o coeficiente angular calculado pelos pontos P e G 
for igual ao coeficiente angular de r,	isto	é:
mPG 5 mr ] 
y 2 3
 ______ 
x 2 6
 5 2
} y 2 3 5 2x 2 12
} y 5 2x 2 9
3
α
y
y
xx
G
P
r
6
Note que o ponto P(6, 3) também satisfaz a equação y 5 2x 2 9, pois substituindo x por 6 e 
y	por	3,	essa	igualdade	é	satisfeita;	observe:
3 5 2 3 6 2 9
Assim,	concluímos	que	a	equação	y 5 2x 2 9 representa todos os pontos (x, y) do plano car-
tesiano que pertencem à reta r, por isso ela é chamada de equação da reta r.
Podemos	generalizar	esse	raciocínio	pelo	teorema	a	seguir.
Se r é a reta não vertical que passa pelo ponto P(x0, y0) e tem coeficiente angular m, então 
uma equação de r	é:
y 2 y0 5 m(x 2 x0)
Essa equação é denominada equação fundamental da reta r.
73
S
e
ç
ã
o
 2
.2
	•	
R
e
ta
R
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ro
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rt
.1
84
 d
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C
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P
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 d
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CAP 02.indb 73 04.10.10 13:53:11