Centro de Gravidade e Centroide

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Mecânica dos Sólidos
Centro de gravidade, centro de massa e centroide de um corpo
Universidade Federal do Maranhão – UFMA
Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas – CCET
CAMPUS SÃO LUÍS
CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA
Prof. Dr. : Helio Cantanhêde
e-mail : helio.cantanhede@ufma.br
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Centro de gravidade
Um corpo é composto de uma série infinita de partículas de tamanho infinitesimal
e, assim, se o corpo estiver localizado dentro de um campo gravitacional, cada
uma das partículas terá um peso dW
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Centro de gravidade
Esses pesos formarão um sistema de forças paralelas, e a resultante desse
sistema é o peso total do corpo, que passa por um único ponto chamado
centro de gravidade, G
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Centro de gravidade
Para determinar a localização do centro de gravidade, considere o elemento na Figura a, na qual o
segmento com o peso dW está na posição arbitrária , o peso total do elemento é a soma dos
pesos de todas as suas partículas, ou seja
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Centro de gravidade
A localização do centro de gravidade, medido a partir do eixo y, é determinada igualando-se o
momento de W em relação ao eixo y (Figura b) à soma dos momentos dos pesos das partículas
em relação a esse mesmo eixo. Portanto,
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Centro de gravidade
De modo semelhante, se o corpo representa uma placa (Figura b), então seria necessário um
equilíbrio de momentos em relação aos eixos x e y para determinar a localização do ponto G.
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Centro de gravidade
Finalmente, podemos generalizar essa ideia para um corpo tridimensional (Figura c) e realizar
um equilíbrio de momentos em relação a todos os três eixos para localizar G para qualquer
posição girada dos eixos. Isso resulta nas seguintes equações:
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Centro de massa de um corpo
Para o estudo da resposta dinâmica ou movimento acelerado de um corpo, é importante localizar
o seu centro de massa Cm (Figura 9.2). Essa localização pode ser determinada substituindo-se
dW = g dm nas equações 9.1. Se g é constante, ele é cancelado e, portanto,
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Centroide de um volume
Se o corpo na Figura 9.3 é feito de um material homogêneo, então sua densidade será
constante. Portanto, um elemento diferencial de volume dV tem massa . Substituindo essa
massa nas equações 9.2 e cancelando , obtemos as fórmulas que localizam o centroide C ou
centro geométrico do corpo; a saber,
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Centroide de um volume
Essas equações representam o equilíbrio dos momentos do volume do corpo. Portanto, se o
volume possui dois planos de simetria, seu centroide precisa estar ao longo da linha de interseção
desses dois planos
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Centroide de um volume
Por exemplo, o cone na Figura 9.4 tem um centroide no eixo y, de modo que
A localização pode ser encontrada usando uma integração simples, escolhendo-se um elemento
diferencial representado por um disco fino com espessura dy e raio r = z.
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Centroide de uma linha
Se um segmento de linha (ou elemento unidimensional) estiver dentro do plano x–y e puder ser
descrito por uma curva fina y = f(x) (Figura 9.6a), seu centroide é determinado a partir de:
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Centroide de uma linha
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Centroide de uma linha
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Centroide de uma linha
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Centroide de uma área
Se uma área se encontra no plano x–y e está contornada pela curva y = f(x), como mostra a Figura
9.5a, então seu centroide estará nesse plano e pode ser determinado a partir de integrais
semelhantes às equações 9.3, a saber,
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Centroide de uma área
Essas integrais podem ser calculadas realizando-se uma integração simples se usarmos uma faixa
retangular para o elemento diferencial de área.
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Centroide de uma área
Por exemplo, se for usada uma faixa vertical (Figura 9.5b), a área do elemento é dA = y dx, e seu
centroide está localizado em . Se considerarmos uma faixa horizontal (Figura 9.5c),
então dA = x dy, e seu centroide está localizado em
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Exemplo
Localize o centroide da área mostrada na Figura.
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Corpos compostos
Um corpo composto consiste em uma série de corpos de formatos “mais simples” conectados, que
podem ser retangulares, triangulares, semicirculares etc
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Corpos compostos
Tal corpo normalmente pode ser seccionado ou dividido em suas partes componentes e, desde que
o peso e a localização do centro de gravidade de cada uma dessas partes sejam conhecidos,
podemos eliminar a necessidade de integração para determinar o centro de gravidade do corpo
inteiro.
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Corpos compostos
Porém, em vez de considerar um número infinito de pesos diferenciais, temos um número finito de
pesos. Portanto,
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Exemplo resolvido
Localize o centroide da área da placa mostrada na Figura.
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Exemplo resolvido
A placa é dividida em três segmentos, conforme mostra a Figura 9.17b. Aqui, a área do pequeno
retângulo 3 é considerada “negativa”, pois precisa ser subtraída do maior 2 .
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Exemplo resolvido
O centroide de cada segmento está localizado conforme indica a figura. Observe que as
coordenadas x de 2 e 3 são negativas
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Exemplo resolvido
Tomando os dados da Figura 9.17b, os cálculos são tabulados da seguinte forma:
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Exemplo 1 
Localize o centro de gravidade do elemento homogêneo. Se ele tem um peso por unidade de
comprimento de 100 N/m, determine a reação vertical em A e as componentes x e y da reação no
pino B.
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Exemplo 2 
Localize o centroide da área sombreada
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Exemplo 3 
Localize o centroide para a seção transversal da viga.
Referências
Gerais;
1. BEER. F. P.; JOHNSTON, E. R., “Mecânica Vetorial para Engenheiros”, Vol. 1, 5°Ed., Editora McGraw-Hill do Brasil, São Paulo,
2011.
2. MELCONIAN, S. “Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais”, 11°Ed., São Paulo: Editora Érica, 2000.
3. RILEY, W. F., “Mecânica dos Materiais”. Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda., 5°Ed., Rio de Janeiro, 2003
Complementar;
1.MERIAM, J.L.; KRAIGE, L.G., Mecânica – Vol. 1: Estática, 5a Edição, LTC, Rio de Janeiro, 2004.
2. MERIAM, J.L.; KRAIGE, L.G., Mecânica –Vol. 2: Dinâmica, 5a Edição, LTC, Rio de Janeiro, 2004
3. SHAMES, I.H.; Estática–Mecânica para Engenharia – Vol. 1, 4ª. Edição, Prentice Hall, São Paulo, 2002.
4. HIBBELER, R. C.; Estática: Mecânica para engenharia – 12ª Edição, Pearson, São Paulo, 2011.
5. BORESI, A. P.; SCHMIDT, R. J. Estática. Pioneira Thomson Learning, 2003