AP2 - Metodos Deterministicos II - 2024-1 - GABARITO

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Métodos Determińısticos II
1o Semestre de 2024
Gabarito da Avaliação Presencial 2 - AP2
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES 1 ATÉ 2.
Seja a função f(x) = 1+x
1−x2 .
Questão 1 [1, 0pt] Determine o doḿınio de f .
Solução: Como f é uma função racional, o denominador não pode se anular. Logo,
1 − x2 ̸= 0 ⇔ x ̸= 1 e x ̸= −1.
Portanto, D(f) = {x ∈ R : x ̸= 1 e x ̸= −1}.
Questão 2 [1, 0pt] Faça um estudo de sinais de f ′ e apresente a expressão de f ′(x).
Solução: Simplificando antes de derivar
f(x) = 1 + x
1 − x2 = 1 + x
(1 − x)(1 + x) = 1
(1 − x) .
Derivando pela regra do quociente
f ′(x) = 0(1 − x) − (1)(−1)
(1 − x)2 = 1
(1 − x)2 .
Como f ′(x) = 1
(1−x)2 , então o sinal de f ′ é determinado pelo numerador 1, pois (1 − x)2 > 0 para
todo x ∈ D(f), portanto, f ′(x) > 0 para todo x ∈ D(f).
Questão 2 [2, 0pts] Sabendo que a definição da derivada de uma função f é dada por: f ′(x) =
limh→0
f(x+h)−f(x)
h . Calcule a derivada de f(x) = x2 − x utilizando a definição.
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Solução: Aplicando a definição, obtemos
f ′(x) = lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
= lim
h→0
(x + h)2 − (x + h) − (x2 − x)
h
= lim
h→0
x2 + 2xh + h2 − x − h − x2 + x
h
= lim
h→0
2xh + h2 − h
h
= lim
h→0
2x + h − 1
= 2x − 1
.
Questão 3: [2, 0pts] Se p(x) for a quantidade produzida de celulares quando há x quantidade
de energia elétrica em kWh gasta, então a produção média por kWh é dada por:
Pm(x) = p(x)
x
.
Considerando que p é diferenciável e se definirmos a melhora da eficiência na produção como sendo
equivalente a Pm ser decrescente, justifique por que é suficiente que
p′(x) <
p(x)
x
para que tenhamos uma produção mais eficiente.
Solução: Se Pm for decrescente, então sua derivada primeira será negativa, isto é,
P ′
m(x) =
(
p(x)
x
)′
< 0.
Utilizando a regra do quociente, obtemos:
p′(x)x − p(x).1
x2 < 0.
Como o denominador x2 é sempre positivo para todo x > 0, então precisamos que o numerador da
expressão acima seja negativo para obter P ′
m(x) < 0. Assim,
p′(x)x − p(x).1 < 0
p′(x)x < p(x)
p′(x) <
p(x)
x
.
Questão 4: [2, 0pts] Suponha que uma empresa tem o custo total de C(x) = x3 + 100x + 500
para que sejam produzidas x unidades de telefones. Suponha que cada unidade do produto é vendida
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no mercado a um preço de 200 reais por unidade. Ache o número de unidades que a empresa deveria
produzir para obter o maior lucro posśıvel.
Solução:
O lucro é a diferença entre a receita total 200x e o custo total. Ou seja, se chamarmos o lucro de
L(x) para x unidades produzidas, temos
L(x) = 200x − (x3 + 100x + 500)
Para enccontrar o maior valor de L(x) posśıvel, vamos usar o teste da derivada primeira.
Primeiro, precisamos calcular a derivada primeira de L(x), a saber:
L′(x) = 200 − 3x2 − 100 = −3x2 + 100.
Antes de fazer o estudo do sinal de L′(x), primeiro calculamos para quais valores de x a derivada
L′(x) = −3x2 + 100 se anula. Assim,
−3x2 + 100 = 0
3x2 = 100
x2 = 100
3 ,
donde obtemos x =
√
100
3 e x = −
√
100
3 .
Como L′(x) = −3x2 +100 é uma parábola com a concavidade voltada para baixo, temos que L′(x)
tem sinal negativo para x < −
√
100
3 e x >
√
100
3 ; tem sinal positivo em −
√
100
3 < x <
√
100
3 .
Assim sendo, percebemos que quando a produção se inicia de x = 0 até x =
√
100
3 , o lucro cresce.
Depois, quando x >
√
100
3 , o lucro decresce. Portanto, se o lucro cresce antes de x =
√
100
3 e
decresce depois, temos que este é o número de unidades que fornece o maior lucro posśıvel.
Questão 5: [2, 0pts] Calcule a integral indefinida e simplifique para obter o valor de
∫
x2exdx
ex
.
Solução:
Primeiro, calculamos
∫
x2exdx integrando por partes, com u = x2, u′ = 2x, v′ = ex, v = ex.
Deste modo, obtemos:
∫
x2exdx = uv −
∫
u′v = x2ex −
∫
2xexdx.
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Vamos calcular separadamente
∫
2xexdx, fazendo u = 2x, u′ = 2, v = ex, v′ = ex.
∫
2xexdx = uv −
∫
u′v = 2xex −
∫
2exdx = 2xex − 2ex + C
Substituindo na integral anterior:
∫
x2exdx = x2ex − (2xex − 2ex) = x2ex − 2xex + 2ex + C.
Portanto, ∫
x2exdx
ex
= x2ex − 2xex + 2ex + C
ex
= x2 − 2x + 2 + C
ex
.
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