Séries de Fourier

Prévia do material em texto

MTM 1022 – Equações Diferenciais B
Aula 11
Séries de Fourier
Vimos que é possível resolver o problema (1) desde que seja possível escrever uma função 
dada como uma série de senos.
Analisaremos agora séries um pouco mais gerais, com a forma
0
1
cos .
2
n n
n
a n x n x
a b sen
l l
 

 
  
 
 (2)
No conjunto de pontos onde a série for convergente, ela define uma função f cujo valor, em 
cada ponto, é a soma da série para este valor de x. Neste caso, a série (2) é a série de
Fourier da função f. Nossos objetivos são determinar que funções podem ser representadas 
como a soma de uma série de Fourier e achar um método para calcular os coeficientes da 
série.
=
𝑎0
2
+ 𝑎1𝑐𝑜𝑠
𝜋𝑥
𝑙
+ 𝑏1sen
𝜋𝑥
𝑙
+ 𝑎2𝑐𝑜𝑠
2𝜋𝑥
𝑙
+𝑏2sen
2𝜋𝑥
𝑙
+ 𝑎3𝑐𝑜𝑠
3𝜋𝑥
𝑙
+ 𝑏3sen
3𝜋𝑥
𝑙
+⋯
=
0
1
cos 
2
n n
n
a n x n x
a b sen
l l
 

 
  
 

Exemplos:
1) A função seno e a função cosseno são periódicas com período fundamental 
2) A função é periódica com período fundamental 
2 .T 
2
.T


 sen x
De fato,
2 2
 ( ) ( 2 ) ( ).sen x sen x sen x sen x
 
     
 
   
        
   
O período fundamental de é 
n x
sen
l
 2
.
l
T
n

Periodicidade das funções seno e cosseno
Uma função é periódica, com período T > 0, se para todo x.:f  ( ) ( )f x T f x 
Se T é um período da função f, então 2T também é um período pois f(x + 2T) = f( x+ T) = f(x). 
O menor período positivo é chamado período fundamental.
As funções constituem um conjunto de funções
Um conjunto de funções é mutuamente ortogonal se qualquer par de funções do conjunto 
for ortogonal.
 e cos , 1, 2,...,
m x m x
sen m
l l
 

mutuamente ortogonais no intervalo Na realidade, elas satisfazem.l x l  
0, 
cos cos
, ;
l
l
m nm x n x
dx
l m nl l
 


  


cos 0, quaisquer , ;
l
l
m x n x
sen dx m n
l l
 

 
0, 
 
, .
l
l
m nm x n x
sen sen dx
l m nl l
 


  


Ortogonalidade das funções seno e cosseno
O produto interno de duas funções reais u e v no intervalo é definido porx  
, ( ) ( ) .u v u x v x dx


 
As funções u e v são ortogonais em se ( ) ( ) 0.u x v x dx


x  
As fórmulas de Euler-Fourier
Suponhamos que a série com a forma (2) seja convergente, e chamemos f(x) a sua soma:
Os coeficientes podem ser relacionados de maneira bastante simples a f(x) 
usando as condições de ortogonalidade das funções seno e cosseno.
 e m ma b
Multiplicando a equação (3) por onde n > 0 inteiro fixo e integrando em 
relação a x, de – l a l, obtemos
cos ,
n x
l

0
1
( ) cos cos cos cos
2
l l l
m
l l l
m
an x n x m x n x
f x dx dx a dx
l l l l
   
  

     
1
cos .
l
m
l
m
m x n x
b sen dx
l l
 


  
Pelas condições de ortogonalidade, deduzimos que o único termo não nulo do segundo 
membro da equação acima é aquele no qual m=n no primeiro somatório. Portanto,
Uma função é seccionalmente contínua se ela tiver apenas um número finito 
de descontinuidades (todas de primeira espécie) em qualquer intervalo limitado.
1
( ) cos ( ) cos , 0,1,2,
l l
n n
l l
n x n x
f x dx la a f x dx n
l l l
 
 
     
1
( ) , 1, 2,
l
n
l
n x
b f x sen dx n
l l


 
Expressão semelhante pode ser obtida para os multiplicando a equação (3) por :
n x
sen
l

mb
As fórmulas acima para os coeficientes de uma série de Fourier são conhecidas como 
fórmulas de Euler-Fourier.
Séries de Fourier
A seguir apresentaremos condições suficientes para que a função f seja igual à sua série 
de Fourier.
:f 
f tem limites pela direita e pela esquerda em cada um dos pontos de descontinuidade.
Não!
Uma função é seccionalmente diferenciável se ela for seccionalmente contínua 
e sua derivada f ’ também for seccionalmente contínua.
:f 
Teorema Seja uma função seccionalmente diferenciável e de período 2l. Então 
a série de Fourier da função f, dada por
:f 
0
1
cos 
2
n n
n
a n x n x
a b sen
l l
 

 
  
 

converge a f(x) se f é contínua em x e para se f é descontínua em x.
1
( ) ( )
2
f x f x   
Observação: é a média dos limites de f à direita e à esquerda no 
ponto x. 
1
( ) ( )
2
f x f x   
Se definimos f(x) como a média dos limites à direita e à esquerda de f em cada um dos 
pontos de descontinuidade x, então a série de Fourier converge a f(x) para todos os 
pontos x no intervalo .l x l  
Exemplo 1:
0, 1 0
( )
1, 0 1.
x
f x
x
  
 
 
Determine a série de Fourier de f no intervalo 1 1.x  
Cálculo dos coeficientes:
1 1
1 0
1
( ) (1 cos )
1 ( 1)
 , 1.
n
n
b f x sen n x dx sen n x dx n
n
n
n
  



    
 
 
 
2
0 para par e para ímpar.n nb n b n
n
 
Portanto, a série de Fourier de f no intervalo é1 1x  
1 2 2 2
 3 5
2 3 5
sen x sen x sen x  
  
   
1 1 1
01 0
1
( ) cos cos sin =0 1.na f x n x dx n x dx n x n
n
  

    
1 0 1
0
1 1 0
( ) 0 1,a f x dx dx dx
 
     
0
1
( ) cos 
2
n n
n
a n x n x
f x a b sen
l l
 

 
   
 

Pelo teorema, esta série converge a zero, se e a 1, se1 0x   0 1.x 
Em x =0, a série se reduz ao valor
1
.
2
Exemplo 2. Seja f a função que é igual a 1 para e x para2 0x   0 2.x 
Calcule a série de Fourier de f no intervalo 2 2.x  
2l 
2 0 2
0
2 2 0
1 1 1
( ) 2,
2 2 2
a f x dx dx xdx
 
     
2 0 2
2 2 0
1 1 1
( ) cos cos cos 
2 2 2 2 2 2
n
n x n x n x
a f x dx dx x dx
  
 
     
0 2
2
0
2 0
1 1 2 2
 
2 2 2 2
n x n x n x
sen x sen sen dx
n n n
  
  
 
    
  

 
2
2
2 2 2 20
0 2 2
0, par
1 2 1 4 2
 cos cos 1 4
2 2 2 2 , ímpar
n
n x n
sen dx x n
n n n n
n
 

  



      



2 0 2
2 2 0
1 1 1
( ) 
2 2 2 2 2 2
n
n x n x n x
b f x sen dx sen dx x sen dx
  
 
     
0 2
2
0
2 0
1 1 2 2
 cos cos cos 
2 2 2 2
n x n x n x
x dx
n n n
  
  
  
    
  

2
2 2
0
1 2 2
(1 cos( )) (cos ) 
2
2
, par1
(1 cos )
0, ímpar
n
n n sen x
n n n
n
n n
n
n

 
  
 


     

 
   


Portanto, a série de Fourier de f no intervalo é2 2,x  
2 2
2 2
0 0
4 1 4 3 1
1 cos cos 2
2 9 2 2
4 cos (2 1) / 2 1 sen 
1
(2 1)n n
x x
sen x sen x
n x n x
n n
 
 
   
 
 
 
 
      

  

  (*)
Pelo teorema, esta série converge a 1, se 
a x, se 
a 1/2 se x=0; e 
a 3/2 se 
2 0;x  
0 2;x 
2.x  