Álgebra Linear II - Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – Álgebra Linear II – 2023/1
Gabarito
Questão 1 (1,5 ponto) Determine os valores de a, b, c ∈ R para que seja autoadjunto o operador
linear L : R3 −→ R3 tal que L(1, 0, 0) = (91, 14a−15, 20 + 3a), L(0, 1, 0) = (3b+ 5c, 92, 3b+ 5c)
e L(0, 0, 1) = (6b+ 5, 11a+ 24, 93).
Solução:
A matriz de L na base canônica (base ortonormal) é [L] =
 91 3b+ 5c 6b+ 5
14a− 15 92 11a+ 24
20 + 3a 3b+ 5c 93
.
L é autoadjunto ⇐⇒ [L] = [L]t ⇐⇒

14a− 15 = 3b+ 5c
6b+ 5 = 20 + 3a
3b+ 5c = 11a+ 24
⇐⇒

14a− 15 = 11a+ 24
6b+ 5 = 20 + 3a
3b+ 5c = 11a+ 24
⇐⇒
3a = 39
6b+ 5 = 20 + 3a
3b+ 5c = 11a+ 24
⇐⇒

a = 13
6b = −5 + 20 + 3.(13) = 54
5c = 11.(13) + 24− 3b
⇐⇒

a = 13
b = 9
5c = 140
⇐⇒

a = 13
b = 9
c = 28
Questão 2 (2,0 pontos) Seja A ∈M3(R) com autovalores λ1 = 2 e λ2 = −31 tal que
E(λ1 = 2) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x− 7y + 15z = 0,−3x+ 22y − 49z = 0 e 13x− 118y + 303z = 0}
E(λ2 = −31) = {(x, y, z) ∈ R3 ; 102x− 84y − 6z = 0}.
Determine bases para os autoespaços e dê as multiplicidades geométricas dos seus autovalores.
A é diagonalizável? Justifique a sua resposta.
Solução:
– Cálculo da base de E(λ1 = 2):
Reduzindo por linhas à forma em escada a matriz associada ao sistema linear homogêneo que
define E(λ1 = 2), obtemos:
 1 −7 15
−3 22 −49
13 −118 303
 L2 ← L2 + 3L1
L3 ← L3 − 13L1∼
 1 −7 15
0 1 −4
0 −27 108
 L1 ← L1 + 7L2
L3 ← L3 + 27L2∼
 1 0 −13
0 1 −4
0 0 0

Logo, x− 13z = 0 e y − 4z = 0. Assim,
E(λ1 = 2) = {(x, y, z) ∈ R3; x− 7y + 15z = 0,−3x+ 22y − 49z = 0, 13x− 118y + 303z = 0}
= { (x, y, z) ∈ R3 ; x− 13z = 0 e y − 4z = 0}
= { (x, y, z) ∈ R3 ; x = 13z e y = 4z}
= { (13z, 4z, z) ; z ∈ R}
= { z(13, 4, 1) ; z ∈ R} = [(13, 4, 1)].
Portanto, {(13, 4, 1)} é uma base de E(λ1 = 2) e a multiplicidade geométrica de λ1 = 2 é 1.
1
– Cálculo da base de E(λ2 = −31):
Temos que
E(λ2 = −31) = {(x, y, z) ∈ R3 ; 102x− 84y − 6z = 0}
= {(x, y, z) ∈ R3 ; 6z = 102x− 84y}
= {(x, y, z) ∈ R3 ; z = 17x− 14y}
= {(x, y, 17x− 14y) ; x, y ∈ R}
= {(x, 0, 17x) + (0, y,−14y) ; x, y ∈ R}
= {x(1, 0, 17) + y(0, 1,−14) ; x, y ∈ R} = [(1, 0, 17), (0, 1,−14)]
Portanto, {(1, 0, 17), (0, 1,−14)} é uma base de E(λ2 = −31) e a multiplicidade geométrica de
λ2 = −31 é 2.
Pelos cálculos do item (a), vemos que existe uma base do R3 formada por autovetores de A, a
saber {(13, 4, 1), (1, 0, 17), (0, 1,−14)}, equivalentemente, a soma das multiplicidades geométricas
dos autovalores é 1 + 2 = 3 = dimR3, logo A é diagonalizável.
Questão 3 (3,0 pontos) Seja A =
[
12 4
4 6
]
.
Determine uma base do R2 formada por autovetores de A, indicando os autovalores. Identifique
a cônica dada pela forma matricial abaixo, obtendo uma equação reduzida à forma canônica
por meio de uma rotação.
(x, y)
[
12 4
4 6
] [
x
y
]
+ (112
√
5 , 28
√
5)
[
x
y
]
+ 1190 = 0.
Solução:
Seja A =
[
12 4
4 6
]
. Temos λI2 − A =
[
λ− 12 −4
−4 λ− 6
]
e
p(λ) = det(λI2 − A) = det
[
λ− 12 −4
−4 λ− 6
]
= λ2 − 6λ− 12λ+ 72− 16 = λ2 − 18λ+ 56 = (λ− 4)(λ− 14).
Logo, os autovalores de A são 4 e 14.
– Cálculo dos autovetores associados a λ1 = 4:
Devemos resolver o sistema linear homogêneo cuja matriz associada é (4)I2 − A. Reduzindo
por linhas à forma em escada, obtemos:
(4)I2 − A =
[
−8 −4
−4 −2
]
L1←(−1) 1
8
L1∼
[
1 1
2
−4 −2
]
L2←L2+4L1∼
[
1 1
2
0 0
]
.
Assim, x+ 1
2
y = 0 ⇔ 2x+ y = 0 ⇔ y = −2x e
E(λ1 = 4) = {(x, y) ∈ R2; y = −2x} = {(x,−2x) ; x ∈ R} = {x (1,−2) ; x ∈ R}.
Logo, fazendo x = 1 obtemos que w = (1,−2) é autovetor associado a λ1 = 4.
– Cálculo dos autovetores associados a λ2 = 14:
Devemos resolver o sistema linear homogêneo cuja matriz associada é (14)I2 − A. Reduzindo
por linhas à forma em escada, obtemos:
2
(14)I2 − A =
[
2 −4
−4 8
]
L1← 1
2
L1∼
[
1 −2
−4 8
]
.
L2←L2+4L1∼
[
1 −2
0 0
]
.
Assim, x− 2y = 0⇔ x = 2y e
E(λ2 = 14) = {(x, y) ∈ R2;x = 2y} = {(2y, y) ; y ∈ R} = {y (2, 1) ; y ∈ R}.
Logo, fazendo y = 1, obtemos que v = (2, 1) é autovetor associado a λ2 = 14.
Portanto, {v = (1,−2)︸ ︷︷ ︸
λ1=4
, w = (2, 1)︸ ︷︷ ︸
λ2=14
} é uma base do R2 formada por autovetores de A.
Usando os cálculos e notações do item anterior,
-
6
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@@
x
v
y
�
�
�
��
@
@
@
@R
w
λ2 = 14λ1 = 4
Vemos que devemos girar v de π
2
no sentido anti-horário para fazê-lo coincidir com w.
Portanto, β =
{
u1 = v
‖v‖ =
(
1√
5
,− 2√
5
)
, u2 = w
‖w‖ =
(
2√
5
, 1√
5
)}
é uma base ortonormal de au-
tovetores, associados aos autovalores λ1 = 4 e λ2 = 14, tal que a matriz de mudança de base,
da base β para a base canônica, é dada por P =
[
u1 u2
]
=
[
1√
5
2√
5
− 2√
5
1√
5
]
com det(P ) = 1
(é a rotação utilizada) e cuja correspondente matriz diagonal é D =
[
λ1 0
0 λ2
]
=
[
4 0
0 14
]
.
Como
[
x
y
]
= P
[
x1
y1
]
e P tAP =
[
4 0
0 14
]
, obtemos:
(x1, y1)
[
4 0
0 14
] [
x1
y1
]
+ (112
√
5, 28
√
5)
[
1√
5
2√
5
− 2√
5
1√
5
]
︸ ︷︷ ︸
faça essa conta primeiro
[
x1
y1
]
+ 1190 = 0
⇐⇒ 4x2
1 + 14y2
1 + (56, 252)
[
x1
y1
]
+ 1190 = 0
⇐⇒ 4x2
1 + 14y2
1 + 56x1 + 252y1 + 1190 = 0
⇐⇒
(
4x2
1 + 56x1
)
+
(
14y2
1 + 252y1
)
+ 1190 = 0
⇐⇒ 4
(
x2
1 + 2.7x1 + 72
)
+ 14
(
y2
1 + 2.9y1 + 92
)
− 196− 1134 + 1190 = 0
⇐⇒ 4(x1 + 7)2 + 14(y1 + 9)2 = 140 ⇐⇒ (x1+7)2
35
+ (y1+9)2
10
= 1,
que é uma equação reduzida na forma canônica de uma elipse.
3
Questão 4 (1,5 ponto) Determine a matriz C que representa, na base canônica do R2, a
transformação linear obtida pela reflexão em relação a reta y = x seguida de uma rotação de
11π
6
radianos no sentido anti-horário.
Solução:
Sejam [T ] e [R], respectivamente, as matrizes de T e R na base canônica do R2, onde T
corresponde à reflexão sobre a reta y = x e R à rotação de 11π
6
radianos no sentido anti-horário.
Assim
[T ] =
[
0 1
1 0
]
e [R] =
 cos 11π
6
− sen 11π
6
sen 11π
6
cos 11π
6
 =

√
3
2
1
2
−1
2
√
3
2

Segue que
[C] = [R ◦ T ] = [R] [T ] =

√
3
2
1
2
−1
2
√
3
2
 0 1
1 0
 =
 1
2
√
3
2
√
3
2
−1
2
 .
Questão 5 (2,0 pontos) Seja T : R2 −→ R2 a reflexão com respeito à reta 9x− 4y = 0.
Dê exemplo de uma base do R2 formada por autovetores de T , indicando os respectivos au-
tovalores. Determine uma matriz inverśıvel P que diagonaliza T , sua correspondente matriz
diagonal D e a matriz A que representa T na base canônica do R2.
Solução:
Temos que
– u1 = (4, 9) pertence à reta, então T (4, 9) = (4, 9), logo u1 = (4, 9) é autovetor de T associado
ao autovalor λ1 = 1.
– u2 = (9,−4) é ortogonal à reta, então T (9,−4) = −(9,−4), logo u2 = (9,−4) é autovetor de
T associado ao autovalor λ2 = −1.
Portanto, β = {u1 = (4, 9)︸ ︷︷ ︸
λ1=1
, u2 = (9,−4)︸ ︷︷ ︸
λ2=−1
} é uma base do R2 formada por autovetores de T .
Uma matriz inverśıvel P que diagonaliza T é a matriz de mudança de base, da base β (obtida
no item (a)) para a base canônica, dada por P =
[
u1 u2
]
=
[
4 9
9 −4
]
.
A sua correspondente matriz diagonal é D =
[
λ1 0
0 λ2
]
=
[
1 0
0 −1
]
.
A inversa de P é
P−1 = − 1
97
[
−4 −9
−9 4
]
=
 4
97
9
97
9
97
− 4
97
 .
Temos que
4
A = PDP−1 =
[
4 9
9 −4
] [
1 0
0 −1
] 4
97
9
97
9
97
− 4
97

=
 4 9
9 −4
 4
97
9
97
− 9
97
4
97

=
 −65
97
72
97
72
97
65
97
 .
5