Lista 5 - Planos e retas

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Lista de Exerćıcios 5 - Gex102 - Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear
UFLA - Departamento de Ciências Exatas
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Retas e Planos
1. Em cada caso, determine as equações (vetorial e geral) do plano.
(a) o plano passa pelo ponto A = (6, 3, 2) e é ortogonal ao vetor ~u = (−2, 1, 5).
(b) o plano passa pelo ponto A = (4, 0,−3) e o seu vetor normal é ~n = ~j + 2~k.
(c) o plano passa pelo ponto A = (2, 0, 1) e é perpendicular à reta de equações paramétricas
x = 3t, y = 2− t, z = 3 + 4t, t ∈ R.
(d) o plano passa pelo ponto A = (1, 2, 3) e contém a reta de equações paramétricas x = 3t,
y = 1 + t, z = 2− t,, t ∈ R.
(e) o plano contém a reta que é intersecção dos planos x−z = 1 e y+2z = 3, e é perpendicular
ao plano x+ y − 2z = 1.
(f) o plano contém A = (1, 2, 0) e é paralelo aos vetores ~u = (1, 1, 0) e ~v = (2, 3,−1)
(g) o plano contém A = (1, 2, 0) e B = (0, 1,−1) e é paralelo ao segmento de extremidades
C = (1, 2, 1) e D = (0, 1, 0)
(h) o plano passa pelos pontos A1 = (0, 1, 2), A2 = (1,−4, 3) e A3 = (1,−8, 1).
2. Encontre as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P = (1, 2, 1) e é perpendicular
ao plano x− y + 2z − 1 = 0.
3. Determine o ângulo entre os planos x + y + z = 1 e x − 2y + 3z = 1. Determine a equação
vetorial da reta que é interseção desses dois planos.
4. Seja r a reta que passa pela origem e cujo vetor direor é −→u =
−→
i + 2
−→
j +
−→
k . Seja π o plano
cujo vetor nornal é ~n = (2, 1, 1) e que passa pelo ponto P = (2, 1, 0). Determine a intersecção
de r com π.
5. Dados os planos π1 : x− y + z = 1 e π2 : x+ y − z = 1, determine o plano que contém π1 ∩ π2
e é ortogonal ao vetor −→v = (−1, 1,−1).
6. Considere os pontos P = (0,−1, 10) e Q = (3, 4,−1). Determine um ponto C sobre a reta
passando por P e Q tal que a área do triângulo ABC seja 11, onde A = (7, 1, 2) e B =
(−1, 8,−2).
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7. Sejam P = (4, 1,−1) e r : (x, y, z) = (2 + t, 4− t, 1 + 2t).
(a) Mostre que P /∈ r.
(b) Obtenha uma equação geral do plano determinado por r e P.
8. Seja ax + by + cz + d = 0 a equação geral de um plano π, onde a, b, c e d são não-nulos.
Considere os pontos P1 = (p1, 0, 0), P2 = (0, p2, 0) e P3 = (0, 0, p3), sendo p1 6= 0, p2 6= 0 e
p3 6= 0. Mostre que a equação de π pode ser escrita na forma
x
p1
+
y
p2
+
z
p3
= 1.
9. Esboce, em cada caso, o plano de equação:
(a) x+ y + z = 1
(b) x+ 2y − 3z = 6
(c) x+ y + z = 0
(d) x+ 2y − 3z = 0
(e) x+ y = 1
(f) x+ y = 3
(g) x+ y = 0
(h) x− 2z = 1
(i) x+ 3z = 5
(j) z = 2
(l) x = 1
(m) y = 3
10. (a) Em cada caso, escreva a equação geral do plano que passa pelo ponto P e tem vetor normal
~n.
i) P = (−1, 3,−2) e ~n = (−2, 1,−1)
ii) P = (2, 0, 0) e ~n = (0, 0, 2)
iii) P = (0, 0, 0) e ~n = (1, 2, 3)
(b) Esboce os planos obtidos no item anterior.
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11. Encontre a equação geral do plano que é perpendicular à reta
r :

x = 2
y = 1 + t
z = 2t
e que passa pelo ponto P = (0, 1,−1).
12. Considere as retas
r1 :

x = 1− t
y = 2 + 2t
z = t
e
r2 :

x = 3s
y = −2− 6s
z = 1− 3s
Encontre a equação geral do plano que contém as duas retas.
13. A reta r é a interseção dos planos
π1 : 2x+ 2y − z = 3 e π2 : x+ y − z = 0.
Obtenha a interseção de r com o plano π : x+ 2y − 2z + 1 = 0.
14. Encontre a equação geral do plano que passa pelo ponto P = (2, 1, 0) e é perpendicular aos
planos x+ 2y − 3z + 2 = 0 e 2x− y + 4z − 1 = 0.
15. Determine a interseção da reta r - que passa pela origem e tem vetor diretor ~u = ~i + 2~j + ~k -
com o plano 2x+ y + z = 5.
16. Seja r a reta determinada pela interseção dos planos x+ y− z = 0 e 2x− y+ 3z− 1 = 0. Ache
a equação geral do plano que passa por A = (1, 0,−1) e contém a reta r.
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