LIVRO DIDÁTICO DIMENSÃO PROFISSIONAL I

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DIMENSÃO PROFISSIONAL I
Obra organizada pela Universidade Luterana do Brasil. 
Informamos que é de inteira responsabilidade dos autores a 
emissão de conceitos.
Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por 
qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora 
da ULBRA.
A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº .610/98 
e punido pelo Artigo 184 do Código Penal.
Conselho Editorial EAD
Dóris Cristina Gedrat
Thomas Heimman
Mara Salazar Machado
Andréa de Azevedo Eick
Astomiro Romais
Setor de Processamento Técnico da Biblioteca Martinho Lutero - ULBRA/Canoas
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
S457d Seibert, Tania Elisa.
 Dimensão profissional I / Tania Elisa Seibert. – Canoas: Ed. ULBRA, 2013.
 144p.
 
1. Matemática. 2. Ensino fundamental. I. Título. 
 
 CDU: 51 
Editoração: Roseli Menzen
Dados técnicos do livro 
Fontes: Palatino Linotype, Franklin Gothic Demi Cond 
Papel: offset 75g (miolo) e supremo 240g (capa) 
Medidas: 15x22cm
ISBN 978-85-7528-504-6
APRESENTAÇÃO 
Prezado(a) aluno(a).
Seja bem-vindo(a) ao estudo da disciplina de Dimensão Profissional I do curso de 
Matemática Licenciatura.
Esta disciplina focará conteúdos específicos de Matemática do Ensino Fundamental 
(1º ano ao 7ºano), aliados a metodologias que permitam a construção dos conceitos 
matemáticos e suas aplicações, o desenvolvimento do pensamento lógico e a 
criatividade da criança e do pré-adolescente. 
O livro-texto da disciplina está organizado em dez capítulos, subdivididos em 
unidades. Cada um dos capítulos e suas respectivas unidades propõem estudo 
sobre os conhecimentos focados nesta disciplina. É importante que, ao longo de 
suas leituras e estudos, você faça apontamentos pessoais que possam ser úteis 
para a realização das atividades solicitadas ao final de cada capítulo. Estas têm a 
intenção de possibilitar articulação entre o que foi estudado com contextualizações 
possíveis em seu cotidiano profissional.
As referências bibliográficas e as sugestões de leitura sugerem obras de autores que 
fundamentam, teoricamente, os estudos realizados e oferecem a você possibilidades 
de aprofundamento com leituras complementares.
As sugestões de objetos de aprendizagem online e de jogos online têm como 
objetivo auxiliar na construção de conceitos matemáticos específicos e de fatos 
numéricos.
Bons estudos e não deixe acumular dúvidas!
 Professora Tania Elisa Seibert
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SOBRE O AUTOR
Tania Elisa Seibert
Professora da Universidade Luterana do Brasil. Mestre em Ensino de Ciências e 
Matemática pela ULBRA. Doutoranda do Programa de Pós-graduação em Ensino 
de Ciências e Matemática (PPGECIM) da ULBRA. Pesquisadora do GECEM (Grupo 
de Estudos Curriculares em Educação Matemática) da ULBRA.
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SUMáRIO
1 A INVENÇÃO DO NÚMERO ........................................................................................11
 1.1 O número concreto ............................................................................................12
 1.2 Números e suas representações .........................................................................14
 Atividades de avaliação ...........................................................................................21
2 CONCEITOS LÓGICOS MATEMáTICOS E O CONCEITO DO NÚMERO ..............................25
	 2.1	Classificação ....................................................................................................25
 2.2 Relações de ordem – seriação ............................................................................26
 2.3 Correspondência termo a termo .........................................................................28
 2.5 Conservação .....................................................................................................29
 2.6 Outros conceitos importantes ............................................................................29
 2.7 Blocos lógicos ...................................................................................................31
 Atividades de avaliação ...........................................................................................34
3 SISTEMA DE NUMERAÇÃO EM DIFERENTES BASES ....................................................37
 3.1 Sistema de numeração binário ...........................................................................37
 2.2 Sistema de numeração decimal ..........................................................................40
 3.3 Representação de números com material concreto..............................................42
 Atividades de avaliação ...........................................................................................45
4 NÚMEROS NATURAIS – PARTE I ................................................................................47
 4.1 Adição .............................................................................................................48
 4.2 Subtração .........................................................................................................51
 4.3 Multiplicação ....................................................................................................52
 Atividades de avaliação ...........................................................................................61
5 NÚMEROS NATURAIS – PARTE II ...............................................................................65
 5.1 Divisão .............................................................................................................65
 5.2 Potenciação .....................................................................................................72
 5.3 Radiação ..........................................................................................................77
 5.4 Expressões numéricas .......................................................................................78
 Atividades de avaliação ...........................................................................................82
6 MÚLTIPLOS E DIVISORES .........................................................................................83
 6.1 Múltiplos e divisores ..........................................................................................84
 6.2 Conjunto dos divisores de um número .................................................................84
 6.3 Conjunto dos múltiplos de um número natural .....................................................85
 6.4 Números primos ................................................................................................85
 6.5 Mínimo múltiplo comum (MMC) .........................................................................86
 6.6 Máximo divisor comum (MDC) ...........................................................................87
 6.7 Resolução de problemas envolvendo os conceitos de MMC e MDC ........................88
 Atividades de avaliação ...........................................................................................89
7 NÚMEROS RACIONAIS .............................................................................................91
 7.1 Conceito de fração de inteiro .............................................................................91
 7.2	Equivalência	e	simplificação ..............................................................................92
 7.3 Operações com frações: adição e subtração ........................................................93
 7.4 Multiplicação ....................................................................................................94
 7.5 Divisão .............................................................................................................96
 7.6 Potenciação e radiciação de frações ...................................................................987.7 Conceito de fração de conjunto discreto .............................................................99
 7.8 Tipos de fração ................................................................................................101
 7.9 Frações decimais e números decimais ..............................................................102
 7.10 Operações com números decimais: adição e subtração ....................................105
 7.11 Sistema monetário brasileiro e os números decimais ......................................109
 Atividades de avaliação ......................................................................................... 111
8 NÚMEROS INTEIROS ..............................................................................................113
 8.1 Representação dos números inteiros na reta numérica ......................................116
 8.2 Valor absoluto ou módulo de um número inteiro .................................................116
 8.3 Números inteiros opostos ou simétricos ............................................................ 117
 8.4 Ccomparação de números inteiros ................................................................... 117
 8.5 Operações com números inteiros ......................................................................118
 Atividades de avaliação .........................................................................................124
9 EQUAÇÃO DE PRIMEIRO GRAU ...............................................................................127
 9.1 Expressões algébricas .....................................................................................127
 9.2 Equações de 1º grau com uma incógnita ...........................................................128
 Atividades de avaliação .........................................................................................133
10 JOGOS E CURIOSIDADES EM SALA DE AULA ............................................................135
 10.1 Jogo da memória – frações ............................................................................135
 10.2 Dominó na sala de aula .................................................................................137
 10.3 Dominó da porcentagem ...............................................................................137
 10.4 O jogo da velha em sala de aula .....................................................................137
 10.5 Régua de frações equivalentes (objeto de aprendizagem) ...............................138
 10.6 Sete cobras ...................................................................................................138
 10.7 Bingo em sala de aula ...................................................................................139
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1 A INVENÇÃO DO NÚMERO
Os números fazem parte do dia a dia de todas as pessoas, mas nem sempre 
percebemos a sua presença. Exemplos de sua utilização podem ser percebidos em 
diferentes situações, como:
No trânsito, para indicar a velocidade máxima permitida em uma 
rodovia.
Ou no supermercado, na identificação das quantidades de 
produtos.
Porém, o número sofreu diversas transformações durante a história da humanidade. 
É esse o objetivo desse capítulo, estudar a origem do número e os números em 
diferentes civilizações. Vamos buscar respostas às perguntas do tipo: desde quando 
os números existem? Quando e como eles foram criados?
Segundo Struik (1992), as primeiras concepções de número e forma datam de 
tempos tão remotos como os do começo da idade da pedra, o paleolítico. Para 
Imenes (1989), a história dos números é parte da história da humanidade. Investigar 
a sua origem é investigar a pré-história humana. Para o autor do habitante das 
cavernas até os nossos dias, passaram-se milhares de anos e o modo de vida 
foi mudando lentamente. À medida que os homens se aperfeiçoavam na caça e 
aprendiam a se proteger dos seus predadores, os pequenos grupos, aos poucos, 
tornaram-se mais numerosos. A natureza também sofreu grandes mudanças. 
Todas essas modificações trouxeram como consequência uma mudança na forma 
de vida de nossos antepassados: eles passaram a cultivar a terra e a criar animais, 
deixando de ser nômades para se fixar no solo. 
80
Km/h
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a Poucos progressos se fizeram no conhecimento dos valores numéricos e de 
relações espaciais até se dar a transição da mera recolha de alimentos para a sua 
produção, da caça e da pesca para a agricultura. A atitude do homem deixou 
de ser passiva, para se tornar ativa, iniciando-se um novo período, o neolítico 
(STRUIK, 1992).
A agricultura e o pastoreio provocaram profundas modificações na vida humana. 
A criação de animais, a agricultura, a construção das casas e o comércio rudimentar 
trouxeram consigo a necessidade da contagem (IMENES, 1989).
Outro fato, apontado por Struik (1992) como importante, foi a demarcação de terras, 
tornando-se então necessário medir o comprimento e o volume de certos objetos, 
que inicia com padrões grosseiros e, muitas vezes, provenientes de partes do corpo 
humano, que deu origem a unidades de medida como o dedo, o pé e a mão. Os 
nomes de “vara”, “braça” e “cúbito” recordam também esse costume.
1.1 O número concreto
Nos primeiros tempos da humanidade, para contar, eram usados os dedos, pedras, 
nós de uma corda, marcas num osso. Uma das evidências que os historiadores 
apontam para a versão da origem da contagem por meio de pedras está na 
linguagem. A palavra cálculo originou-se da palavra latina calculus, que significa 
“pedrinha”. Por isso, acredita-se que essa deve ser a origem da palavra calcular: 
contar com pedrinhas. Observe a história da figura 1.
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aFigura 1 – Contando com pedras 
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a Além das pedrinhas, o homem usou outros recursos de contagem, como marcas 
em ossos e nós em cordas, conforme figura 2.
Figura 2 – O número concreto
Fonte: http://matematica.no.sapo.pt/nconcreto
Outra forma utilizada pelos homens nos processos de contagem resulta da 
utilização do seu próprio corpo. Segundo Imenes (1989), na língua falada de 
algumas tribos, para referir-se a quantidade cinco, elas dizem “mão”. Para referir-se 
ao número dez, dizem duas mãos. Essa associação entre dedos e números até hoje 
está presente na palavra dígito, sinônimo de algarismo. A palavra dígito provém 
de digitus, que em latim significa “dedo”.
O número que surgiu quando o homem contava objetos utilizando outros objetos 
é, segundo Guelli (1989), um número concreto.
1.2 Números e suas representações
O número é a qualidade que as coleções têm, e que dependem apenas da 
quantidade de seus elementos, independente da natureza dos objetos. Quando 
duas coleções apresentam a mesma quantidade de objetos, associamos a elas um 
mesmo número.
Representamos os números gráfica e oralmente através de símbolos (os chamados 
numerais). Os numerais foram desenvolvidos a partir, principalmente, do ato 
de agrupar. As grandes civilizações do passado tinham maneiras próprias de 
representar os números, conforme veremos a seguir.
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a1.2.1 Os egípcios e os seus hieróglifos
A civilização egípcia desenvolveu-se no vale do rio Nilo, onde ainda hoje é o 
Egito, especialmente entre 4500 a.C. até 300 a.C. A construção de suas pirâmides 
demonstra o conhecimento avançado desta civilização. Destacaram-se na 
construção, agricultura, astronomia, medicina e esculturas. Tinham uma forma 
de comunicação escrita (hieróglifos com centenas de símbolos) e um sistema de 
numeração. O papel utilizado por eles para realizar registros foi o Papiro.
No sistema de numeração dos egípcios, cada símbolo representava dez vezes o 
valor do anterior, conforme pode ser observado no quadro da figura 3.
Figura 3 – Numeração egípcia
Símbolo egípcio Descrição Nosso número
Bastão 1
Calcanhar10
Rolo de corda 100
Flor de lótus 1000
Dedo apontado 10000
Peixe 100000
Homem 1000000
Fonte: adaptado: adaptado de Guelli, 1998.
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a A representação de alguns números pode ser vista no quadro da figura 4.
Figura 4 – Representação de números na simbologia egípcia
12 20 23 90 100 101 110 321 900
Fonte: adaptado de Guelli, 1998.
Durante muito tempo, o nosso campo histórico mais rico repousava no Egito em 
função dos registros, segundo Guelli (1989) e Struik (1992), de dois grandes papiros: 
o Papiro Ahmes e o Papiro de Moscou.
O Papiro de Ahmes foi escrito por volta de 1650 a.C. e tem aproximadamente 5,5m 
de comprimento e 32 cm de largura, que contém 85 problemas. Foi comprado, 
em 1858, por um antiquário escocês chamado Henry Rhind. Por isso, é também 
conhecido como Papiro de Rhind. Atualmente, encontra-se no British Museum, 
de Londres (GUELLI, 1989).
O Papiro de Moscou é uma estreita tira de 5,5 m de comprimento por 8 cm de 
largura, com 25 problemas. Encontra-se, atualmente, em Moscou e não se sabe 
nada sobre seu autor (GUELLI, 1989).
As operações eram realizadas utilizando os mesmos símbolos egípcios, como no 
exemplo da adição de 37 e 25 (figura 5).
Figura 5 – Adição no sistema de numeração egípcio
 
Trocando, teremos:
Fonte: adaptado de Imenes, 1989, p. 24.
1.2.2 Os números na Mesopotâmia
A Mesopotâmia é uma região que está localizada no Oriente Médio, delimitado 
entre os vales dos rios Tigre e Eufrates, ocupado pelo atual território do Iraque e 
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aterras próximas. Mesopotâmia significa região entre rios. Segundo Imenes (1989), 
nas escavações arqueológicas realizadas nas cidades da Mesopotâmia foram 
encontradas milhares de placas de barro, contendo numerosas inscrições, entre 
elas registros de números. O auge dessa civilização foi entre os anos de 3500 a.C. 
a 500 a.C.
Usando um bastonete, os escribas da Mesopotâmia escreviam sobre placas de 
argila ainda molhadas, que depois eram cozidas no fogo ou secas ao sol. O seu 
sistema numérico era sexagesimal (59 números), formado por uma combinação 
de caracteres em forma de cunha (cuneiforme). No quadro da figura 6 alguns 
exemplos da sua escrita numérica.
Figura 6 – Escrita numérica mesopotâmica
1 2 5 6 9 10
11 12 20 30 42 59
Fonte: adaptado de Imenes, 1989
Para representar o número 61, as cunhas eram separadas por um pequeno espaço 
(figura 7).
Figura 7 – Representação do número 61
Fonte: adaptado de Imenes, 1989
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a A representação do número 101 era realizada da seguinte maneira (figura 8).
Figura 8 – Representação do número 101
Fonte: adaptado de Imenes, 1989
Essa representação apresentava, segundo Imenes (1989), algumas inconveniências, 
pois a mesma forma cuneiforme representava diferentes valores, dependendo do 
espaço que se deixava entre elas. Outro fator destacado pelo autor é que os povos 
da Mesopotâmia não haviam inventado um símbolo para representar o nada, o 
que dava origem a essas confusões.
As antigas placas da Mesopotâmia desapareceram e, com elas, o seu sistema 
numérico. Entretanto, conforme Imenes (1989), alguns vestígios nos acompanham 
até os dias de hoje. Na contagem do tempo, sessenta segundos compõem um minuto 
e sessenta minutos compõem uma hora. Esta contagem por grupos de sessenta é 
devida à base sessenta da sua numeração.
1.2.3 A numeração na Grécia Antiga
A civilização Grega, situada no atual Continente Europeu, teve seu ápice entre os 
anos 1100 a.C. e 400 d.C. 
Os gregos, segundo Imenes (1989), utilizaram vinte e quatro letras de seu alfabeto 
acrescidas de três outros sinais para representar os números. Alguns exemplos 
dessa representação estão no quadro da figura 9.
Figura 9 – Representação numérica dos gregos
Letra Nome da letra Valor Letra Nome da letra Valor
a alfa 1 d Delta 4
b beta 2 q Teta 9
g gama 3 p Pi 80
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aOutros exemplos de representação de números (figura 10)
Figura 10 – Exemplos de numeração dos gregos
42 95 89 304 842
mb qe pq td wmb
Para representar os múltiplos de mil, até nove mil, eles usavam novamente as 
primeiras letras do alfabeto, acompanhadas de um pequeno risco no início do 
número. Havia outras regras para representar números maiores que 9999. Observe 
que na numeração grega, a contagem era feita por grupos de dez: unidades, 
dezenas, centenas, milhares (IMENES, 1989).
1.2.4 A civilização romana e seu sistema de numeração
De todas as civilizações da Antiguidade, a dos romanos foi a mais importante. 
Seu centro era a cidade de Roma, fundada em 753 a.C., até ser ocupada por povos 
estrangeiros em 476 d.C. Seus habitantes enfrentaram muitas guerras de todos os 
tipos. Foi assim que, pouco a pouco, os romanos foram conquistando a Península 
Itálica e o restante da Europa, além de uma parte da Ásia e o norte da África. 
Os romanos não inventaram novos símbolos para representar os números. Eles 
utilizaram as próprias letras do alfabeto. Alguns exemplos no quadro da figura 11.
Figura 11 – Exemplos de numeração romana
Sistema romano I V X L C D M
Nosso sistema 1 5 10 50 100 500 1000
Quando apareciam vários números iguais juntos, os romanos somavam os seus 
valores, como por exemplo: II = 1 + 1 = 2. Exemplos de números no quadro da 
figura 12.
Figura 12 – Outros números romanos
II III XX XXX CC CCC MM
2 3 20 30 200 300 2000
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a Quando dois números diferentes vinham juntos, e o menor vinha antes do maior, 
subtraíam o seu valor, como por exemplo: IV = 4 porque 5 – 1 = 4 (figura 13). 
Figura 13 – Números romanos
IX XL XC CD CM
 9 40 90 400 900
 
Se o número maior vinha antes do menor, eles somavam o seu valor, como por 
exemplo: VI = 6 porque 5 + 1 = 6 (figura 14). 
Figura 14 – Outros números romanos
XI LX CXII DC CMVII
11 60 112 600 907
Portanto, a letra a esquerda é subtraída e a letra a direita é adicionada.
Quanto à representação dos milhares, os romanos utilizavam a simbologia 
exemplificada no quadro da figura 15.
Figura 15 – Representação do milhar na numeração romana
M MM MMM
1000 2000 3000
Para escrever 4000 ou números maiores que ele, os romanos usavam um traço 
horizontal sobre as letras que representavam esses números, e que multiplicava 
por mil o número abaixo do traço, conforme exemplos no quadro da figura 16.
Figura 16 – Representação do número 4000 ou números maiores que ele
4000 5000 10000 10500 25100 1000000
Porém, um dos grandes problemas era efetuar cálculos nesse sistema. Por isso, os 
matemáticos de todo o mundo continuaram a procurar símbolos mais simples e 
mais apropriados para representar os números. 
IV V X X X D XXV C M
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a1.2.5 A numeração dos Maias
Os sistemas de numeração apresentados até aqui nesse capítulo foram criados por 
povos que habitaram a Europa, o Oriente e o Oriente Médio. A civilização maia, 
alcançou seu auge entre os anos de 300 d.C. a 1600 d.C., e eles habitaram a região 
onde hoje se localiza o sul do México e a América Central. Foi formada por povos 
indígenas de cultura avançada. 
O sistema de numeração criado pelos maias era de base vigesimal (agrupamentos 
e trocas de 20 em 20). Um ponto valia um e um traço valia cinco (figura 17)
Figura 17 – Números Maias
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 0
20 21 22 23 24 25 39 40 66 100
Fonte: adaptado de Imenes, 1989, p. 39.
Porém, a partir do número trezentos e sessenta, as regras do sistema se complicam 
e os agrupamentos deixam de ser de vinte em vinte.
1.2.6 O sistema de numeração decimal
Como resultado de pesquisas realizadas em diferentes lugares surge na Índia 
uma das grandes invenções da história da Matemática: o sistema de numeração 
decimal.
Em 662, o bispo sírio Severus Sebokt, anuncia em uma conferência que os hindus 
realizavam cálculos utilizando apenas nove sinais. A referência a nove,e não a dez 
símbolos, significava que o passo mais importante dos hindus para formar o seu 
sistema de numeração, a invenção do zero, ainda não tinha chegado ao Ocidente. 
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a A ideia da notação para uma posição vazia – um ovo de ganso, redondo, ocorreu 
na Índia no final do século VI. Com a introdução do zero, o sistema de numeração, 
tal qual o conhecemos hoje, estava completo (GUELLI, 1998).
Hoje estes símbolos são chamados de algarismo indo-arábicos, pois os árabes, 
durante o reinado, travaram uma série de guerras de conquistas. Como prêmio 
dessas conquistas, livros de diversos centros científicos foram levados para Bagdá 
e traduzidos para a língua árabe. 
Em 809, o califa de Bagdá passou a ser al-Mamum. Esse califa era apaixonado 
pelas Ciências e contratou vários sábios muçulmanos, entre eles al-Khowarizmi, 
que compreendeu o sistema de numeração hindu. Para contar ao mundo a sua 
descoberta, escreveu o livro chamado “Sobre a arte hindu de calcular”, explicando 
o funcionamento dos dez símbolos hindus.
Os símbolos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ficaram conhecidos como a notação de al-
Khowarizmi, de onde se originou o termo latino algorismus, que deu origem ao 
termo algarismo. São estes números, criados pelos hindus e difundidos pelos árabes, 
que constituem o nosso sistema de numeração decimal, que ficaram conhecidos 
como algarismos indo-arábicos (GUELLI, 1998).
Referências
GUELLI, Oscar. A invenção dos números. São Paulo: Ática, 1998.
IMENES, Luiz Márcio. Os números na história da civilização. São Paulo: Scipione, 1989.
STRUIK, Dirk J. História concisa das matemáticas. Lisboa: Gradiva, 1992
Atividades de avaliação
1) Na numeração egípcia, o número , corresponde a que número no 
sistema de numeração indo-arábico?
a) 7 
b) 407 
c) 43 
d) 34 
e) 304
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a2) A leitura correta dos números romanos XLV, LXV, CCXII, CXCII é
a) quarenta e cinco, sessenta e cinco, duzentos e doze, cento e noventa e dois.
b) quarenta e cinco, sessenta e cinco, cento e noventa e dois, duzentos e doze.
c) sessenta e cinco, quarenta e cinco, cento e noventa e dois, duzentos e doze.
d) sessenta e cinco, quarenta e cinco, duzentos e doze, cento e noventa e dois.
e) vinte e cinco, sessenta e cinco, duzentos e vinte, cento e doze.
3) Ao longo da história existiram muitos sistemas de numeração. Entre eles 
destacaram-se os dos egípcios, dos romanos e dos maias, que habitavam, 
respectivamente, na
a) Europa, América Central, África. 
b) África, Europa, América Central.
c) Europa, África, América Central. 
d) América Central, Europa, África.
e) América Central, África, Europa.
4) A civilização que utilizava traços cuneiformes no registros dos seus números era a
a) Maia. 
b) Mesopotâmica.
c) Romana.
d) Egípcia. 
e) Árabe.
5) Na numeração romana X pode ser subtraído apenas de
a) V e X.
b) L e M. 
c) V, L e D.
d) L e C. 
e) C e M.
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a Respostas: 
 1) c; 2) a; 3) b; 4) b; 5) d.
2 CONCEITOS LÓGICOS MATEMáTICOS 
E O CONCEITO DO NÚMERO
Para Piaget (1973, 1976, 1978), o conhecimento lógico matemático é uma 
construção, e resulta da ação mental da criança sobre o mundo. Não é inerente 
ao objeto, pois é construído a partir das relações que a criança elabora na sua 
atividade de pensar o mundo. É uma operação mental, e consiste de relações 
que não podem ser observáveis, que se deve a diversos estados de abstração. É 
uma pertença biológica que, apesar de ser interna, não nasce pronta e precisa ser 
desenvolvida nos indivíduos, pois o processo lógico matemático proporciona 
uma melhor compreensão do mundo e da sociedade para o indivíduo. Ressalta 
que o conhecimento dos conceitos lógicos matemáticos é essencial na formação 
do conceito do número. O autor destaca que a construção do conhecimento lógico 
matemático se faz a partir da vivência da criança, aliada às situações de desafio que 
lhe são colocadas, na escola e em casa, pois ela constrói ativamente estes conceitos, 
nas relações com o meio ambiente e com os outros.
Segundo Lorenzato (2006), para que o professor tenha sucesso na organização de 
situações que propiciem a exploração matemática pelas crianças, é necessário que 
ele conheça os processos mentais básicos para aprendizagem da matemática, entre 
eles: correspondência, classificação, sequenciação, seriação, inclusão e conservação. 
O autor afirma que, se o professor não trabalhar com as crianças esses processos, 
elas terão dificuldades para aprender número e contagem, entre outras noções.
2.1 Classificação
As atividades de classificação têm como objetivo reconhecer as características de 
um conjunto e separar elementos que não pertencem a ele. Constroem as relações 
de pertinência (quando relacionamos cada elemento com a classe à qual pertence), 
a relação de inclusão de classes (quando relacionamos uma subclasse com a classe 
maior em que ela se encaixa) e as relações simétricas (quando relacionamos objetos 
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a com as suas semelhanças. Se a tem a mesma cor de b, então b tem a mesma cor de 
a. Estabelece a relação entre a parte e o todo.
Quando a criança perceber as semelhanças entre elementos de um conjunto, estará 
apta a perceber a semelhança entre as quantidades. Por exemplo: uma coleção de 3 
carros e uma coleção de 3 balões (propriedade numérica 3). A criança também deve 
perceber que dentro do 3 está o 2; dentro do 2 está o 1 (hierarquia de classes).
Atividade sugerida:
Materiais manipulativos: conjunto de peças com critérios para formar 
subconjuntos. 
Exemplo: Conjunto de peças com critérios para formar subconjuntos. Por exemplo: 
8 peças com “carinhas” de crianças, com critérios: sexo, cor de pele, expressão de 
alegre ou triste, entre outros. Pedir para agrupar as peças segundo algum critério 
escolhido pelo aluno.
2.2 Relações de ordem – seriação
A seriação tem como objetivo organizar objetos por alguma diferença, segundo 
algum critério. Enquanto a classificação trabalha mais com as semelhanças entre 
os elementos, a seriação trabalha mais com as diferenças entre eles. Dizemos que 
estamos seriando os elementos de uma coleção quando estabelecemos entre eles 
uma relação de diferença que possa ser quantificada, permitindo que os elementos 
sejam colocados em ordem crescente ou decrescente. Constrói o conhecimento do 
número ordinal, o conceito de inclusão e de reversibilidade.
Na seriação obtemos uma fila, na qual cada elemento tem seu lugar bem definido, 
e a relação que se estabelece entre ele e seus antecessores e sucessores tem as 
propriedades recíproca ou antissimétrica (Se a é maior que b, então b é menor que 
a) e a transitiva (se Paulo é irmão de João e João é irmão de Maria, pode-se concluir 
que Maria é irmã de Paulo).
Em relação ao número, podemos dizer que a série numérica é o resultado da 
seriação de classes de conjuntos. Qualquer conjunto de 3 elementos estará colocado 
depois do conjunto de 2 elementos e antes do conjunto de 4 elementos. A relação 
entre a primeira classe e a segunda, ou entre a segunda e a terceira, é “+1”. No caso 
da ordem decrescente, seria “-1”.
Quando formamos uma fila com atributos físicos, por exemplo, cor, estamos 
trabalhando com uma grandeza não quantificável, e a essa “fila” chamamos de 
sequência. 
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aAtividades sugeridas:
1) Completar sequências com alternância de elementos. 
2) Seriações com mudanças de tamanho (iniciar com objetos tridimensionais, 
bidimensionais e, por fim, de uma dimensão). Ordem crescente e 
decrescente. 
3) Sugestão de leitura de livros (seriações com os personagens desses livros 
infantis).
 BELINKY, Tatiana. O grande rabanete. São Paulo: Moderna, 1999.
 WOOD, Andrey. A casa sonolenta. São Paulo: Ática, 1999.
4) Jogos online:
a) Completar séries segundo padrões de cores.
 ht t p : / / n l v m . u s u . e d u / e n / n a v / f r a m e s _ a s i d _ 1 8 4 _ g _ 1 _ t _ 1 .
html?from=category_g_1_t_1.html
 b) Seguir séries formadas por padrões sonoros (xilofone).
 http://www.cercifaf.org.pt/mosaico.edu/ca/memo_xilo.html
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a 2.3 Correspondência termo a termo 
A correspondência termo a termo consiste em associar os elementos de dois conjuntos 
formando pares (uma cadeira para um menino; um menino para uma cadeira). 
Se coincidem os elementos, e não sobra nenhum, se diz que esses conjuntos têm 
o mesmo número de elementos. Tem como objetivo a correspondência biunívoca, 
que é o ato de estabelecer relação “um a um”. Mais tarde, a correspondência será 
exigida em situações do tipo: a cada quantidade, um número (cardinal), a cada 
número, um numeral, a cada posição (numa sequência ordenada), um número 
ordinal (LORENZATO, 2006).
Atividades sugeridas:
1) Jogo online: Jogo das sombras
 http://www.sitiodosmiudos.pt/57/miniclick.asp?modulo=010701
2) Ligar dois conjuntos de elementos com relação de igualdade ou com uma 
relação entre si. 
 
2.4 Inclusão de classes
É o ato de fazer abranger um conjunto por outro. Exemplos: incluir as ideias 
laranja e banana, em frutas; meninos e meninas, em crianças; losangos, retângulos 
e trapézios, em quadriláteros (LORENZATO, 2006).
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a2.5 Conservação
É o ato de perceber que a quantidade não depende da arrumação, forma ou posição. 
Exemplos: um copo largo e outro estreito, ambos com a mesma quantidade de 
água; duas filas de tampinhas com a mesma quantidade, mas com arranjo espacial 
diferente (LORENZATO, 2006).
2.6 Outros conceitos importantes
Além desses conceitos, outros são importantes na aquisição do conceito do 
número.
2.6.1 Quantificadores
Têm como objetivo, dado um conjunto de elementos, ver se alguns desses elementos 
possuem uma determinada característica, por exemplo, todos, alguns, nenhum.
Atividade sugerida:
1) Dos exemplos abaixo, quais são animais selvagens? 
 
2.6.2 Cardinalidade
O cardinal refere-se ao total de elementos que possui um (sub)conjunto e significa a 
relação da inclusão presente no conceito do número. As atividades de cardinalidade 
têm como objetivo reconhecer o número cardinal de uma determinada coleção 
de objetos. É necessário relacionar, dentre um conjunto de coleções de diferentes 
tamanhos, o(s) correspondente(s) com o seu cardinal.
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a Atividades sugeridas:
1) Ligue o conjunto com seu respectivo cardinal.
 
2) Jogos online: 
a) Máquina da contagem
 http://www.cercifaf.org.pt/mosaico.edu/ca/contar1.html
b) Cardinalidade
 http://www.junior.te.pt/servlets/Jardim?P=Jogos&ID=15
2.6.3 Ordinalidade
As atividades ligadas ao conceito de ordinalidade têm como objetivo, dada uma 
sequência de objetos, indicar a ordem em que aparecem os elementos. O ordinal 
refere-se a um só elemento, indica a posição desse elemento em um (sub)conjunto 
ordenado e seu significado remete à relação de ordem presente no conceito do 
número.
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aAtividade sugerida:
1) Observe a figura e responda às questões, preenchendo as lacunas. 
 
a) O primeiro da fila é o ___________.
b) O _____ é o terceiro da fila.
c) O último animal da fila é o _______. 
Conforme Piaget e Smeminska (1975), o conceito do número está diretamente 
ligado com a inclusão de classes e a ordenação serial. A síntese do número ocorre 
quando a criança associa os resultados de inclusão de classes com os de seriação 
das relações, desconsiderando o aspecto de qualidade. Para os autores, o número 
é classe e relação assimétrica ao mesmo tempo, ele não deriva de uma ou de outra, 
mas sim da reunião entra elas. Salientam que, para afirmar que a criança conhece o 
número, não basta ela saber contar verbalmente, pois essa criança pode ser capaz 
de enumerar uma fila de seis fichas, mas supor que, ao dividir essas fichas em dois 
grupos de dois e quatro elementos, não equivale, em sua reunião, à quantidade 
inicial das fichas.
2.7 Blocos lógicos
Um conjunto de Blocos Lógicos (BL) é formado de 48 peças distintas umas das 
outras pela cor (azul, vermelho ou amarelo), pela forma (quadrado, círculo, 
triângulo ou retângulo), pela espessura (grosso ou fino) e pelo tamanho (grande 
ou pequeno).
Além da discriminação visual e tátil de forma, 
cor, espessura e tamanho, auxiliam a organização 
do pensamento lógico, imprescindível para 
a aquisição de conhecimento da matemática, 
alfabetização, bem como de qualquer outra 
aprendizagem.
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a Recomenda-se que, inicialmente, as crianças, para reconhecimento do material, 
brinquem livremente, e só então, se introduzam as atividades dirigidas. Esta etapa 
é fundamental e deve preceder qualquer atividade com BL. Somente quando os 
alunos começam a classificar as peças conforme atributos é que o professor deve 
apresentar jogos com regras. 
A seguir sugestão de atividades com blocos lógicos.
1) Descoberta do atributo
a) O professor mostra uma peça e pede que as crianças procurem na 
caixa outras peças que tenham a mesma cor (ou o mesmo tamanho ou 
a mesma espessura).
b) Cada criança recebe uma peça do conjunto e deve colocá-la no conjunto 
certo, traçado no chão com giz ou cordão, obedecendo à etiqueta.
c) Uma criança do grupo escolhe uma peça e desenha seu contorno numa 
folha de papel. Os colegas têm que fazer uma pilha de peças que se 
encaixem exatamente sobre o desenho feito.
2) Construção de figuras: em grupos, as crianças vão tirando da caixa de BL as 
peças que a professor solicita. Por exemplo: 1 círculo grande, 1 círculo pequeno, 
2 triângulos pequenos, 2 quadrados pequenos. O professor desafia: - Vamos 
ver quem consegue montar um pintinho com essas peças? O professor pode 
variar a brincadeira, solicitando peças necessárias para formar casinha, carrinho 
ou outras figuras sugeridas pelos alunos.
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a3) Jogo do detetive: crianças em círculo. No chão, o professor faz, com o cordão 
ou giz, conjuntos com algumas peças que caracterizam o conjunto pela cor, 
forma ou tamanho ou espessura. Por exemplo:
O professor vai acrescentando, uma a uma, as demais peças dos BL nos conjuntos 
respectivamente. Se o professor colocar a peça no conjunto certo os alunos ficam 
em silêncio. Caso colocar uma peça no conjunto ao qual não pertence, como, por 
exemplo, um triângulo no conjunto dos círculos, os alunos devem bater palmas. O 
jogo deve variar com cada criança colocando uma peça nos conjuntos e os demais 
alunos, os “detetives”.
4) Séries: podem ser feitas em pequenos grupos com as peças distribuídas entre 
os alunos. O professor inicia a série, colocando algumas peças sobre a mesa 
ou no chão. Os alunos continuam a série. As séries podem ser propostas pelos 
próprios alunos.
5) Jogo do “SIM” ou “NÃO”: o professor pensa em uma peça qualquer do conjunto 
de BL. Os alunos têm que tentar descobrir a peça, fazendo perguntas lógicas. O 
professor só poderá responder “sim” ou “não”. Por exemplo: A peça pensada 
é o círculo, pequeno, azul, fino. Os alunos perguntam.
- É quadrado? – Não
- É grosso? – Não. E assim por diante, até descobrir a peça.
Pode-se fazer a tabela abaixo, para anotar, as características perguntadas e ir 
eliminando os atributos que a peça não tem e descobri-la mais rapidamente.
Siglas: Am = amarelo; Verm = vermelho; Az = azul.
Am Verm Az
x x x x x x x
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a Leituras recomendadas:
KAMMI, Constance. A criança e o número. Campinas, SP: Papirus, 1990.
LORENZATO, Sérgio. Educação Infantil e percepção matemática. Campinas, SP: Autores 
Associados, 2006.
Referências
LORENZATO, Sérgio. Educação Infantil e percepção matemática. Campinas, SP: Autores 
Associados, 2006.
PIAGET, J. A gênese das estruturas lógicas matemáticas.São Paulo: EPU, 1976.
PIAGET, J. O nascimento da inteligência na criança. 3.ed. Rio de Janeiro: Zahar, 1978.
PIAGET, J.; SMEMINSKA, A. A gênese do número na criança. Rio de Janeiro: Zahar Editores, 1975.
Atividades de avaliação
1) Veja as afirmações que seguem. 
I - “Se a é maior que b, então b é menor que a”.
II - Se Paulo é irmão de João e João é irmão de Maria, pode-se concluir que 
Maria é irmã de Paulo.
Elas referem-se às propriedades
a) afirmação I e II a propriedade transitiva;
b) afirmação I e II a propriedade antissimétrica.;
 c) afirmação I a propriedade antissimétrica e a afirmação II a propriedade 
transitiva;
d) afirmação I a propriedade transitiva e a afirmação II a propriedade 
antissimétrica;
 e) afirmação I e II a propriedade de reciprocidade.
2) O conhecimento lógico matemático, segundo Piaget,
a) é uma operação física, e consiste de relações que podem ser observáveis, 
que se deve a diversos estados de abstração.
b) é um conhecimento social.
c) é uma propriedade inerente ao objeto.
d) é uma construção mental, e resulta da ação mental da criança sobre o mundo.
e) não é interno e nasce pronto no sujeito. 
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a3) Separar objetos de um conjunto pelo critério de cor é uma atividade de
a) quantificação. 
b) correspondência termo a termo.
c) seriação. 
d) classificação. 
e) quantificação numérica.
4) Imagine a seguinte situação: os alunos de uma turma estão em fila segundo a 
sua altura (do menor ao maior). O professor, ao perguntar que lugar João está 
ocupando na fila, ele está propondo uma atividade sobre o conceito de
a) classificação. 
b) cardinalidade. 
c) ordinalidade. 
d) inclusão. 
e) conservação.
5) Pense na seguinte atividade: um professor dá a cada aluno 6 palitos de mesmo 
tamanho e pede que estes montem livremente uma figura. Em seguida, o 
professor mostra a todos os alunos as diferentes figuras construídas com seis 
palitos, e pergunta: “Todas as figuras montadas têm a mesma quantidade de 
palitos ou há figuras que têm mais palitos?”. Esta atividade tem como objetivo 
verificar
a) a conservação. 
b) a inclusão de classes 
c) a comparação. 
d) a cardinalidade. 
e) a ordinalidade.
 
Respostas:
 1) c; 2) d; 3) d; 4) c; 5) a;
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a
3 SISTEMA DE NUMERAÇÃO 
EM DIFERENTES BASES
Antes de iniciarmos o estudo do sistema de numeração decimal, é importante 
trabalhar com sistemas de diferentes bases, para auxiliar o aluno a compreender 
os conceitos envolvidos.
3.1 Sistema de numeração binário
O sistema binário ou base 2, é um sistema de numeração posicional em que todas 
as quantidades se representam com base em dois números: zero e um (0 e 1).
Os computadores trabalham internamente com dois níveis de tensão pelo que o 
seu sistema de numeração natural é o sistema binário (aceso, apagado). Com efeito, 
num sistema simples como este é possível simplificar o cálculo, com o auxílio da 
lógica boleana. Em computação, chama-se um dígito binário (0 ou 1) de bit, que 
vem do inglês Binary Digit. Um agrupamento de 8 bits corresponde a um byte 
(Binary Term).
Atividades sugeridas:
1) Jogo do nunca 2
 Regras: Nunca podemos ficar com dois canudos da mesma cor. 
 2 canudos amarelos são trocados por um vermelho; 2 canudos vermelhos são 
trocados por um verde; 2 canudos verdes são trocados por um azul.
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a a) 3 canudos amarelos
 I I I
 
 I Logo 3(10) = 11(2) 
b) 7 canudos amarelos
 I I I I I I I
 I I I
 I Logo, 7(10) = 111(2) 
c) Quantos canudos amarelos correspondem a 1 verde e 1 amarelo
 I I
 I I I
 I I I I I Logo, 101(2) = 5(10) 
d) Resolva: Qual o número máximo de canudos amarelos que posso usar 
para jogar nunca dois com quatro cores? Resposta: 15 canudos
e) Objeto de aprendizagem online – Representar números em diferentes 
bases.
 Site: http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_152_g_1_t_1.
html?from=topic_t_1.html
 
 
 
 
 
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af) Outra forma para encontrar a representação de um número decimal 
na forma binária é dividindo por 2 e registrando os restos. Exemplo: 
registrar o número 25(10) na numeração binária.
 Logo, 25(10) = 11001(2)
g) Características do jogo “nunca dois”:
 - Agrupamentos são feitos de 2 em 2; os algarismos utilizados são 0 e 1.
 - O algarismo colocado imediatamente à esquerda vale duas vezes mais 
do que se estivesse na posição anterior.
h) Na base dois, a base usada nos computadores binários, o número 110101 
representa: 
 1 x 25 + 1 x 24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 0 x 2 + 1 x 20 = (53)decimal
i) Registro 
I I I I Registro 
na base 2
3 canudos amarelos 1 1 11(2)
4 canudos amarelos 1 0 0 100(2)
5 canudos amarelos 1 0 1 101(2)
7 canudos amarelos 1 1 1 111(2)
10 canudos amarelos 1 0 1 0 1010(2)
11 canudos amarelos 1 0 1 1 1011(2)
15 canudos amarelos 1 1 1 1 1111(2)
Grupo 8 Grupo 4 Grupo 2 Unidade
23 22 21 20
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a 2.2 Sistema de numeração decimal
Como vimos no primeiro capítulo, o sistema de numeração decimal indo-arábico 
superou todos os sistemas de numeração já existentes. Agrupar e reagrupar de 
10 em 10 é uma das características desse sistema de numeração, que, por isso, é 
chamado de sistema de numeração decimal. Também dizemos que esse sistema 
é de base 10.
No sistema de numeração decimal indo-arábico, os grupos de cem são denominados 
centenas. Os grupos de dez, dezenas, e os objetos soltos, unidades. Os algarismos 
assumem valores diferentes dependendo do lugar em que ele está escrito (valor 
posicional) e o algarismo zero faz parte desse sistema.
Atividades sugeridas:
1) Jogo do nunca 10.
 Regras: Nunca podemos ter dez canudos da mesma cor. 
 10 canudos amarelos são trocados por um vermelho; 10 canudos 
vermelhos são trocados por um verde; 10 canudos verdes são trocados 
por um azul. Utiliza os algarismos de 0 a 9.
a) 9 canudos amarelos.
 I I I I I I I I I 9 
b) 16 canudos amarelos
 I I I I I I I I I I I I I I I I 
 I 16 
2) Encontre o correspondente 1024(5) (1024 na base 5) no sistema decimal.
 1 0 2 4
 1 x 53 + 0 x 52 + 2 x 5 + 4 x 50 = 125 + 0 + 10 + 4 = 139
 1024(5) = 139(10)
 
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a3.2.1 Valor posicional
Observe o valor do algarismo 1, em função da posição que ocupa no número:
1 → vale uma unidade.
16 → nesta posição o 1 representa 10 unidades ou 1 dezena.
106 → nesta outra posição, o 1 representa 100 unidades ou 1 centena.
1325 → na posição em que está agora, representa 1 000 unidades ou 1 unidade de 
milhar.
16937 → agora, o algarismo 1 representa 10 000 unidades ou 1 dezena de milhar.
O número posicional baseia-se no princípio multiplicativo, isto é, cada algarismo 
representa o produto dele mesmo pelo valor da posição que ocupa. Por 
exemplo:
Número 328:
3 x 100 → 3 centenas 2 x 10 → 2 dezenas 8 x 1 → 8 unidades
O número é a soma dos valores que cada um dos símbolos representa (princípio 
aditivo). Por exemplo, no número 328:
300 + 20 + 8 = 328
Unindo o princípio multiplicativo e aditivo temos:
328 = 3 x 100 + 2 x 10 + 8
245 = 2 x 10² + 4 x 10 + 5 = 200 + 40 + 5 
2467= 2 x 10³ + 4 x 10² + 6 x 10 + 7 x 10° = 2000 + 400 + 60 + 7
3.2.2 Classe e ordem
Para facilitar a leitura e a escrita de um número, separamos seus algarismos, da 
direita para a esquerda, em grupos de três. Cada um desses grupos é uma classe. 
Cada posição dos algarismos recebe o nome de ordem.
Classe dos milhõesClasse dos milhares Classe das unidades
9a 
ordem
8a 
ordem
7a 
ordem 6a ordem 5a 
ordem
4a 
ordem
3a 
ordem 2a ordem 1a ordem
C D U C D U C D U
9 3 0 1 2 1 4 6 1
Leitura: novecentos e trinta milhões, cento e vinte e um mil, quatrocentos e sessenta e um.
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a 3.3 Representação de números com material concreto
Como vimos no “jogo do nunca dez”, no sistema de numeração decimal, é 
necessário formar grupos de dez e fazer as devidas trocas: 10 unidades são trocadas 
por 1 dezena; 10 dezenas são trocadas por 1 centena; 10 centenas são trocadas por 
1 unidade de milhar, e assim sucessivamente.
Para que as crianças compreendam essas trocas e o seu registro, existem materiais 
de manipulação que auxiliam na construção desses conceitos, entre eles o ábaco, 
o material dourado e o quadro valor lugar (QVL).
3.3.1 ábaco
O ábaco é um antigo instrumento de cálculo, formado por bastões paralelos, 
dispostos no sentido vertical, correspondentes cada um a uma posição (unidades, 
dezenas,...) e nos quais estão os elementos de contagem (fichas, bolas, contas,...), 
que deslizam livremente. 
Paulo tem 12 carrinhos. Vamos representar a quantidade de carrinhos no ábaco. 
Não podemos esquecer-nos das trocas.
10 argolas na 
unidade
ATENÇÃO!
TROCAR
uma dezena
uma dezena e 
duas unidades 
que sobraram
12 = 1 dezena e 2 unidades
Outras representações:
13 41 421 3201
1D 3U 4D 1U 4C 2D 1U 3UM 2C 0D 1U
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aAtividade sugerida:
1) Jogo online no site http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_209_g_1_t_1.html
3.3.2 Material dourado
O Material Dourado foi criado por Maria Montessori e destina-se a atividades 
que auxiliam o ensino e a aprendizagem do sistema de numeração decimal (valor 
posicional) e dos métodos para efetuar as operações fundamentais. 
Normalmente, é construído em madeira, com quatro formatos: o “cubinho” 
(a unidade), a barra (a dezena), a placa (a centena) e o “cubão” (a unidade de 
milhar). 
Vamos representar o número 12 e realizar as trocas no material dourado.
D U D U D U
Agrupar Trocar
Outras representações:
457 4C5D7U
321 3C2D1U
1234 1UM2C3D4U
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a Atividade sugerida:
 Jogo online no site http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_152_g_1_t_1.html
3.3.3 Quadro Valor de Lugar 
O quadro valor de lugar (QVL) é um recurso didático utilizado na Matemática 
na introdução dos conceitos de unidade, dezena e centena e nas operações 
matemáticas.
 
Represente o número 1045 no quadro valor lugar.
UM C D U
I IIII IIIII
1 0 4 5
Fazendo trocas no QVL: 14 unidades
 
 Troca de 10 unidades por uma dezena.
UM C D U
IIIIIIIIIIIIII
UM C D U
IIIIIIIIIIIIII
UM C D U
IIII
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aRepresentação do número 26:
ÁBACO MATERIAL DOURADO QVL
Referências
DANTE, L. R. Tudo é Matemática. 5ª série. São Paulo: Ática, 2005.
Atividades de avaliação
1) Qual é a diferença entre número e numeral?
a) Número e numeral tem o mesmo significado.
b) O número são as ordens, enquanto o numeral são as classes.
c) O número é a expressão de quantidade e o numeral é a classe de 
palavras, símbolos ou grupo de símbolos que representam um 
número.
d) O número é a representação indo-arábica e o numeral é a representação 
romana.
e) O número é representado por um símbolo (por exemplo, 5) e o numeral 
é escrito por extenso (cinco).
2) O nome da 5ª ordem de um número é
a) unidade de milhar. 
b) dezena de milhar.
c) centena de milhar. 
d) centena.
e) unidade de milhões.
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a 3) O número representado na figura é 
 
a) 253 
b) 2053
c) 2503 
d) 2003 
e) 2530
4) O número 615.327 é formado por
a) 2 classes e 6 ordens. 
b) 6 classes e 3 ordens.
c) 2 classes e 2 ordens. 
d) 6 classes e 6 ordens.
e) 5 ordens.
5) O valor posicional do 7 no número 107.456 é
a) 70. 
b) 70.000
c) 700. 
d) 7.000.
e) 7.
Respostas: 
 1) c; 2) b; 3) e; 4) a; 5) d.
4 NÚMEROS NATURAIS – PARTE I
O conjunto dos Números Naturais é representado pela letra maiúscula N e estes 
números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também 
são conhecidos como algarismos indo-arábicos.
IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}.
IN* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} (asterisco exclui o zero).
Para construir este conjunto, é necessário observar as regras abaixo.
a) Todo Número Natural dado tem um sucessor (número que vem depois do 
número dado), considerando também o zero. Exemplos: Seja m um Número 
Natural,
1) o sucessor de m é m+1; 2) o sucessor de 0 é 1;
3) o sucessor de 1 é 2; 4) o sucessor de 19 é 20.
b) Se um Número Natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são 
chamados números consecutivos. Exemplos:
1) 1 e 2 são números consecutivos. 2) 5 e 6 são números consecutivos.
3) 50 e 51 são números consecutivos. 4) m e m + 1 são números
 consecutivos.
c) Todo Número Natural, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem 
antes do número dado). Exemplos: Se m é um Número Natural finito diferente 
de zero,
1) o antecessor do número m é m-1. 2) o antecessor de 2 é 1.
3) o antecessor de 56 é 55. 
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a Obs.:
a) O conjunto P = {0, 2, 4, 6, ...} é conhecido como o conjunto dos Números Naturais 
Pares (divisão por 2 dá resto zero).
b) O conjunto I = {1, 3, 5, 7, ...}é conhecido como o conjunto dos Números Naturais 
Ímpares, (divisão por dois dá resto um). 
c) Números Naturais na reta numérica
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
>
4.1 Adição
Uma das ideias da adição é a de juntar quantidades.
João coleciona selos. Ele tem 134 selos nacionais e 248 selos internacionais. Quantos 
selos João têm ao todo? Para resolver este problema temos que juntar as duas 
quantidades. Vamos resolver esta adição de diferentes formas.
1º) Material dourado:
C D U
134
+ 248
 JUNTAR
 TROCAR
3 8 2
Atividade sugerida:
1) Objeto de aprendizagem online:
 http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_154_g_1_t_1.html?from=category_g_1_t_1.
html
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a2º) QVL
C D U
Juntar 1
2
3
4
4
8
Agrupamento
Nunca dez
3
3
7+1
8
12
2
3º) Algoritmo usual 
C D U
1
 + 2
1
3
4
4 
8
→ Parcela
→ Parcela
3 8 2 → Soma ou total
4º) Algoritmo por decomposição
134 → 100 + 30 + 4
248 → 200 + 40 + 8
 300 + 70 + 10 + 2
 300 + 80 + 2 → 382
Outra ideia associada à adição é a de acrescentar uma quantidade à outra já 
existente.
Se João comprar mais 73 selos, qual será o total de selos que ele passará a ter?
 C D U 
 1 300 + 80 + 2
 3 8 2 70 + 3 
+ 7 3 300 + 150 + 5 → 455
 4 5 5
50
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a Outros exemplos: utilizando o ábaco, para realizar adições, conforme exemplo a 
seguir.
245 + 37 Trocar 10 unidades por uma dezena 245 + 37 = 282
4.1.1 Propriedades da adição no conjunto dos Números Naturais 
A adição, no conjunto dos Números Naturais, possui algumas propriedades. 
 
a) Propriedade Comutativa 
Observe a situação a seguir:
J J J J J J J J J J 
 2 + 3 = 3 + 2 
A adição de números naturais possui a propriedade comutativa. Ou seja, numa 
adição de dois números naturais, a ordem das parcelas não altera a soma. Isto é, 
para quaisquer dois números naturais a e b, temos a + b = b + a.
b) Propriedade Associativa
Observe:
 
 
 (10 + 5) + 2 10 + (5 + 2)
 15 + 2 = 17 10 + 7 = 17
+ +=
51
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aEmbora tenhamos associado as parcelas de modos diferentes, a soma é sempre 
a mesma. Dizemos que a adição de Números Naturais admite a propriedade 
associativa. Ou seja,numa adição de três ou mais parcelas, é indiferente quais 
delas vamos adicionar inicialmente. Isto é, para quaisquer números naturais a, b 
e c, temos (a + b) + c = a + (b + c).
c) Elemento neutro
Vamos analisar as seguintes adições:
3 + 0 = 3 e 0 + 3 = 3
5 + 0 = 5 e 0 + 5 = 5
Podemos perceber que a adição de um Número Natural com zero (e vice – versa), 
é igual ao próprio número. Por isso, o zero é o elemento neutro da adição.
4.2 Subtração
Uma das ideias da subtração é a de tirar uma quantidade da outra.
a) Rafael economizou durante 6 meses R$ 245,00. Com esse dinheiro comprou 
um livro por R$ 37,00. Com quanto dinheiro ele ficou após comprar o livro? 
Para resolver este problema temos que tirar 37 de 245. Vamos resolver esta 
subtração de diferentes formas:
1º) Algoritmo por decomposição
245 → 200 + 40 + 5 ou 200 + 30 + 15
 37 → - 30 + 7 - 30 + 7
 200 + 0 + 8 = 208
2º) Material dourado
C D U
 
 -
 
 -
 
2 0 8
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a Atividade sugerida:
1) Objeto de aprendizagem online
 http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_155_g_1_t_1.html?from=category_g_1_t_1.
html
 
3º) QVL
C D U
2
-
4→Trocar 
3
5
7
2
-
3
3
→15
7
2 0 8
4º) Algoritmo usual 
 C D U
 2
- 
 4 3
 3 
15 
 7 
→ minuendo
→ subtraendo
 2 0 8 → resto ou diferença
Outra ideia associada à subtração é a de comparar quantidades. A comparação é 
feita com perguntas do tipo: quanto uma delas tem a mais que a outra; quanto falta 
para uma delas atingir a outra (completar); qual é a diferença entre elas. Vamos 
analisar a situação.
Carlos tem 12 figurinhas Maria tem 15 figurinhas Lucas tem 19 figurinhas
Maria tem 3 figurinhas a 
mais do que Carlos.
Para Maria atingir 20 
figurinhas faltaram 5.
A diferença de figurinhas 
entre Lucas e Carlos é 7.
15 – 12 = 3 20 – 15 = 5 19 – 12 = 7
4.3 Multiplicação
Há muitas situações nas quais podemos utilizar a operação de multiplicação. A 
multiplicação está relacionada com a ideia de: adição de parcelas iguais, disposição 
retangular, combinação e proporcionalidade. 
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aa) Adição de parcelas iguais
Utilizando esta ideia (adição de parcelas iguais), podemos criar com os alunos 
histórias para contextualizar a “tabuada”. A seguir um exemplo de história criada 
para a tabuada do quatro.
MENINA DE MUITA SORTE
Lilica era conhecida na escola como uma menina de muita, muita sorte. Diziam 
até que, se ela comprasse um número em um sorteio, o prêmio sem dúvida seria 
o dela.
- Olha Maria, achei uma moeda de R$ 1,00 no chão, disse Lilica.
Maria olhava e custava a acreditar. Para ela isso nunca tinha acontecido.
As duas amigas estavam passando ao lado de um canteiro de trevos quando Maria 
resolveu apostar com a amiga.
- Duvido que a cada dia, durante dez dias, você encontre neste canteiro um 
trevo de quatro folhas, disse Maria.
- Aposto contigo o lanche do décimo dia. Tenho certeza que vou encontrar um 
trevo todos os dias, retrucou Lilica.
Pois, duvidem ou não, Lilica ganhou a aposta.
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a Como cada trevo da sorte tem quatro folhas, como poderemos saber quantas folhas 
Lilica acumulou a cada dia. Observe o esquema a seguir.
Dia Trevos Adição Multiplicação
1º 4 1 x 4 = 4
2º 4 + 4 = 8 2 x 4 = 8
3º 4 + 4 + 4 = 12 3 x 4 = 12
4º 4 + 4 + 4 + 4 = 16 4 x 4 = 16
5º 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20 5 x 4 = 20
6º 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24 6 x 4 = 24
7º 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 28 7 x 4 = 28
8º 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 32 8 x 4 = 32
9º 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 36 9 x 4 = 36
10º 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 40 10 x 4 = 40
Criando histórias podemos preencher a tábua de multiplicação:
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Os alunos devem utilizar essa tábua nas aulas, para multiplicar e dividir.
Para multiplicar, por exemplo, 7 x 8, o aluno deve procurar a linha 7 e a coluna 8. 
A intersecção entre a linha e a coluna corresponde ao resultado de 7 x 8 = 56
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aLeitura sugerida:
GROENWALD, C. L. O. (org). Construindo a tabuada. Canoas/RS: Ulbra, 1997.
b) Pensamento combinatório
 São situações onde realizamos todos os possíveis agrupamentos distintos entre 
elementos.
1) Vamos encontrar quantos trajes diferentes é possível formar com uma 
calça, uma saia e 3 camisetas. Observe o esquema abaixo. Com os alunos 
construa “as roupinhas” para possibilitar a manipulação. 
2 possibilidades para roupa 
da parte de baixo e três 
para parte de cima: 
 2 x 3 = 6
 
2) Na sorveteria podemos comprar picolé ou sorvete, de pêssego ou de morango. 
Quantos tipos diferentes estão à venda? Observe esta tabela de dupla 
entrada. 
São quatro as 
possibilidades 
distintas: picolé de 
morango, picolé de 
pêssego, sorvete de 
morango e sorvete 
de pêssego.
 2 x 2 = 4
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a c) Disposição retangular
 Esta “ideia de multiplicação” é utilizada em situações como para contar objetos, 
pessoas, animais, que estão em filas retangulares.
a) A galinha Maricotinha colocou seus filhotes em fila para facilitar a contagem. 
Observe a figura. 
São 3 linhas e 6 
colunas. Portanto, 
são 18 filhotes. Basta 
multiplicar o número 
de linhas pelo número 
de colunas para 
encontrar a resposta. 
 3 x 6 = 18
Atividades sugeridas:
1) Jogo online: tem por objetivo a memorização da tabuada (fatos numéricos).
 http://www.multiplication.com/flashgames/SuperStars/superstars.htm
2) Objeto de aprendizagem online:
 h t t p : / / n l v m . u s u . e d u / e s / n a v / f r a m e s _ a s i d _ 1 9 2 _ g _ 1 _ t _ 1 .
html?from=category_g_1_t_1.html
d) Proporcionalidade
 Para trabalhar essa “ideia da multiplicação de proporcionalidade” podemos 
utilizar receitas. Por exemplo:
Ovos Farinha Açúcar Fermento Leite
Receita de um bolo 2 3 xícaras 2 xícaras 1 colher 1 copo
Receita de dois bolos 4 6 xícaras 4 xícaras 2 colheres 2 copos
Receita de três bolos 6 9 xícaras 6 xícaras 3 colheres 3 copos
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aNote que entre a primeira e a segunda linha os ingredientes foram multiplicados 
por 2, isto é, dobraram. Esta é a ideia de dobro. Quando queremos encontrar o 
dobro de certa quantidade, basta multiplicá-la por dois.
Entre a primeira e a terceira linha os ingredientes foram multiplicados por 3, isto é, 
triplicaram. Esta é a ideia de triplo. Quando queremos encontrar o triplo de certa 
quantidade, basta multiplicá-la por três.
4.3.1 Propriedades da multiplicação no conjunto dos Números Naturais
Como na operação de adição no conjunto dos Números Naturais, a multiplicação 
também possui propriedades.
a) Propriedade Comutativa
 Observe a seguinte situação: 
Nesta figura são 3 linhas e 4 colunas.
Portanto, 3 x 4 = 12
Nesta figura são 4 linhas e 3 colunas.
Portanto, 4 x 3 = 12
Na multiplicação de dois números naturais quaisquer, a ordem dos fatores 
não altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo 
elemento, teremos o mesmo resultado que se multiplicarmos o segundo elemento 
pelo primeiro elemento.
Isto é: m x n = n x m
 
 
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a b) Propriedade Distributiva
 Observe a seguinte situação e determine o número de figuras geométricas.
 
 Triângulos Pentágonos
 3 . 4 + 3 . 2 = 12 + 6 = 18
 Linhas. Colunas (triângulos mais pentágonos)
 3 . (4 + 2) =
 3 .6 = 18
Multiplicando um número natural pela soma de dois números naturais, é o 
mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os 
resultados obtidos.
 m . ( p + q ) = m . p + m . q
A propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, também é válida 
para a subtração.
 6 . 5 – 6 . 2 = 6 . (5 – 2) =
 30 – 12 = 18 6 . 3 = 18
c) Propriedade associativa
 Observe a situação:
 Temos 3 caixas, com 6 pacotes de bombom em cada caixa. Cada pacote de 
bombom contém 12 bombons.
 Para resolver podemos fazer de diferentes formas:
 (3 x 6) x 12 3 x (6 x 12) =
 18 x 12 = 216 3 x 72 = 216
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aNa multiplicação, podemos associar 3 ou mais fatores de modos diferentes, pois 
se multiplicarmos o primeiro fator com o segundo e depois multiplicarmos por 
um terceiro número natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro 
pelo produto do primeiro pelo segundo.
(m . n) . p = m . (n . p)
d) Elemento neutro
 Vamos analisar as seguintes multiplicações:
 3 . 1 = 3 e 1 . 3 = 3
 5 . 1 = 5 e 1 . 5 = 5
Podemos perceber que o produto de um Número Natural por 1 (e vice – versa) é 
igual ao próprio número. Por isso, o 1 é o elemento neutro da multiplicação.
4.3.2 Algoritmos da multiplicação
Vamos agora estudar diferentes formar de realizar algoritmos da multiplicação.
a) Material dourado: 3 x 32
 Primeiro represente o número 32 no material dourado.
 
 Agora triplique (multiplique por 3 esta quantidade).
 
b) Algoritmo longo: 3 x 12
 1 2
 x 3
 6
+3 0
 3 6 
1º passo: multiplique 3 unidades por 2 unidades = 3U x 2U = 6U
2º passo: multiplique 3 unidades por 1 dezena = 3U x 1D = 3D = 30U
3º passo: 6U + 30U = 36
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a Outro exemplo: 13 x 12
 1 3
 x 1 2
 6
 2 0
 + 3 0
 1 0 0
 1 5 6 
1º passo: 2U x 3U = 6U
2º passo: 2U x 1D = 2D
3º passo: 1D x 3U = 3D
4º passo: 1D x 1D = 1C
c) Pela propriedade distributiva: 12 x 13
 12 = 10 + 2 13 = 10 + 3
 (10 + 2) x (10 + 3) = (10 x 10) + (10 x 3) + (2 x 10) + (2 x 3) =
 100 + 30 + 20 + 6 = 156
d) QVL: 324 x 8
UM C D U
2 1
3
 x 
3
2 4
8
8U x 4U = 32U = 3D + 2 U
8U x 2D = 16D + 3D = 19D = 1C + 9D
8U x 3C = 24C + 1C = 25C = 2UM + 5C
2 5 9 2 Resultado
 Outro exemplo: 35 x 24
C D U
1
 x 
2
3
2
5
4
4U x 5U = 20U = 2D + 0U
4U X 3D = 12D + 2D = 14D = 1C + 4D
1
1
 + 6
4
0
0
 2D x 5U = 10D = 1C + 0D
2D x 3D = 6C
6C + 1C + 1C = 8C
8 4 0 Resultado
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aOutro exemplo: 135 x 26
U C D U
2
1
 x 
3
3
2
5
6
6U x 5U = 30U = 3D + 0U
6U x 3D = 18D + 3D = 21D = 2C + 1D
1
2
1
8
6
1
0
0
 2D x 5U = 10D = 1C + 0D
2D x 3D = 6C
2D x 1C = 2UM
3 5 1 0 Resultado
Referências
DANTE, L. R. Matemática. 5º ano. São Paulo: Ática, 2008.
____________. Tudo é matemática. 5ª série. São Paulo: Ática, 2005.
GIOVANNI, J. R.; GIOVANNI, JR, J. R. Matemática: pensar e descobrir. 5ª série. São Paulo: 
FTD, 1996.
MUNHOZ, A.F.; NAZARETH, H.; TOLEDO, M. Fazer, compreender e criar em Matemática. 5º 
ano. São Paulo: IBEP, 2008
Atividades de avaliação
1) Numa sequência de 10 números consecutivos, o maior deles é o antecessor do 
número 100. Qual é o menor número dessa sequência?
 a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 99
2) Um automóvel passou pelo quilômetro 435 de uma rodovia. Ele ainda deverá 
percorrer 687 quilômetros até chegar ao seu destino. Em qual quilômetro dessa 
rodovia está o ponto de destino do automóvel?
a) 252 
b) 1 122 
c) 687 
d) 1 242 
e) 2 014
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a 3) Pense em três números quaisquer e adicione a soma dos dois primeiros com 
o terceiro. A seguir, adicione o primeiro com a soma dos dois últimos. O 
resultado é o mesmo. Qual a propriedade da adição que você utilizou nesse 
procedimento?
a) Fechamento; 
b) distributiva; 
c) comutativa; 
d) associativa; 
e) elemento neutro.
4) Observe os produtos:
1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12 321
1 111 x 1 111 = 1 234 321
Qual o produto de 11 111 x 11 111?
a) 123 454 321 
b) 1 234 454 321 
c) 12 345 543 321
d) 123 455 321 
e) 123 445 321
63
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a5) Um painel luminoso mostra figuras em movimento. Para conseguir esse 
efeito, o painel tem 52 linhas com 144 lâmpadas em cada linha. Quantas são 
as lâmpadas desse painel?
a) 196 
b) 7 488 
c) 4 468 
d) 92 
e) 6 688
Respostas: 
 1) d; 2) b; 3) d; 4) a; 5) b.
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5 NÚMEROS NATURAIS – PARTE II
Neste capítulo, vamos completar o estudo das operações no conjunto dos Números 
Naturais.
5.1 Divisão
A divisão envolve as ideias de dividir uma quantidade em partes iguais e de 
determinar quantas vezes uma quantidade cabe em outra.
a) A ideia de dividir (repartir) em partes iguais
 Felipe percebeu que tinha muitos lápis iguais, e decidiu dar 12 lápis. Ele quer 
reparti-los igualmente entre 3 amigos. Quantos lápis ele dará para cada um?
Vamos ver que estratégia Felipe utilizou para resolver este problema.
Estratégia utilizada: Felipe 
pensou em dividir os lápis em 
três grupos.
 
Colocou um lápis em cada grupo e ainda sobraram 9. 
Como 9 é maior que 3 ele continuou a divisão.
 
Colocou mais um lápis em cada grupo e ainda sobraram 
6. Como 6 é maior que 3 ele continuou a divisão.
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a
 
Colocou mais um lápis em cada grupo e ainda 
sobraram três. Felipe percebeu que poderia dar mais 
um lápis para cada amigo.
 
Felipe descobriu que poderia dar 4 lápis para cada 
amigo, e não sobraria nenhum. Portanto: 12 : 3 = 4
Esta é uma divisão exata, pois não sobraram elementos, 
isto é, o resto foi zero.
b) A ideia de determinar quantas vezes uma quantidade cabe em outra
 Luiza quer dividir 1 litro de suco em copos de 200 ml. Quantos copos de 200ml 
Luiza poderá encher com essa quantidade de suco? (lembre-se que 1 litro = 
1.000 mililitros)
Vamos ver o que Luiza fez para resolver este problema.
 
Colocou 200 ml em um copo:
1 000 – 200 = 800 ml. Ela vai precisar de mais um copo.
 
Colocou 200 ml no outro copo:
800 – 200 = 600 ml. Ela vai precisar de mais um copo.
 
Colocou 200 ml no outro copo:
600 – 200 = 400 ml. Ela vai precisar de mais um copo.
 
Colocou 200 ml no outro copo:
400 – 200 = 200 ml. Ela vai precisar de mais um copo.
 
Colocou 200 ml no outro copo:
200 – 200 = 0 ml. Portanto, 1 000 : 200 = 5
Esta também é uma divisão exata.
5.1.1 Divisões com resto
Vamos ver um exemplo de uma divisão que não é exata, isto é, uma divisão com 
resto.
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aDaniela cria galinhas e vende os ovos em caixas que acondicionam meia dúzia 
de ovos. Na segunda-feira, ela recolheu 11 ovos e na terça-feira 26 ovos. Quantas 
caixas ela vai precisar para acondicionar os ovos? Vão sobrar ovos?
Vamos ver como Daniela resolveu o problema. Primeiro, ela somou 11 + 26 para 
ver a quantidade total de ovos. 11 + 26 = 37 ovos. Portanto, ela tem 37 ovos para 
acondicionar.
6 ovos em uma caixa.
37 – 6 = 31
Sobraram ainda 31 ovos.
 
Mais 6 ovos em outra caixa.
31 – 6 = 25
Sobraram ainda 25 ovos.
 
Mais 6 ovos em outra caixa.
25 – 6 = 19
Sobraram ainda 19 ovos.
 
Mais 6 ovos em outra caixa.
19 – 6 = 13
Sobraram ainda 13 ovos.
 
Mais 6 ovos em outra caixa.
13 – 6 = 7
Sobraram ainda 7 ovos.
 
 
Mais 6 ovos em outra caixa.
7 – 6 = 1
Sobrou um ovo (resto da divisão).
Então: 37 : 6 = 6 e resto 1
Sobre o conceito da divisão, existem alguns aspectos a serem considerados.
O todo a ser dividido pode ser de duas naturezas: discreto ou contínuo. Odiscreto é 
formado por um número finito de elementos (ex.: bolas, balas,...). No todo contínuo, 
a divisibilidade é infinita (ex.: uma folha de papel é, teoricamente, divisível numa 
infinidade de partes). Portanto, o todo discreto não pode ser dividido em qualquer 
número de partes iguais, enquanto o todo contínuo pode.
No algoritmo da divisão, o todo é sempre dividido em partes iguais. Se o todo 
for discreto o resto é o menor possível. No caso de ser contínuo, este deve ser 
completamente esgotado.
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a 5.1.2 Algoritmos da divisão
Antes de iniciarmos o estudo dos algoritmos da divisão, vamos relembrar a 
nomenclatura:
a) Material dourado: 
 
>
>
 82 : 2 
 82 : 2 = 41 
Obs.: Dividir um número por dois é o mesmo que descobrir a metade desse 
número.
b) Outro exemplo com material dourado
a) Material dourado: 34 : 2
 
 → 34 : 2 = 17
 
c) Outro exemplo: 15 : 3
1D não é divisível por três. Transformo: 1D = 10U + 5U = 15 U : 3 = 5U
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ad) Algoritmo por decomposição: 165 : 5 
e) Divisão por sucessivas subtrações (48 : 12)
 
(contar quantas vezes o 12 foi subtraído de 48; 
portanto 48 : 12 = 4)
f) QVL
1) Marta tem 8 figurinhas e quer dividi-las entre quatro colegas. Quantas 
figurinhas cada colega irá receber?
8U : 4 = 2U
Cada colega irá receber 2 figurinhas.
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a 2) Ana e Marcos querem repartir igualmente 28 lápis. Quantos lápis receberá 
cada um? 
 2D : 2 = 1D
8U : 2 = 4U
1D + 4U = 14
3) Quantas vezes o número 7 cabe no número 42? 
Vamos utilizar a tábua da multiplicação: procure o número 42 na linha do 7 e 
encontre o correspondente na coluna. 42 : 7 = 6
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
4) Maria recebeu R$ 639,00 e vai repartir este valor entre seus 3 filhos. Quantos 
reais ela dará para cada filho? Resolva este problema utilizando diferentes 
técnicas.
5) Uma escola com 216 alunos resolveu formar classes com 18 alunos em cada 
classe. Quantas classes serão formadas?
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a
Não podemos dividir 2 centenas por 18 e obter centenas. 
Vamos então transformar 2 centenas em dezenas. 
2C = 20D + 1D = 21D
21D : 18 = 1D e restam 3D.
3D = 30U + 6U = 36U
36U : 18 = 2U
216 : 18 = 12
6) 816 : 8
8C : 8 = 1C
1D : 8 = 0D
1D = 10U + 6U = 16U : 8 = 2U
816 : 8 = 102
Atividades sugeridas: 
a) Operações na reta numérica
 http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_156_g_1_t_1.html?open=activities&
from=category_g_1_t_1.html
b) Divisão 
 h t t p : / / n l v m . u s u . e d u / e s / n a v / f r a m e s _ a s i d _ 1 9 3 _ g _ 2 _ t _ 1 .
html?from=category_g_2_t_1.html
c) Jogos com divisão
 http://www.arcademicskillbuilders.com/games/demolition/demolition.html
 http://www.arcademicskillbuilders.com/games/drag_race/drag_race.html
 http://resources.oswego.org/games/Mathmagician/mathsdiv.html
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a http://www.oswego.org/ocsd-web/games/SumSense/sumdiv.html
 http://www.ictgames.com/airlineGrouping/airlineGrouping.html
 http://www.escolovar.org/mat_dividir_sharing.swf
5.2 Potenciação 
Vamos iniciar a potenciação com uma atividade lúdica. Cada aluno deve desenhar 
seu rosto em um círculo padrão para se associar a sociedade da potenciação.
SOCIEDADE DA POTENCIAÇÃO
Fundaremos uma sociedade, o fundador decide que só serão aceitas na sociedade 
pessoas convidadas.
• Cada sócio tem direito a um convite para duas pessoas;
• Expoente: são os convites;
• Número de pessoas por convite é a base: 2
20 = 1
2¹ = 2
2² = 4
2³ = 8
2º = 1 (o sócio fundador não faz nenhum convite, portanto, a sociedade tem apenas 
uma pessoa).
2¹ = 2 (o sócio fundador fez o 1º convite, entraram na sociedade 2 pessoas).
2² = 4 (os dois sócios fizeram os convites a que tinham direito, já é o convite da 
sociedade, entraram na sociedade 4 pessoas).
2³ = 8 (os 4 sócios convidados fizeram os convites a que tinham direito, já é o 3º 
convite, entraram na sociedade 8 pessoas).
24 = 16 (os oito sócios convidados fizeram os convites a que tinham direito, já é o 
4º convite da sociedade, entraram na sociedade 16 pessoas).
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J J 
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J J 
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J 
J 
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a25 = 32 (16 sócios convidados fizeram os convites a que tinham direito, já é o 5º 
convite da sociedade, entraram na sociedade 32 pessoas).
Como vemos a potenciação indica uma multiplicação de fatores iguais.
Exemplo: 2³ = 2 x 2 x 2. O fator que se repete é o 2 que recebe o nome de base. Esse 
fator se repete 3 vezes, daí o nome do expoente. 8 é o resultado e a operação é a 
potenciação.
Vamos ver outras atividades:
1) Clara teve 3 filhos. Cada um deles lhe deu 3 netos. Cada um dos seus netos 
lhe deu 3 bisnetos. 
 a) Quantos bisnetos Clara teve?
 
 30 = 1 3¹ = 3 3² = 9 3³ = 27
Pelo processo multiplicativo: 3 x 3 x 3 = 3³ = 27. Portanto, Clara teve 27 bisnetos.
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a b) Se cada bisneto de Clara tivesse três filhos, quantos descendentes Clara 
teria?
 3 x 3 x 3 x 3 = 34 = 81
2) Pedro comprou lajotas quadradas de 1m de lado, para revestir o piso de 
um galpão enorme. Lembre-se que para calcular a área de um quadrado 
multiplicamos l x l, ou seja, A = l²
1m A = l² = 1² = 1 x 1 = 1 m²
 1 m
2 m A = l² = 2² = 2 x 2 = 4 m²
 2 m
3 m A = l² = 3² = 3 x 3 = 9 m²
 3 m
4 m A = l² = 4² = 4 x 4 = 16 m²
 4 m
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a3) Raul comprou blocos cúbicos de cimento de 1m de aresta, para construir 
um muro de contenção. O volume c de um cubo é calculado pela 
multiplicação entre a medida de suas arestas. Como as arestas são iguais, 
calculamos: V = a x a x a ou V = a³
 
V = 1 x 1 x 1 = 13 = 1m3
V = 2 x 2 x 2 = 23 = 8m3
V = 3 x 3 x 3 = 33 = 27m3
V = 4 x 4 x 4 = 43 = 64m3
V = 5 x 5 x 5 = 53 = 125m3
5.2.1 Propriedades da potenciação
Vamos analisar algumas regularidades. 
a) Para representar um elemento na potenciação, utilizamos a base adequada e 
o expoente zero (1 linha das atividades).
 20 = 1 (Sociedade da Potenciação – Sócio Fundador)
 30 = 1 (Descendentes de Clara – Clara)
 Podemos então dizer que, se a base não for zero, a potência de expoente zero 
dá 1.
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a b) Sobre o expoente 1: (2ª linha das atividades):
 2¹ = 2 (o sócio fundador fez o 1º convite; entraram na sociedade 2 pessoas).
 3¹ = 3 (os filhos de Clara)
 Podemos dizer que toda potência de expoente 1 dá a própria base.
c) Multiplicação de potências de mesma base
 2³ . 24 = . = 
 5 . 5³ = . = 
Observe:
 2³ . 24 = 23+4 = 27
 5 . 5³ = 51+3 = 54
 Portanto, na multiplicação de potências de mesma base, conservamos a base 
e somamos os expoentes.
d) Divisão de potências de mesma base
 33 : 3 = 27 : 3 = 9 (9 = 3²)
 25 : 2² = 32 : 4 = 8 (8 = 2³)
Observe:
 3³ : 3 = 33 – 1 = 3²
 25 : 22 = 25 – 2 = 2³
 Portanto, na divisão de potências de mesma base, conservamos a base e 
somamos os expoentes.
2 . 2 . 2
23
2 . 2 . 2 . 2
24
2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2
27
5 
51
5 . 5 . 5
53
5 . 5 . 5 . 5
54
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ae) Potência da potência
 (23)4 = 2³ . 2³ . 2³ . 2³ = 2(3 + 3 + 3 + 3) = 2(4 x 3) = 212
 (52)3 = 5² . 5² . 5² = 5(2 + 2 + 2) = 5(3 x 2) = 56
 Portanto, na potência de uma potência, conservamos a base e multiplicamos 
os expoentes.
f)Produto de potências de expoentes iguais
 (2 . 3)2 = 22 . 32 (5 . 2)3 = 5³ . 2³
 6² = 4 . 9 10³ = 125 . 8
 36 = 36 1 000 = 1 000
 Portanto, podemos escrever um produto de potências de expoentes iguais 
como potência de um produto.
Sugestão de atividade:
 Jogo da velha de potenciação online
 http://www.funbrain.com/cgi-bin/ttt.cgi?A1=s&A2=15&A3=0 
5.3 Radiciação
A radiciação é uma operação matemática. É a operação inversa da potenciação. 
Observe:
Para calcularmos a área dessa figura (número de quadradinhos) 
utilizamos a potenciação.
3² = 9 m²
 3 m
Agora sabemos que a área da figura é de 9 m². Queremos
descobrir o valor de x. Precisamos descobrir qual o número 
natural que elevado ao quadrado dá 9 (x² = 9).
Indicamos por: √92
 = 3, porque 3² = 9
 x m √92
 = 3 (Lê-se: raiz quadrada de nove é igual a 3).
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ci
a Já sabemos que o volume desse cubo é de 64 m³. Queremos
descobrir o valor da aresta do cubo. Precisamos descobrir qual o 
número natural que elevado ao cubo dá 64 (x³ = 64).
Indicamos por: √64
3
 = 4, porque 4³ = 64.
√64
3
 = 4 (Lê-se: raiz cúbica de sessenta e quatro é igual a 4).
√an = x , porque xn = a
Obs.:
a) Quando n é omitido, significa que n=2, e a raiz é quadrada. 
b) A x chama-se a raiz, a n índice, a a radicando e a √ radical.
c) Números quadrados perfeitos: são os números que tem raiz quadrada exata 
(formam um quadrado).
 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Observe quais das figuras formam um quadrado (1,4,9). Portanto, os quadrados 
perfeitos (números que têm raiz quadrada exata), nesta sequência, são: 1, 4 e 9.
No estudo de conceitos matemáticos, é extremamente importante que o aluno 
os compreenda. Porém, após a compreensão, é também importante que o aluno 
adquira “fatos numéricos”, isto é, memorize, por exemplo, a tabuada e algumas 
raízes quadradas e cúbicas.
5.4 Expressões numéricas
Para conseguir calcular corretamente o resultado de uma expressão numérica 
em que aparecem vários números e operações, devemos saber qual conta fazer 
primeiro, qual fazer depois e assim por diante.
 x 4 = 8 + =
11 x 4 = 44 8 + 12 = 20
 
3 x 4
12
8 + 3
11
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aNa mesma expressão numérica anterior, em função da ordem de resolução, 
obtivemos resultados diferentes. Qual das duas formas é a correta? Agora vamos 
aprender a resolver essas expressões. Preste muita atenção na resolução dos 
problemas a seguir.
a) Numa garagem estavam 27 veículos entre carros e motos. Se saíram 8 motos 
e chegaram 11 carros, quantos veículos estão na garagem agora?
 + 11= – 8 =
 19 + 11 = 30 38 – 8 = 30
b) Lilica saiu de casa com R$ 24,00 na carteira. Passou na casa da sua avó e ganhou 
dela R$ 16,00. Foi até uma livraria e comprou um livro de R$ 31,00. Quanto 
dinheiro Lilica tem agora na carteira?
 Lilica tinha R$ 24,00 na carteira. Ganhou mais R$ 16,00 da sua avó. Gastou R$ 
31,00. 
 – 31= 
 40 – 31 = 9
 Agora Lilica tem R$ 9,00 na carteira.
ATENÇÃO!
 Nas expressões numéricas que utilizamos para resolver os dois problemas 
anteriores eram formadas apenas com as operações de adição e subtração. 
Nesse caso, as expressões numéricas podem ser resolvidas efetuando as 
operações na ordem em que elas aparecem.
 - 6 + 4 =
 + 4 =
 18 + 4 = 22
27 - 8 
19
27 + 11 
38
24 + 16 
40
15 + 9 
24
24 - 6 
18
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a 3) Determine o número de balas que estão sobre a mesa, sabendo que cada 
embalagem contém 10 balas. 
3 pacotes com 10 balas em cada um.
4 balas soltas. 
Portanto, tem 34 balas. 
A expressão numérica que representa esta situação é: 4 + 3 x 10. Observe a 
resolução:
 x 10 = 4 + =
 7 x 10 = 70 4 + 30 = 34
Observe que o resultado dessa expressão numérica é 34. Portanto, a primeira 
forma de resolução está incorreta. É necessário iniciar a resolução das expressões 
numéricas pelas operações de multiplicação ou divisão, para depois adicionar ou 
subtrair. Vamos ver mais um exemplo.
4) Cláudio foi a uma loja e comprou três camisetas, duas bermudas e um boné, 
como os indicados na figura. Quantos reais Cláudio gastou nesta compra?
 
 + + =
 
 + 19 =
 150 + 19 = 169
 Resposta: Cláudio gastou R$ 169,00.
5) Mauro tinha 12 figurinhas. Seu amigo João tinha 18 figurinhas e resolveu dar 
a metade para Mauro. Quantas figurinhas Mauro têm agora?
 A metade das figurinhas de João = 9
 12 + 9 = 21 figurinhas
 12 + 18 ÷ 2 
9
 =
 12 + 9 = 21
4 + 3 
7
3 x 10 
30
32 x 33 
66
3 x 28 
84
1 x 19 
19
66 + 84 
150
81
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a6) Carmem comprou 2 kg de feijão e 4 kg de arroz. Pagou com uma nota de 20 
reais. Quanto recebeu de troco?
 
 20,00 – (2 x 4,00 + 4 x 3,00) =
 20,00 – (8,00 + 12,00) =
 20,00 – 20,00= 0,00
 Carmem não recebeu troco.
Caso apareçam PARÊNTESES nas expressões numéricas devemos resolver 
primeiro as expressões que estiverem dentro deles, seguindo a ordem de resolução 
apresentada anteriormente.
 5 + (9 – 6 : 3) =
 5 + (9 – 2) =
 5 + 7 = 12
7) √100 – 22 + 4 – 3 . 2 =
 10 – 4 + 4 – 6 =
 6 + 4 – 6 =
 10 – 6 = 4 
Atividade sugerida:
 Objeto de aprendizagem online: http://www.junior.te.pt/servlets/
Rua?P=Jogos&ID=56
Referências
BONJORNO, J.R.; BONJORNO R. A.; OLIVARES, A. Matemática: fazendo a diferença. 6º ano. 
São Paulo: FTD, 2006.
SPINELLI, W.; SOUZA, M. H. Matemática. 5ª série. São Paulo: Ática, 1999.
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a Atividades de avaliação
1) Em uma estante há 16 prateleiras e em cada uma cabem 48 livros. Quantos 
livros, dos 800 que eu tenho que arrumar, sobrarão fora da estante?
 a) 32 b) 26 c) 38 d) 42 e) 16
2) Você tem 4 frutas e 2 doces. Quantas maneiras diferentes você tem para comer 
uma dessas frutas com um desses doces?
 a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
3) Um número natural maior que 20 e menor do que 30 elevado ao quadrado dá 
resultado 784. Qual é esse número?
 a) 22 b) 23 c) 25 d) 26 e) 28
4) Indique qual dos itens é correto em relação à divisão.
 A B
 C D 
 a) A = B . C + D
 b) C = B . D + A
 c) C = A . D + B
 d) A = B . D + C
 e) D = A . B + C
5) A J está ocupando o lugar de um número na conta. O valor da J é:
 12 J
 x 4
 492
 a) 8 b) 3 c) 2 d) 6 e) 5
Respostas: 
 1) a; 2) c; 3) e; 4) d; 5) b.
6 MÚLTIPLOS E DIVISORES
Gabriel precisa distribuir igualmente 56 bombons em caixas, de modo que não 
sobrem bombons.
a) Ele resolveu experimentar dividir em três caixas. Sobrou algum?
 Sim, sobrou 2 bombons.
b) Ele resolveu experimentar dividir em cinco caixas. Deu exato? Sobrou 
algum?
 Não deu exato, sobrou 1 bombom.
c) Ele resolveu experimentar dividir em seis caixas. Deu exato? Sobrou algum?
 Não deu exato, sobrou 2 bombons.
d) Ele resolveu experimentar dividir em sete caixas. Deu exato? Sobrou algum?
 Sim, deu exato. Não sobraram bombons.
e) Ele resolveu experimentar dividir em oito caixas. Deu exato? Sobrou algum?
 Sim, deu exato. Não sobraram bombons.
Dizemos que um número é divisível por outro quando a divisão é exata. Portanto, 
no exemplo anterior, vimos que 7 e 8 são divisores de 56, pois dividem exatamente 
o 56. Se um número é divisível por outro, então ele é múltiplo desse outro.
 93 : 5 = 18 e restam 3. 93 não é divisível por 5, então 5 não é divisor de 93 e 93 
não é múltiplo de 5.
 35 : 7 = 5. 35 é divisível por 7, então 7 é divisor de 35 e 35 é múltiplo de 7.
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a 6.1 Múltiplos e divisores
6.1 Critérios de divisibilidade
Na tabela a seguirobserve alguns critérios de divisibilidade.
Um número é divisível por Quando
Dois
- estiver na sequência dos múltiplos de dois (0, 2, 4, 6, 
8, 10, 12, ...), ou seja, quando for par ou ainda, quando 
terminar em 0, 2, 4, 6, 8.
Três
- estiver na lista dos múltiplos de três (0, 3, 6, 9, 12, ...), 
ou a soma de seus algarismos for um número divisível 
por três.
Quatro - os dois últimos algarismos da direita forem zero ou 
formarem um número divisível por quatro.
Cinco - o algarismo das unidades for zero ou cinco.
Nove - a soma dos algarismos que formam o número for um 
número divisível por nove.
Dez - o algarismo das unidades for zero.
6.2 Conjunto dos divisores de um número
Divisores de um número natural são todos os números naturais que ao dividirem 
tal número, resultarão em uma divisão exata, isto é, com resto igual a zero. O 
conjunto dos divisores de um número é um conjunto finito. O número um é divisor 
de todos os números.
 D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
 D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
 D(21) = {1, 3, 7, 21}
 D(50) = {1, 2, 5, 10, 25, 50}
Atividade sugerida:
a) Objeto de aprendizagem online:
 http://www.matematicadidatica.com.br/CalculadoraDivisoresNumeroNatural.
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a6.3 Conjunto dos múltiplos de um número natural
O primeiro contato direto que o aluno tem com os múltiplos de um número natural, 
é quando ele começa a estudar as tabuadas de multiplicação. Os múltiplos de um 
número natural são todos aqueles que divididos por este número têm zero como 
o resto da divisão. Por exemplo:
0, 4, 8, 12 são múltiplos de 4, porque qualquer um deles dividido por 4 resulta em 
uma divisão exata. Neste caso, o quociente da divisão seria respectivamente 0, 1, 2 
e 3. Portanto, os múltiplos de um número natural são o resultado do produto deste 
número por um outro número natural.
O conjunto dos múltiplos de um número é um conjunto infinito. O número zero 
é múltiplo de todos os números.
 M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, ...}
 M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, ...}
 M(7) = {0, 7, 14, 21, 28, ...}
 M(11) = {0, 11, 22, 33, 44, ...}
6.4 Números primos
Números primos são números pertencentes ao conjunto dos Números Naturais 
não nulos, que possuem exatamente apenas dois divisores naturais distintos: o 
número 1 e o próprio número. Portanto, o número 1 não é um número primo, pois 
o mesmo não apresenta dois divisores distintos.
O número 2 é o único número primo par, já que todos os demais números pares 
possuem ao menos 3 divisores, dentre eles a unidade, o próprio número e o número 2.
Números naturais não nulos que possuem mais de dois divisores são chamados 
de números compostos.
Números primos menores que 100.
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ci
a Atividades sugeridas:
a) Faça uma pesquisa sobre Eratóstenes e o Crivo de Eratóstenes. 
b) Objeto de aprendizagem online
 http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_158_g_3_t_1.html?open=instruction
s&from=category_g_3_t_1.html
6.4.1 Decomposição em fatores primos
Vamos escrever o número 12 como produto de dois ou mais Números Naturais, 
que são fatorações do número 12.
 12 = 1 x 12 12 = 2 x 6 12 = 3 x 4 12 = 2 x 2 x 3
Nestas fatorações, apenas em uma delas todos os fatores são números primos:
 12 = 2 x 2 x 3 ou 12 = 2² x 3
Outros exemplos: 
 30 = 2 x 3 x 5 50 = 2 x 5² 63 = 3² x 7
Atividade sugerida:
a) Objeto de aprendizagem online:
 h t t p : / / n l v m . u s u . e d u / e n / n a v / f r a m e s _ a s i d _ 2 0 2 _ g _ 3 _ t _ 1 .
html?from=category_g_3_t_1.html
6.5 Mínimo múltiplo comum (MMC)
Dados dois ou mais números naturais não nulos, denomina-se mínimo múltiplo 
comum (MMC) o menor dos seus múltiplos que é comum a todos eles, com exceção 
do número zero, pois este é menor dos números naturais e é múltiplo de todos 
eles. Já que o conjunto dos números naturais é um conjunto infinito, os múltiplos 
de um número também são infinitos.
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aDetermine o MMC dos números 6, 8, 12
 M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, ... }
 M(8) = {0, 8, 16, 24, 32, 40, ... }
 M(12) ={0, 12, 24, 36, 48, 60, ... }
Podemos notar que, com exceção do número 0, o número 24 é o menor dos múltiplos 
comum a todos eles. Temos então que: MMC(6, 8, 12) = 24.
Determine o MMC dos números 2, 5, 10
 M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...}
 M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25, ...}
 M(10) = {0, 10, 20, 30, 40, 50, ...}
 MMC(2, 5, 10) = 10
Método prático:
 
 
 MMC(6, 8, 12) = 24 MMC(2, 5, 10) = 10
6.6 Máximo divisor comum (MDC)
Dados dois ou mais números naturais não nulos, denomina-se máximo divisor 
comum (MDC) o maior número que é divisor de todos eles. Caso o número 1 seja o 
único divisor comum a um conjunto de números naturais, dizemos que os números 
deste conjunto são primos entre si.
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ci
a Exemplo: Encontre o MDC dos números naturais 108, 135 e 63. Seus divisores são 
respectivamente:
 D (108) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108}
 D (135) = {1, 3, 5, 9, 15, 27, 45, 135}
 D (63) ={1, 3, 7, 9, 21, 63}
De todos os divisores que cada um dos números possui, o número 9 é o maior deles 
que é comum a todos os três. Temos então que: MDC(108, 135, 63) = 9
Método prático
 
 MDC (108, 135, 63) = 3 x 3 = 3² = 9
Atividades sugeridas: objetos de aprendizagem online
 http://www.matematicadidatica.com.br/CalculadoraMDC.aspx
 http://www.matematicadidatica.com.br/CalculadoraMMCMDC.aspx
6.7 Resolução de problemas envolvendo os conceitos de MMC e MDC
a) Uma empresa possui dois funcionários que viajam a trabalho. O primeiro viaja 
de 15 em 15 dias e o segundo, de 20 em 20 dias. Se ambos viajarem hoje daqui 
a quantos dias eles voltarão a viajar no mesmo dia?
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a Para resolver temos que encontrar o mmc(15, 20) que me dará o menor dos 
valores em comum.
 MMC(15) = {0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, ...}
 MMC(20) = {0, 20, 40, 60, 80, 100, ...}
 MMC(15, 20) = 60
 Eles vão viajar juntos outra vez daqui a 60 dias.
b) Marlene tem duas bandejas de doces: uma com 80 doces de amendoim e outra 
com 48 doces de coco. Ela quer colocar os doces em bandejas, de modo que 
todas tenham a mesma quantidade, em maior número possível, e na bandeja 
do doce de amendoim não pode ter doce de coco e vice-versa. Quantos doces 
vão ser colocados em cada pratinho?
 Como Marlene quer o mesmo número de doces em cada bandeja e a maior 
quantidade possível, precisamos encontrar o mdc entre 80 e 48.
 D(80) = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40, 80}
 D(48) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 48}
 MDC (80, 48) = 8 
 A maior quantidade possível de doces em cada bandeja é 8.
Referências
DANTE, L. R. Matemática. 5º ano. São Paulo: Ática, 2008.
____________. Tudo é matemática. 5ª série. São Paulo: Ática, 2005.
GIOVANNI, J. R.; GIOVANNI, JR, J. R. Matemática: pensar e descobrir. 5ª série. São Paulo: 
FTD, 1996.
MUNHOZ, A.F.; NAZARETH, H.; TOLEDO, M. Fazer, compreender e criar em Matemática. 5º 
ano. São Paulo: IBEP, 2008.
Atividades de avaliação
1) Um médico, ao prescrever uma receita, determina que três medicamentos 
sejam ingeridos pelo paciente de acordo com a seguinte escala de horários: 
remédio A, de 2 em 2 horas, remédio B, de 3 em 3 horas e remédio C, de 6 em 
6 horas. Caso o paciente utilize os três remédios às 8 horas da manhã, qual 
será o próximo horário de ingestão dos mesmos? 
 a) 14 horas. b) 16 horas. c) 18 horas.
 d) 20 horas. e) 22 horas.
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ci
a 2) Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na máquina A, a 
cada 3 dias, na máquina B, a cada 4 dias, e na máquina C, a cada 6 dias. Se no 
dia 2 de dezembro foi feita a manutenção nas três máquinas, após quantos 
dias as máquinas receberão manutenção no mesmo dia.
 a) 24 de dezembro b) 12 de dezembro c) 14 de dezembro.
 d) 12 de janeiro e) 12 de novembro
3) Um corredor dá uma voltaem torno de um percurso em 12 minutos. Já outro 
corredor completa o mesmo percurso em 14 minutos. Se ambos saem juntos 
do ponto inicial de quantos em quantos minutos se encontrarão no mesmo 
ponto de partida? 
 a) 98 b) 96 c) 86 d) 74 e) 84
4) Uma indústria de tecidos fabrica retalhos de mesmo comprimento. Após realizarem 
os cortes necessários, verificou-se que duas peças restantes tinham as seguintes 
medidas: 156 centímetros e 234 centímetros. O gerente de produção ao ser 
informado das medidas, deu a ordem para que o funcionário cortasse o pano 
em partes iguais e de maior comprimento possível. Como ele poderá resolver 
essa situação? 
 a) 24 b) 42 c) 78 d) 88 e) 66
5) Um tanque tem 342 litros e outro tanque tem 256 litros. Qual seria a capacidade 
máxima, em litros, de um balde (totalmente cheio) que pudesse completar o 
volume dos dois tanques?
 a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1
Respostas: 
 1) a; 2) c; 3) e; 4) c; 5) d.
7 NÚMEROS RACIONAIS
Nesse capítulo vamos estudar as frações e os números decimais. O enfoque 
metodológico será a utilização do material concreto e a resolução de problemas. 
Além disso, são indicados no decorrer do capítulo objetos de aprendizagem 
online, com o objetivo de auxiliá-los na compreensão dos conceitos envolvidos nos 
processos de ensino e aprendizagem do números racionais.
7.1 Conceito de fração de inteiro 
A ideia de fração deve ser introduzida com material concreto. Sugere-se a seguinte 
atividade.
I) O aluno deve traçar e recortar 6 círculos iguais. 
II) Dobrar dois dos círculos ao meio (identificar) e recortar um deles na dobra 
feita.
1
2
1
2
1
2
1
2
 
Cada uma representa uma das duas partes do disco inteiro. Escreve-se e lê-se 
um meio.
III) Dobrar dois dos círculos em quatro partes (identificar) e recortar um deles nas 
dobras feitas.
Cada uma representa uma das quatro partes do disco inteiro. Escreve-se e lê-se 
um quarto.
IV) Dobrar dois dos círculos em oito partes (identificar) e recortar um deles nas 
dobras feitas.
1
4
1
2
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ci
a Cada uma representa uma das oito partes do disco inteiro. Escreve-se e lê-se 
um oitavo.
Trabalhar em grupo:
a) Cada grupo deve formar 3 círculos compostos apenas por meios. Quantos 
meios são necessários para formar 3 círculos inteiros? (6 meios).
b) Cada grupo deve pegar 4 pedaços de meio. Quantos círculos podem ser 
formados? (2 círculos).
c) Cada grupo deve pegar 5 pedaços de meios. O que aconteceu? Como se 
escreve? 
 Escrita: ; Leitura: 2 inteiros e um meio (número misto).
 Proceder da mesma forma utilizando quartos e oitavos.
7.2 Equivalência e simplificação
O conceito de frações equivalentes deve ser introduzido através de atividades com 
utilização de material concreto. Por exemplo:
I) Separar um círculo formado por meios.
II) Retirar .
III) Preencher o espaço vazio com outras frações, todas iguais entre si. 
Resultado esperado:
O espaço pode ser preenchido com duas partes de quarto e quatro partes de 
oitavo.
Então podemos dizer que equivale a e a , e podemos escrever: = =
Realizar o mesmo tipo de exercício com outros discos. Não esqueça de fazer o 
registro.
Após as atividades com auxílio do material concreto, registrar as classes de 
equivalência das frações.
Frações equivalentes a = , , , , ...
Frações equivalentes a = , , , , ...
1
8
1
2
1
2
2
4
4
8
1
2
2
4
4
8
1
2
1
2
2
4
3
6
4
8
5
10
2
3
( )1
2
2
2
3
4
6
6
9
8
12
10
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ci
aA simp1ificação tem como objetivo o de encontrar a forma mais simples de escrever 
una fração. Exemplo de atividade com material concreto.
I) Separar um círculo formado por quartos.
II) Retirar .
III) Preencher o vão com partes dos outros círculos.
IV) Qual é a forma mais simples? 
Para tornar mais simples usaremos , e podemos escrever: = .
Obs.: 
a) Para encontrarmos as classes de equivalência devemos multiplicar o numerador 
e o denominador pelo mesmo número.
b) Para simplificar frações devemos dividir o numerador e o denominador pelo 
mesmo número.
c) Extrair inteiros também significa simplificar. 
Atividade em grupo:
I) Separar 5 pedaços de .
II) Formar círculos com estes pedaços.
III) O que aconteceu? Foram formados dois círculos e sobrou um meio.
 Temos então que = 
7.3 Operações com frações: adição e subtração
A adição e subtração devem ser trabalhadas simultaneamente. Devemos iniciar 
com adição e subtração de frações de denominadores iguais e depois com 
denominadores múltiplos entre si, sem mencionar o mínimo múltiplo comum 
dos denominadores. Somente deverão ser propostos exercícios que o aluno possa 
resolver com seu material concreto.
1) Ana serviu l de leite para João e l de leite para Carla. Quanto leite os dois 
tomaram juntos? 
Resolução: A criança deverá pegar seu material concreto e juntar as peças, sempre 
procurando formar um círculo ou parte dele.
2
4
2
4
1
2
2
4
1
2
1
2
5
2
1
2
2
1
4
1
4
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a Cálculo: + = =
Resposta: Os dois tomaram juntos litro de leite.
2) Francisco comprou 3
4
 kg de queijo. Gastou 1
4
 kg para fazer pizza. Quanto 
queijo sobrou? 
Resolução: o procedimento deve ser similar ao anterior.
Cálculo: – = = 
Resposta: Sobrou 1
2
 kg de queijo.
3) Joana comeu a metade de um bolo e Carlos um terço desse mesmo bolo. Quanto 
comeram juntos?
Resolução: No material concreto encontrar as frações equivalentes e adicionar.
Frações equivalentes a = , , , , ... 
Frações equivalentes a = , , , , ...
Cálculo: + = + = 
Resposta: Juntos comeram do bolo.
Obs.: O aluno deverá registrar os passos, através de desenhos, no seu caderno, 
sempre acompanhado de material concreto.
7.4 Multiplicação
A multiplicação deve ser introduzida através de problemas. 
1) Joaquim foi duas vezes ao armazém e cada vez trouxe 1
2
kg de erva. Quanta 
erva ele comprou? (O multiplicador é igual ao denominador da fração).
Resolução: O aluno deverá tomar dois pedações de 1
2
, juntá-los e verificar o 
resultado. 
 
Cálculo: 1
2
2x = 1 
Resposta: Joaquim comprou1 kg de erva.
1
4
1
4
2
4
1
2
1
2
3
4
1
4
2
4
1
2
2
4
3
6
4
8
1
2
1
2 { }
2
6
3
9
4
12
1
3
1
3 { }
3
6
2
6
5
6
1
3
1
2
5
6
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ci
a2) Antes da alta do preço, o pai de Maria comprou 4 pacotes de 1
2
 kg de café. 
Quanto café ele comprou? (O multiplicador é múltiplo do denominador da 
fração).
Resolução: O aluno deverá tomar quatro pedações de 1
2
, juntá-los e verificar o 
resultado.
 
Cálculo: 1
2
4x = 2 
Resposta: Ele comprou 2 kg de café.
3) Nina comprou 2 potes, cada um contendo 1
4
 kg de nata. Quanta nata Nina 
comprou? (O multiplicador é divisor do denominador da fração).
Resolução: O aluno deverá tomar dois pedaços de 1
4
, juntá-los e verificar o 
resultado.
Resposta: Nina comprou meio quilo de nata.
4) A família de Paulo consome 3
4
 kg de feijão por semana. Seu pai comprou feijão 
para 6 semanas. Quanto feijão ele comprou? (O multiplicador e o denominador da 
fração tem um divisor em comum).
Resolução: O aluno deverá tomar seis pedaços de 3
4
, juntá-los e verificar o 
resultado. 
 
 
Cálculo: 2 x 1
4
 = 1
2
 
 
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ci
a Cálculo: 3
4
6x = 4 1
2
 
Resposta: A família comprou 4 quilos e meio de feijão.
5) Neide fez 3 cucas e usou 3
4
 kg de farinha para cada uma. Quanta farinha foi 
necessária? 
(O multiplicador e o denominador da fração são primos entre si). 
Resolução: O aluno deverá tomar três pedaços de 3
4
, juntá-los e verificar o 
resultado.Cálculo: 
Resposta: Foram necessários dois quilos e um quarto de farinha.
6) A família de João consome 1 1
2
 litro de leite por dia. Ele deve comprar leite 
para sábado, domingo e segunda-feira. Quantos litros de leite ele terá de comprar? 
(Número inteiro vezes número misto). 
Resolução: O aluno deverá tomar três pedaços de 1 1
2
, juntá-los e verificar o 
resultado.
 
Cálculo: 1
2
3x 1 = 3x = ou 4 3
2
9
2
1
2
Resposta: Ele terá que comprar quatro litros e meio de leite.
7.5 Divisão
É conveniente que a noção de divisão seja introduzida através da ideia de divisão 
por distribuição. Mais uma vez vamos trabalhar com resolução de problemas e 
com material concreto. 
3
4
3x = 2 1
4
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a1) Na casa de Joana havia ainda 3
4
 de um bolo. Joana, José e Antônio estavam com 
uma fome danada e comeram tudo. Quanto do bolo coube a cada um? (Fração : 
inteiro - Numerador da fração igual ao divisor). 
Resolução: O aluno deverá tomar 3
4
 do círculo, e repartir os 3
4
 igualmente entre 3 
crianças. 
Joana
José
Antônio→→
→
Cálculo: 
Por frações equivalentes:
 
Resposta: Cada um recebeu 1
4
 do bolo.
2) Em um pacote havia 6
8
 kg de farinha. Mamãe repartiu esta farinha para fazer 2 
bolos. Quanta farinha colocou em cada bolo? (Fração : inteiro - O numerador da 
fração múltiplo do divisor). 
Por frações equivalentes:
6
8
 ÷ 2 = ÷ = = = = 6
8
16
8
6 ÷ 16 
8 ÷ 8
3
8
6 ÷ 16
1
6
16
Pela operação inversa:
 
3) Para fazer uma experiência a professora usou 1 litro de água e repartiu em 
4 copos iguais. Quanta água colocou em cada copo? (Número inteiro : número 
inteiro - Divisor múltiplo do dividendo).
Resolução: Montar o círculo de quartos.
 
Resposta: Em cada copo ela colocou um quarto de litro de água.
3
4
 ÷ 3 = 1
4
3
4
 ÷ 3 = ÷ = = = 3
4
12
4
3 ÷ 12 
4 ÷ 4
1 ÷ 4
1
1
4
6
8
 ÷ 2 = x = = 6
8
1
2 
3
8
6
16 
1 ÷ 4 = 1x = 1
4
1
4 
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ci
a Nos exercícios que envolvem o conceito de medida, deve-se ter o cuidado de que 
o quociente da divisão seja sempre inteiro, pois a pergunta é: “Quantas vezes ... 
cabe em?
1) Em uma jarra havia 2 litros de refresco. Dona Paula colocou o refresco em copos 
de 1
4 de litro. Quantos copos ela usou? 
Resolução: o aluno deve pegar 2 círculos de quartos e verificar quantas vezes 1
4 cabe 
em 2 inteiros.
 
Cálculo:
 
Por frações equivalentes: 
Resposta: Dona Paula usou 8 copos.
2) Antônio tinha 1
2
 kg de balas. Colocou as balas em saquinhos de 1
4
 kg. Quantos 
saquinhos de 1
4
 kg de balas ele obteve?
Cálculo por fração equivalente:
Cálculo por operação inversa:
7.6 Potenciação e radiciação de frações
a) Potenciação de uma fração: 
 
2 ÷ = 8 1
4
2 ÷ = ÷ = = = 8 8
4 
1
4
8
1
8 ÷ 1
4 ÷ 4
1
4
 ÷ = ÷ = = = 2 1
4 
2
4
2
1
2 ÷ 1
4 ÷ 4
1
2
1
4
 ÷ = x = = 2 1
4 
1
2
4
2
1
2
4
1
= x x = = 2
3 
2
3
2
3
23
33( ) 2 3
 3
2 . 2 . 2
3 . 3 . 3
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ci
a Esta propriedade é conhecida como potência de um quociente.
 com b ≠ 0
b) Radiciação de uma fração:
 = 
 = 
 2 = 2
 Portanto: = √ a
√ b
n
n
, b ≠ 0. (Apenas esta restrição, pois a e b ∈ IN).
7.7 Conceito de fração de conjunto discreto
Nesta situação o inteiro é representado por um conjunto de elementos, por exemplo, 
botões, palitos, iguais entre si.
1) Num pacote havia 20 balas e Marcos comeu 1
4
 das balas. Quantas balas ele 
comeu? 
Resolução: A criança pega um círculo dividido em quartos e distribui as 20 balas 
(botões, grãos) sobre o círculo de forma que em cada quarta parte esteja o mesmo 
número de balas. Depois verifica quantas balas estão em do disco.
 
º º
º
º º
º º º
º º
º º ºº º
ºº º
º º
 de 20 são 5.
Resposta: Marcos comeu 5 balas. 
2) Tia Lourdes comprou um saquinho com 16 maçãs. Ocupou das maçãs para 
fazer geleia. Quantas maçãs Tia Lourdes ocupou para a geleia?
Resolução: Com o material concreto o aluno deve primeiro encontrar o valor 
correspondente a das maçãs, para depois calcular os . 
 1
4 = 4 3
4 = 12 Resposta: Tia Lurdes ocupou 12 maçãs.
= , ( ) a n
 b
 an
 bn
√16
√4 √16
4
4
2 √4
√ a
b
n
1
4
1
4
3
4
1
4
3
4
100
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ci
a 3) De um saco 40 laranjas foram ocupados das laranjas para fazer laranjada. Com 
quantas laranjas a laranjada foi feita? Quantas laranjas ainda restam?
 1
8 = 5 Ocupou 5
8 = 25 Restou 3
8 = 15 
 Resposta: Ainda restam 15 laranjas.
3) Mamãe comprou uma penca de bananas. Ocupou 1
4
 delas, ou seja, 5 bananas 
para fazer salada de frutas. Quantas bananas havia na penca? 
Resolução: O aluno pega um círculo dividido em quartos e coloca 5 “bananas” 
sobre 1
4
 do disco. Cobre depois cada quarto restante com o mesmo número de 
“bananas”. Verifica então qual o número de “bananas” que havia na penca (o 
número de elementos necessários para completar o conjunto todo).
 
1
4 da penca são 5 bananas 4
4
 da penca 4 x 5 = 20 bananas
Resposta: Havia 20 bananas na penca.
Atividades sugeridas:
1) Preencha as lacunas:
a) Se 1
4
 corresponde a 8, o inteiro corresponde a ...........
b) Se 3
4
 corresponde a ......, o inteiro vale .......... 
c) Se 3
4
 valem ......., quanto vale 1
2
 ? Quanto vale o inteiro?
d) Se 3
8
 valem ......., quanto valem 5
8
 ......... quanto vale o inteiro, quanto valem ?
º º
º
º º
º º º
º º
º º ºº º
ºº º
º º
101
UL
BR
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– E
du
ca
çã
o a
 D
ist
ân
ci
a2) Completar o quadro abaixo:
Total de elementos do inteiro 1
2
1
4
3
4
2
8
5
8
7
8
3
8
24
9
20
50
12
56
21
50
3) Objetos de aprendizagem online
http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_274_g_3_t_1.html?open=activities&from=catego
ry_g_3_t_1.html
http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_106_g_3_t_1.html?from=category_g_3_t_1.html
http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_159_g_3_t_1.html?from=category_g_3_t_1.html
http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_105_g_3_t_1.html?from=category_g_3_t_1.html
http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_194_g_3_t_1.html?from=category_g_3_t_1.html
http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_265_g_3_t_1.html?open=activities&from=catego
ry_g_3_t_1.html
7.8 Tipos de fração
a) Observe a fração:
 
O círculo foi dividido em quatro partes iguais. Três destas partes foram pintadas. 
Escrevemos a fração 3
4
 para indicar as partes pintadas.
 → Numerador da fração
 → Denominador da fração
3
4
102
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ci
a As frações são classificadas em “tipos”, em função da relação entre numerador e 
denominador.
1) Fração própria: numerador menor que o denominador.
 
2) Fração imprópria: numerador maior que o denominador
3) Fração aparente: representam números naturais.
3) Número misto: outra forma de notação da fração imprópria. Parte inteira e 
parte fracionária
7.9 Frações decimais e números decimais
Números decimais são numerais que indicam um número que não é inteiro. 
Geralmente após o algarismo das unidades, usa-se uma vírgula, indicando que 
o algarismo a seguir pertence à ordem das décimas, ou casas decimais. Todos os 
números decimais finitos ou infinitos e periódicos podem ser escritos na forma 
de fração e, portanto, são números racionais.
Os números decimais têm origem nas frações decimais. Por exemplo, a fração equivale 
à fração que equivale ao número decimal 0,5. 
 equivalem a ,que pode ser escrita em forma de porcentagem 50%.
Fração Número decimal Porcentagem
0,25 25%
0,2 20%
2
8
5
3
3
3
 = 1
5
3 = 1 2
3
1
6
5
10
5
10
50
100
103
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ci
aChamamos de “casa decimal” a posição que um algarismo ocupa após a vírgula 
em um número decimal.
Exemplo:
O número decimal 12,34563 tem 5 casas decimais. Observe que no exemplo acima 
existem 5 algarismos após a vírgula, são eles: o 3, o 4, o 5, o 6, e o 3 novamente. 
Observe na tabela:
Valor Nome Quantidade de casas decimais
10-1 = 0,1 Décimo 1
10-2 = 0,01 Centésimo 2
10-3 = 0,001 Milésimo 3
10-4 = 0,0001 Décimo de milésimo 4
10-5 = 0,00001 Centésimo de milésimo 5
10-6 = 0,000001 Milionésimo 6
Observe na tabela a representação dos números decimais em forma de fração 
decimal e sua representação geométrica.
Fração Número decimal Representação geométrica
1
10 0,1
3
10 0,3
1,3
Leitura dos números decimais:
0,1 – um décimo
0,52 – cinquenta e dois centésimos
0,218 – duzentos e dezoito milésimos
1,54 – um inteiro e cinquenta e quatro centésimos
2,367 – dois inteiros e trezentos e sessenta e sete milésimos
1 1
10
104
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a 12,45 – doze inteiros e quarenta e cinco centésimos 
8,69 – oito inteiros e sessenta e nove centésimos
7.9.1 Comparando números decimais
Para comparar dois números decimais devemos seguir alguns passos.
No primeiro exemplo vamos comparar 6,3 e 3,4.
Iniciamos comparando a parte inteira: 6 > 3, portanto 6,3 > 3,4.
No segundo exemplo vamos comparar 4,5 e 4,6.
Iniciamos comparando a parte inteira, que nesse exemplo são iguais.
Como esses números têm a mesma parte inteira devemos comparar os décimos: 
5 < 6, portanto 4,5 < 4,6.
No terceiro exemplo vamos comparar 7,43 e 7,49.
Iniciamos com a parte inteira, que nesse exemplo são iguais, 7 = 7.
Em seguida, comparamos os décimos, que também são iguais, 4 = 4.
Agora vamos comparar os centésimos: 3 < 9, portanto 7,43 < 7,49.
Atividade sugerida:
Alguém embaralhou o decodificador! Você precisa organizá-lo. Coloque todos os 
números decimais em ordem, do menor para o maior. Depois utilize o decodificador 
assim organizado para resolver os enigmas.
DECODIFICADOR
A B C D E F G H I J K L M
0,36 0,86 0,15 0,95 0,71 0,23 0,03 0,53 0,69 0,47 0,05 1,47 0,42
N O P Q R S T U V W X Y Z
1,9 0,08 1,76 0,82 0,12 0,28 0,99 0,62 1,22 0,56 0,01 0,75 0,39
O que é o que é:
Quanto mais seca mais molha?
0,01 0,86 – 0,62 – 0,01 – 0,47 – 0,28 – 0,01
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O que é o que é:
Quanto mais se tira mais aumenta?
0,95 – 0,53 0,03 – 0,95 – 0,75 – 0,01 – 0,05 – 0,62
Porque o relojoeiro jogou o relógio pela janela?
0,12 – 0,47 – 0,12 0,71- 0,95 – 0,12 – 0,75 – 0,36 – 0,01 0,99 – 0,12 – 0,75
0,62 0,86 – 0,12 – 0,53 – 0,69 – 0,62 0,99 – 0,62 – 0,01 – 0,75
7.10 Operações com números decimais: adição e subtração
Para realizar adições com números naturais vamos utilizar o QVL.
a) Paulo contou o seu dinheiro: na carteira ele tinha R$ 45,68 e no seu cofrinho 
R$ 51,37. Quanto dinheiro Paulo tem?
DEZENA UNIDADE DÉCIMO CENTÉSIMO
D U , D c
 4
+ 5
1
5
1
,
,
1
6
3
8
7
 9 7 , 0 5
Ao todo Paulo tem R$ 97,05.
b) Vamos realizar a operação 34,728 – 5,57
D U , D C m
2
3
 - 0
14
 5
,
,
6
7 
5
12
 7
8
0
2 9 , 1 5 8
c) Vamos realizar a operação 2 – 1,25
U , D C
1
2
1
,
,
9
0
2
10
 5
0 , 7 5
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a 7.10.1 Multiplicação
a) Vamos iniciar multiplicando um número decimal por 10, 100, 1000, ...
 Observe:
 1,235 x 10 = x 10 = = 12,35 → 1,235 x 10 = 12,35 
 A vírgula se desloca uma casa para a direita.
 1,235 x 100 = x 100 = = 123,5 → 1,235 x 100 = 123,5 
A vírgula se desloca duas casas para a direita. Portanto, multiplicar um número 
decimal por 10, por 100, por 1 000 significa deslocar a vírgula uma, duas, três 
posições para a direita, respectivamente.
 1,235 x 10 = 12,35
 1,235 x 100 = 123,5
 1,235 x 1000 = 1235 
b) Vamos realizar a operação 5 x 3,41 utilizando o QVL.
1º passo
 U, d c
 3, 4 1
 x 5
Montar o algoritmo
2º passo
 U, d c
 3, 4 1
 x 5
 5
Multiplico 5 por 1 centésimo.
3º passo
 U, d c
 2
 3, 4 1
 x 5
 5
Multiplico 5 por 4 décimos. 
5 x 4d = 20d
20d = 2U + 0d.
Deixo o 0d e passo 2U para as unidades.
4º passo
 U, d c
 2
 3, 4 1
 x 5
 17, 0 5
Multiplico 5 x 3U = 15U
15U + 2U = 17U
 3,71
 x 5
 17,05
1235
1000
1235
100
1235
1000
1235
10
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ci
aOutra forma de fazer o mesmo cálculo:
 5 x 3,41 = 5 x = = 17,05
Podemos também utilizar o algoritmo usual:
 3, 4 1 → 2 algarismos na parte decimal
 x 5
 1 7, 0 5 → 2 algarismos na parte decimal
b) Vamos realizar a operação 1,4 x 2,7.
 1,4 x 2,7 = x = = 3,78
 U, d
 1, 4 → 1 algarismo na parte decimal
 x 2, 7 → 1 algarismo na parte decimal
 9 8
 2 8 
 3, 7 8 → 2 algarismos na parte decimal (1 do multiplicando e 1 do multiplicador)
 U, d c)
7.10.2 Divisão 
a) Vamos iniciar com divisões por 10, 100, 1000
 = 0,3
 = 0,03
 = 0,003
 O número de casas depois da vírgula corresponde ao número de zeros do 
denominador.
b) Agora vamos dividir números naturais. Vamos dividir 9 por 4.
 
341
100
1705
100
14
10
27
10
378
100
3
10
3
1000
3
100
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a → Observe que a divisão não é exata, por isso vamos acrescentar um zero no 
décimo.
Transformando uma unidade em décimos, temos:
1 x 10 = 10d
10d : 4 = 2d.
4 x 2d = 8d
Resto: 10 – 8 = 2d
Transformando 2d em centésimos, temos:
2 x 10 = 20c
20c : 4 = 5c
4 x 5c = 20c
20c – 20c = 0
Coloca-se a vírgula no resultado entre a 1ª ordem 
inteira e a 1ª ordem decimal. Neste caso, a vírgula 
deve ser colocada entre os algarismos 2 e 2.
Portanto, 9 : 4 = 2,25
c) Vamos dividir 8,64 por 3,6 
 Preparamos a divisão: 
 Transformamos 8,64 em um número natural: 8,64 x 100 = 864
 Como multiplicamos 8,64 por 100, temos que multiplicar 3,6 também por 100: 
 3,6 x 100 = 360
 Agora vamos dividir 864 por 360.
 
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a7.10.3 Potenciação e radiciação
A potenciação de números decimais obedece às mesmas normas da potenciação 
dos números naturais. Veja os exemplos:
a) (1,1)² = 1,1 x 1,1 = 1,21
b) (0,5)³ = 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,125
c) (1,26)¹ = 1,26
d) (3,7)0 = 1
Da mesma forma a radiciação:
a) = = = 1,1
b) √0,008
3
 = = = 0,2
7.11 Sistema monetário brasileiro e os números decimais
No sistema monetário brasileiro, temos as seguintes conversões:
1 real = 10 moedas de 10 centavos
1 real = 100 moedas de 1 centavo
U d c
Quatro moedas de 25 centavos equivalem a 1 real?
 
 25 centavos = 0,25 reais → 4 x 0,25 = 1 real
√1,21 √121
100
11
10
2
10√ 8
1000
3
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a Duas moedas de 50 centavos equivalem a 1 real?
 
50 centavos = 0,50 reais → 2 x 0,50 = 1 real
Dez moedas de 10 centavos equivalem a 1 real?
10 centavos = 0,10 reais → 10 x 0,10 = 1 real
Cem moedas de 1 centavo equivalem a 1 real?
1 centavo = 0,01 → 100 x 0,01 = 1 real
Atividades sugeridas:
Os sites abaixo indicam objetosde aprendizagem online. 
http://www.ictgames.com/equivalence.html
http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_264_g_3_t_1.html?from=category_g_3_t_1.html
http://iguinho.ig.com.br/zuzu/jogo-compras.html
Referências
DANTE, L. R. Matemática. 5º ano. São Paulo: Ática, 2008.
FRAÇÕES – Secretaria da Educação e Cultura - AT/GFAA: 1985 (impresso).
GIOVANNI, J. R.; GIOVANNI, JR, J. R. Matemática: pensar e descobrir. 5ª série. 
São Paulo: FTD, 1996.
MUNHOZ, A.F.; NAZARETH, H.; TOLEDO, M. Fazer, compreender e criar em 
Matemática. 5º ano. São Paulo: IBEP, 2008.
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aAtividades de avaliação
1) O lixo deve ser reciclado. A coleta de lixo reciclado na cidade A, é dividida em 
quatro tipos: papel, metal, plástico e vidro. Por mês, nessa cidade, se coletam 
180 toneladas de lixo reciclável, na seguinte proporção: do total é papel; 
 da quantidade de plástico é metal; da quantidade de papel é plástico; 
o dobro da quantidade de metal é vidro. Quantas toneladas de metal são 
coletadas por mês nessa cidade?
a) 12 t b) 54 t c) 90 t d) 24 t e) 30 t
2) A adição de , corresponde a
a) b) c) 3 d) 36
12
 e) 3
4
3) Na classe de Ana, há 20 meninas e 16 meninos. Analise as afirmações abaixo 
e assinale a resposta correta.
I) Nessa classe há 4 meninos para cada 5 meninas.
II) Os meninos representam mais da metade da classe.
III) As meninas representam da classe.
a) Apenas a afirmação I é verdadeira. 
b) Apenas a afirmação II é verdadeira.
c) As afirmações I e III são verdadeiras. 
d) Todas as afirmações são verdadeiras.
e) Nenhuma das afirmações é verdadeira.
4) Dona Maria abriu um pacote de açúcar para fazer um doce. Gastou 1
4
 do pacote 
na massa e 1
3
 do pacote no recheio. Que parte do açúcar sobrou no pacote?
a) b) c) d) e) 
5
19
1
2
2
9
3
5
2
3 
1 + 2 1
4
11
12
3
12
11
12
5
9
5
12
6
9
3
12
1
7
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a 5) Um ciclista percorreu a distância de 81,844 quilômetros, em 3 etapas. Na 
primeira percorreu 27,85 km e na segunda 21,294 km. Quantos quilômetros 
ele percorreu na terceira etapa?
a) 32,07 km. b) 41,265 km. c) 64,7 km. d) 32,7 km. e) 45,25 km.
Respostas: 
 1) a; 2) c; 3) c; 4) b; 5) d.
8 NÚMEROS INTEIROS
Os números naturais foram criados quando o ser humano sentiu a necessidade 
de contar e de registrar quantidades. Porém, os números naturais se mostraram 
insuficientes frente a situações do cotidiano, como por exemplo:
- Como registrar temperaturas abaixo de zero?
- Como diferenciar crédito de débito nas contas bancárias?
- Como registrar saldo negativo de gols?
Os números inteiros são constituídos dos números naturais, (0, 1, 2, 3, ...) e todos os 
números negativos simétricos aos números naturais não nulos (−1, −2, −3, ...). Dois 
números são simétricos se, e somente se, sua soma é zero. O conjunto de todos os inteiros 
é representado por Z, que vem do alemão Zahlen, que significa números, algarismos.
Z = {..., – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
Obs.: o número natural zero não é positivo nem negativo.
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a Atividades sugeridas:
1) Indique a temperatura que cada termômetro está registrando: 
 a) b) c) d) e) 
 
 20°C -5°C 35°C -10°C -15°C
2) Expresse cada altitude usando um número positivo ou um número negativo.
a) O pico de Aconcágua, na Argentina, encontra-se a 6920 m acima do 
nível do mar. 
b) As fossas Marianas, no Oceano Pacífico, encontram-se a 11.304 m abaixo 
do nível do mar. 
3) No campeonato de futebol da escola, a equipe A fez 5 gols e sofreu 3 gols na 
primeira rodada. A equipe B fez 1 gol e sofreu 4 gols.
a) O saldo de gols da equipe A é positivo ou negativo? 
b) Qual é o saldo de gols da equipe A? 
c) O saldo de gols da equipe B é positivo ou negativo? 
d) Qual o saldo de gols da equipe B? 
e) O saldo de gols negativo representa uma vitória ou uma derrota? 
4) Descreva uma situação do cotidiano que corresponde a:
a) R$ – 2.500,00 b) – 40 pontos c) + 11 andares
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a5) Carlos está trabalhando com termômetros, colocando-os ora em água morna ora 
no congelador. No início, o termômetro marcava 15ºC. Qual será a temperatura 
desse termômetro ao final de cada situação seguinte:
a) Subiu 4ºC; subiu mais 8ºC. b) Subiu 2ºC; caiu 20ºC.
 c) Caiu 15ºC. d) Subiu 1ºC; caiu 8ºC; caiu 12ºC.
6) Observe no gráfico a variação do preço de certas frutas. 
a) Nesse gráfico o que significam as porcentagens positivas?
b) E as porcentagens negativas?
Respostas:
1) No desenho.
2a) +6920 m 2b) 11.304 m 
3a) positivo 3b) 2 gols 3c) negativo 3d) – 3 gols 3e) derrota 
4a) dívida de R$ 2.500,00 4b) saldo negativo de pontos 
4c) 11 andares acima do solo
5a) 27ºC 5b) – 3ºC 5c) 0ºC 5d) – 4ºC
6a) Aumento de preços 6b) Redução de preços
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ci
a 8.1 Representação dos números inteiros na reta numérica
Os números inteiros podem ser representados em uma reta numérica. 
Iniciamos desenhando a uma reta e sobre ela marcamos o zero. A partir do zero, 
marcamos à direita e a esquerda segmentos de mesma medida. A direita de zero, 
temos os números positivos e a esquerda de zero, os números negativos.
 Negativos Positivos
8.2 Valor absoluto ou módulo de um número inteiro
Na reta numérica é possível determinar a distância entre o zero (origem) a outro 
ponto qualquer da reta. Observe a distância entre o zero e o ponto A:
 
0 7
A
7 unidades 
A distância de um ponto à origem é chamada de valor absoluto (ou módulo) do 
número que corresponde a esse ponto. No exemplo anterior, o valor absoluto de 7 
(abscissa do ponto A) é 7 (distância do ponto A à origem). Outro exemplo:
5 unidades
O valor absoluto de – 5 (abscissa do ponto B) é 5 (distância do ponto B à origem).
Indica-se o valor absoluto (ou módulo) de um número colocando-se esse número 
entre duas barras. Por exemplo, o módulo de – 3 é indicado por |-3|.
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a Outros exemplos:
 |+7|= 7 |-9|= 9 |0| = 0
Módulo ou valor absoluto de um número inteiro é a distância entre os pontos que 
representam esse número e o zero.
Obs.:
- O módulo de um número inteiro qualquer é sempre um número inteiro não 
negativo.
- Os módulos de dois números inteiros opostos, ou simétricos, são iguais.
- O módulo de zero é zero.
8.3 Números inteiros opostos ou simétricos
Os números opostos também são denominados simétricos, isto é, números que, 
quando representados na reta numérica, possuem a mesma distância da origem. 
Nesse conjunto, cada número inteiro positivo possui um número inteiro negativo 
correspondente. 
Por exemplo, 5 e – 5, são números inteiros simétricos, pois a distância entre eles e 
o número zero é de 6 unidades, isto é:
 |5|= 5 e |-5| = 5
Para determinarmos o oposto ou simétrico de um número qualquer, basta 
colocarmos o sinal de – (menos), antes do número. Observe:
- O oposto do número + 14 é dado por: – (+14) → – 14
- O oposto do número – 4 é dado por: – (– 4) → + 4
8.4 Comparação de números inteiros
Vamos considerar os números – 2 e 3. Observe a posição esses números na reta 
numérica.
– 2 é menor que 3, porque – 2 está a esquerda de 3. Portanto, para comparar dois 
ou mais números inteiros, basta colocá-los na reta numérica e verificar a posição, 
considerando que um número situado à esquerda de outro é menor que esse outro.
 – 2 < 3; 5 > – 8
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a 8.5 Operações com númerosinteiros
Vamos estudar as seis operações no conjunto dos Números Inteiros.
8.5.1 Adição e subtração
1) Observe na reta numérica as adições: 
a) (+8) + (– 4) = 8 – 4 = 4
b) (– 5) + (– 2) = – 5 – 2 = – 7
c) (+3) + (– 4) = 3 – 4 = – 1
d) (+8) + (+2) = 8 + 2 = 10
2) Resolva as adições:
a) 16 + 3 + (– 4) = b) – 4 + (– 8) + 2 =
 19 – 4 = 15 – 4 – 8 + 2 =
 – 12 + 2 = -10
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a3) Observe, na reta numérica, as subtrações:)
a) (+7) – (-3) = 7 + 3 = 10
b) 4 – (+6) = 4 – 6 = – 2
Subtrair um número negativo é o mesmo que adicionar o seu oposto.
4) Resolva as subtrações:
 a) (+5) – (-3) = b) (-8) – (+2) = 
 (+5) + (+3) = (-8) + (-2) =
 5 + 3 = 8 - 8 – 2 = - 10
Obs.: Um sinal e seus significados
 O sinal de menos ( - ) pode significar:
 - A operação de subtração. Exemplo 5 – 3 = 2
 - Uma situação contrária à outra. Exemplo:
 Saldo de gols + 5 (saldo de cinco gols a seu favor).
 Saldo de gols – 5 (saldo de cinco gols contra).
Atividades sugeridas:
a) Jogo online: Atividades de adição e subtração na reta numérica.
http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_107_g_2_t_1.html?from=category_g_2_t_1.
html
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a b) Outra forma de trabalhar com os alunos as operações de adição e subtração 
com números inteiros é utilizando fichas coloridas. Uma cor corresponde a um 
número positivo e outra a um número negativo. É extremamente importante 
que o aluno compreenda que uma ficha de uma cor anula uma ficha da outra 
cor (corresponde a números simétricos). Utilize os objetos de aprendizagem 
indicados nos sites abaixo para trabalhar com essas situações.
http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_161_g_2_t_1.html?from=category_g_2_t_1.
html
http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_162_g_2_t_1.html?from=category_g_2_t_1.
html
8.5.2 Multiplicação e divisão
No século XVII, época em que os números negativos começaram a ser 
utilizados de fato, muitos cientistas encontravam dificuldades na multiplicação 
envolvendo esses números porque não viam sentido em cálculos como (-2) x 
3. Que sentido teria “menos duas vezes três”? Para que fazer um cálculo sem 
significado? No entanto, avanços científicos passaram a exigir cálculos desse 
tipo, como no estudo das forças. Máquinas engenhosas revolucionaram a 
indústria (IMENES, LELIS, 2002). 
Para estudar as forças, foram criadas maneiras de representá-las matematicamente.
 
 Força F
No exemplo foi possível perceber que podemos multiplicar forças por números. 
Observe:
 Força 2 x F
→
 →
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aMultiplicando a força por um número positivo, sua intensidade aumenta ou 
diminui, mas sua direção e sentido não mudam. Como representar situações em 
que há mudança no sentido da força. 
Portanto, a multiplicação por um número negativo inverte o sentido da força. 
Multiplicando por -1, obtemos a força simétrica.
 
 Força (– 1) x F
Observe os exemplos:
2 x 3
2 x 0,5
→
- 4
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a Esses exemplos revelam um padrão e sugerem uma generalização para a 
multiplicação e divisão de números inteiros. 
- Um número positivo multiplicado ou dividido por um número positivo dá 
como resultado um número positivo.
- Um número negativo multiplicado ou dividido por um número negativo dá 
como resultado um número positivo.
- Um número positivo multiplicado ou dividido por um número negativo dá 
como resultado um número negativo.
- Um número negativo multiplicado ou dividido por um número positivo dá 
como resultado um número negativo.
Atividade sugerida:
Objeto de aprendizagem online: multiplicação de números inteiros
http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_322_g_2_t_1.html?from=category_g_2_t_1.
htm
8.5.3 Potenciação e radiciação
Quanto à potenciação, no conjunto dos Números Inteiros, observe as seguintes 
situações:
a) 3² = 3 x 3 = 9
b) 3³ = 3 x 3 x 3 = 27
c) (– 3)² = (– 3) x (– 3) = 9
d) (– 3)³ = (– 3) x (– 3) x (– 3) = – 27
Podemos concluir que, quando a base é um número positivo, a potência é sempre 
um número positivo. O mesmo não acontece quando a base é um número 
negativo. Nesse caso, se o expoente for um número par, a potência será um 
número positivo. Mas, se o expoente for um número ímpar, a potência será um 
número negativo.
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aQuanto à radiciação, também deveremos ter alguns cuidados.
a) Vamos trabalhar com índices pares:
1ª situação: o radicando é um número positivo:
x² = 9 Estamos procurando números que, elevados ao quadrado, resultem 
em 9.
(3)2 = 9 Um dos números procurados é 3, pois 3² = 9.
(– 3)2 = 9 Outro número é – 3, pois (– 3)2 = 9
Agora tome muito cuidado! No conjunto dos Números Inteiros, por convenção, 
vamos proceder da seguinte maneira:
 5 + √9 = 5 – √9 =
 5 + 3 = 8 5 – 3 = 2
 2ª situação: o radicando é um número negativo
x² = – 9 Estamos procurando números que, elevados ao quadrado, resultem em 
– 9.
32 = 9 (-3)² = 9.
Portanto, não existe um número inteiro que multiplicado por ele mesmo 
resulta em – 9, pois 3 x 3 = 9 e (-3) x (– 3) = 9
No conjunto dos Números Inteiros, quando o radicando é negativo e o índice da 
raiz é um número par, não existe resultado para essa situação.
b) Vamos trabalhar com índices ímpares:
 1ª situação: o radicando é um número positivo:
x3 = 27 Estamos procurando números que, elevados ao cubo, resultem em 27.
(3)3 = 27 Um dos números procurados é 3, pois 33 = 27.
(– 3)3 = – 27 Outro número poderia ser – 3, porém (-3)3 = – 27
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a 2ª situação: o radicando é um número negativo:
x3 = – 27 Estamos procurando números que, elevados ao cubo, resultem em – 27.
(– 3)3 = – 27 Um dos números procurados é -3, pois (-3)3 = 27.
Portanto:= √273 = 3, pois (3)3 = 27 e √-273 = – 3, pois (– 3)³ = – 27
8.5.4 Expressões numéricas com Números Inteiros
Vamos resolver as expressões:
 – 5 + (– 2)³ – (+3) + 6 + (– 8) = 6² : (– 4) + 2 . – 6) =
 – 5 + (– 8) – 3 + 6 – 8= 36 : (– 4) - 12 =
 – 5 – 8 – 3 + 6 – 8 = – 9 – 12 = – 21
 – 13 – 3 + 6 – 8 =
 – 16 + 6 – 8 =
 – 10 – 8 = – 18
Atividade sugerida:
a) Jogo online
http://www.rpedu.pintoricardo.com/jogos/Jogo_adicao_com_ranking_pronto/
num_int_rel_com_ranking.html
Referências
BIANCHINI, E. Matemática. 6ª série. São Paulo: Moderna, 2006.
IMENES, L. M.; LELIS, M. Matemática para todos. São Paulo: Scipione, 2002.
Atividades de avaliação
1) O valor da expressão numérica 0,1 – 2 . (-0,02) é
a) 1,6 b) 0,14 c) 0,014 d) – 0,154 e) – 0,14
2) O valor da expressão numérica 5² + 16 : (3 + 5) - 2² é
a) – 23 b) 54 c) – 54 d) 23 e) – 3
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a
3) O valor da expressão numérica é 16 : (– 8) – 7
(– 3)2
 a) –1 b) 0 c) 3 d) – 2 e) 5
4) O valor da expressão numérica é (–9)2 – 92
(–3).(–5) + 7
a) – 4 b) 8 c) 2 d) – 3 e) 0
5) O valor da expressão numérica (– 63) : (– 9) – 5 . 3 é
 a) – 8 b) 5 c) 8 d) 6 e) – 4
Respostas: 
 1) b; 2) d; 3) a; 4) e; 5) a.
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9 EQUAÇÃO DE PRIMEIRO GRAU
Os matemáticos antigos não conheciam a Álgebra da forma como a estudamos 
atualmente. A História nos conta que no século IX, entre os anos 783 e 850, viveu 
al-Khowarizmi. Por volta do ano 830, após uma viagem às Índias, escreveu um 
famoso tratado de Álgebra, o “Al-jabr wa’l muqãbalah”. A palavra álgebra vem 
de Al-jabr. Imagina-se que essa palavra signifique restauração ou completação 
(transposição dos termos de uma equação). Muqãbalah refere-se à redução ou 
equilíbrio, que quer dizer, promover o cancelamento de termos semelhantes em 
membros diferentes de uma equação (MORI, SATIKO, 2005).
9.1 Expressões algébricas
Para resolver problemas, a Álgebra traduz a situação descrita para uma linguagem 
com letras,números e sinais. Considere um número racional qualquer. Vamos 
chamar este número de x e descrever algumas situações algebricamente, através 
de expressões algébricas:
- o dobro desse número: 2 . x, ou 2x.
- a terça parte desse número: 1
3
 x, ou X
3
 . 
- o quádruplo desse número menos o próprio número: 4x – x.
As expressões matemáticas, formadas por letras e números, são chamadas de 
expressões algébricas. Em uma expressão algébrica, as letras podem ser substituídas 
por números racionais. Quando calculamos a expressão de um determinado 
número, o resultado é o valor numérico. Exemplos:
a) Preço de uma caneta: x reais; preço de um lápis: y reais.
 Preço de uma caneta e de um lápis: (x + y) reais.
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a Se o preço de uma caneta for R$ 7,00 e do lápis for R$ 2,50, o valor dos dois produtos 
juntos será (x + y) ou (7 + 2,50) = 9,50.
Os dois produtos juntos custam R$ 9,50.
b) Calcular o valor numérico da expressão – 4xy, sabendo que x = 1 e y = – 3.
 – 4xy = – 4 . 1. (-3) = 12
9.2 Equações de 1º grau com uma incógnita
As orações matemáticas que usam o sinal = chamam-se igualdades.
Observe as figuras: 
 6 + 2 = 1 + 7
Esta figura expressa uma igualdade verdadeira:
 6 + x = 1 + 7
 
Para que a balança continue em equilíbrio, temos que colocar o mesmo “peso” nos 
dois pratos. Resolver uma equação é encontrar o valor da incógnita, nesse exemplo 
x, de tal forma que a balança continue em equilíbrio. Nesse exemplo teríamos:
 6 + x = 1 + 7 e o valor de x que torna essa igualdade verdadeira é 2.
Vamos considerar agora a equação: 2x – 8 = 3x – 10
A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa “desconhecida”. 
Tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede 
2º membro.
 = 
Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.
2x - 8 
1º membro
3x - 10 
2º membro
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aEquação do 1º grau na incógnita x (ou qualquer outra letra) é toda equação que 
pode ser escrita na forma ax = b, sendo a e b números racionais, com a diferente 
de zero. 
9.2.1 A equação e a balança
Observe a balança: 
A balança está equilibrada. No prato esquerdo há um “peso” de 2kg e duas 
melancias com “pesos” iguais. No prato direito há um “peso” de 14 kg. Quanto 
pesa cada melancia?
2 melancias + 2 kg = 14kg
Usaremos uma letra qualquer para simbolizar o peso de cada melancia. Assim, a 
equação poderá ser escrita, do ponto de vista matemático, como: 2x + 2 = 14
Para resolver essa equação, utilizamos o seguinte processo para obter o valor de x.
2x + 2 = 14 Equação original Processo
2x + 2 – 2 = 14 – 2 Subtraímos 2 de cada um dos membros 
da equação (subtração pois queremos 
eliminar +2 e a operação inversa da 
adição é a subtração; 2 – 2 = 0)
Aditivo
2x = 12
2x : 2 = 12 : 2
Dividimos os dois membros por 2, 
pois a divisão é a operação inversa da 
multiplicação (2 : 2 = 1)
Multiplicativo
x = 6 Solução da equação
Outra forma:
 2x + 2 = 14 (-2 nos dois membros)
 2x = 12 (divisão por 2 nos dois membros)
 x = 6
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a Outra maneira:
 2x + 2 = 14
 2x = 14 – 2
 2x = 12
 x = 12
2
 x = 6 Cada melancia pesa 6 kg.
Quando adicionamos ou subtraímos uma mesma quantidade nos dois membros 
de uma equação, obtemos uma equação equivalente à primeira. Esse é o princípio 
aditivo. Exemplos:
t + 4 = 7 8 + x = 5 a – 5 = 9
t + 4 – 4 = 7– 4 8 – 8 + x = 5 – 8 a – 5 + 5 = 9 + 5
t = 3 x = – 3 a = 14
Quando multiplicamos ou dividimos por um mesmo número os dois membros 
de uma equação, obtemos uma equação equivalente à primeira. Esse é o princípio 
multiplicativo. Exemplos:
3y = 18 t
5 = 3 2s
3 = 8
3y : 3 = 18 : 3 t
5 x 5 = 3 x 5 2s
3
 x 3 = 8 x 3
y = 6 t = 15 2s = 24 
 2s : 2 = 24 : 2
 s = 12
Quando adicionamos (ou subtraímos) valores iguais em ambos os membros da 
equação, ela permanece em equilíbrio. Da mesma forma, se multiplicamos ou 
dividimos ambos os membros da equação por um valor não nulo, a equação 
permanece em equilíbrio. Este processo nos permite resolver uma equação, ou 
seja, permite obter as raízes da equação.
Outros exemplos: equações com parênteses
5(x + 1) = 3 (1 – x) Aplicar a propriedade distributiva da multiplicação.
5x + 5 = 3 – 3x
5x + 5 – 5 = 3 – 3x – 5 Aplicar o princípio aditivo para eliminar o 5 do 1º 
membro
5x = -3x – 2
5x + 3x = –3x – 2 + 3x Aplicar o princípio aditivo para eliminar o –3x do 2º 
membro
8x = –2
8x
8 = –2
8
Aplicar o princípio multiplicativo para eliminar o 8 
do 1º membro.
x= – 1
4
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aEquações com frações
x
2 + 3
5 x = 1– 7
10 Iniciamos com o mmc de todos os denominadores.
5x + 6x
10 = 10 – 7
10 Dividimos o mmc pelo denominador e 
multiplicamos pelo numerador.
( ) x 10 = ( ) x 105x + 6x
10
10 - 7
10 Aplicamos o princípio multiplicativo
5x + 6x = 3 Adicionamos os termos semelhantes (5x + 6x)
11x = 3
11x : 11 = 3 : 11 Aplicamos o princípio multiplicativo
x = 3
11 Solução da equação
Atividade sugerida:
Objetos de aprendizagem online
http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_201_g_3_t_2.html?open=instructions&f
rom=category_g_3_t_2.html
http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_324_g_3_t_2.html?open=instructions&f
rom=category_g_3_t_2.html
Situações problema que podem ser resolvidos através de equações:
a) Marcos e Paula colecionam chaveiros. Marcos tem o dobro de chaveiros de 
Paula. Quantos chaveiros tem cada um, se juntos têm 120 chaveiros?
 Paula: x chaveiros
 Marcos: o dobro de Paula: 2 . x = 2x
 Juntos: adição
 x + 2x = 120
 3x = 120
 x = 120
3
 x = 40 Paula tem 40 chaveiros e Marcos tem 80 chaveiros.
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a b) A metade dos objetos de uma caixa mais a terça parte dos objetos do caixa é 
igual a 25. Quantos objetos há na caixa?
 + = 25
 + = 
 3x + 2x = 150
 5x = 150
 x = 30 Na caixa há 30 objetos.
c) Os lados de um retângulo medem (2x + 2) e 3x e seu perímetro mede 24m. 
Determine a sua área.
 Perímetro: soma de todos os lados
 P = (2x + 2) + (2x + 2) + 3x + 3x
 P = 10x + 4
 24 = 10x + 4
 20 = 10x
 2 = x O valor de x é 2 m.
 Comprimento do retângulo: 2 . 2 + 2 = 4 + 2 = 6 m
 Altura do retângulo: 3 . 2 = 6 m
 Área do retângulo = 6 x 6 = 36 m².
Atividades sugeridas: Jogos online
http://rachacuca.com.br/quiz/solve/2717/equacao-de-1-grau/
http://www.fisme.science.uu.nl/toepassingen/02018/toepassing_wisweb.en.html
Referências
CENTURIÓN, M.; JAKUBOVIC; LELLIS. Matemática na medida certa. 7º ano. São Paulo: 
Scipione: 2007. 
GUELLI, O. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.
MORI, I; SATIKO, D. Matemática: ideias e desafios. 6ª série. São Paulo: Saraiva, 2005.
PROJETO ARARIBÁ. Matemática. 7º ano. São Paulo: Moderna, 2007.
3x
6
2x
6
150
6
X
2
X
3
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aAtividades de avaliação
1) Num jogo de futebol, Fernando marcou 3 gols a menos que Renata. Se Fernando 
marcou 6 gols, quantos marcou Renata?
 a) 3 gols. b) 4 gols. c) 6 gols. d) 9 gols. e) 12 gols.
2) Num triângulo isósceles de 18 cm de perímetro, a base mede 2 cm. Quantos 
centímetros têm de comprimento cada um dos outros lados? Qual das 
alternativas traduz essa situação para a linguagem algébrica?
 a) 2 + 2x = 18 
 b) 2 + 4x = 18 
 c) 2x – 2 = 18
 d) 4x – 2 = 18 
 e) 3x + 2 = 18
3) Num estacionamento encontram-se 15 carros e x motos, perfazendo um total 
de 100 rodas. Quantas motos estão estacionadas?
 a) 32 b) 30 c) 26 d) 24 e) 20
4) O valor da raiz da equação x – 2(x – 1) = 7 – 3(x – 2) é:
 a) 9,2 
 b) – 8,4 
 c) – 5,5 
 d) 5,5 
 e) 4,6
5) Numa competição, Marcelo ganhou o dobro de medalhas de Carla e João 
ganhou 3 medalhas a mais que Marcelo. No total, eles conquistaram33 
medalhas. Quantas medalhas João ganhou?
 a) 6 b) 12 c) 15 d) 18 e) 21
Respostas: 
 1) d; 2) a; 3) e; 4) d; 5) c.
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a
10 JOGOS E CURIOSIDADES 
 EM SALA DE AULA
Groenwald e Timm (2013) enfatizam a importância dos jogos e desafios como 
metodologia de ensino nas aulas de Matemática que necessitam, para poder 
jogá-los, da utilização de conhecimentos matemáticos. Salientam que os mesmos, 
quando convenientemente preparados, são um recurso pedagógico eficaz para a 
construção do conhecimento matemático.
Para as autoras, os jogos podem ser utilizados para introduzir, amadurecer 
conteúdos e preparar o aluno para aprofundar os itens já trabalhados. Devem 
ser utilizados não como instrumentos recreativos na aprendizagem, mas como 
facilitadores, colaborando para trabalhar os bloqueios que os alunos apresentam 
em relação a alguns conteúdos matemáticos.
Leitura recomendada:
Artigo: Utilizando curiosidades e jogos matemáticos em sala de aula
Autores: Drª Claudia Lisete Oliveira Groenwald e Ursula Tatiana Timm
Site: http://www.somatematica.com.br/artigos/a1/
10.1 Jogo da memória – frações
Objetivo: encontrar todos os pares das frações, levando em conta sua notação e sua 
representação gráfica. Coloque todas as peças de cabeça para baixo sobre a mesa. 
O primeiro jogador vira duas cartas. Se aparecerem figuras iguais, ele ganha um 
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a ponto. Se forem diferentes, as figuras voltam ao seu lugar na mesa. Tente memorizar 
onde elas estão. Ganha quem fizer o maior número de pontos.
2
1
5
5
7
9
12
5
6
5
8
4
4
2
4
1
3
4
5
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a10.2 Dominó na sla de aula
O dominó é formado por 7 fatos diferentes e 28 peças. Pode ser construído e 
adaptado a diferentes conteúdos. 
A A
A B B B
A C B C C C
A D B D C D D D
A E B E C E D E E E
A F B F C F D F E F F F
A G B G C G D G E G F G G G
10.3 Dominó da porcentagem
20% 20%
0,4 40% 40%
0,2 0,6 60% 60%
80% 80%
0,5 0,8 50% 50%
0,7 70% 70%
10.4 O jogo da velha em sala de aula
O jogo da velha é um jogo popular e pode ser adaptado para trabalhar em sala de 
aula. Consiste de uma matriz 3 x 3. No tabuleiro, podemos colocar respostas e as 
fichas podem ser perguntas. Por exemplo: potências de base 3. 
20
100
10
50
2
10
1
5
2
5
4
10
50
100
30
50
25
50
10
20
5
10
14
20
7
10
80
100
35
50
6
10
70
100
4
5
60
100
8
10
20
50
40
50
3
5
40
100
Fichas: construir em duas cores diferentes
20; 2¹; 2²; 2³; 24; 25; 26; 27; 28.
Matriz
32 8 1
2 16 256
64 128 4
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a 10.5 Régua de frações equivalentes (objeto de aprendizagem)
1
18
1
9
1
7
1
20
1
10
1
5
1
24
1
12
1
6
1
3
2
10
1
1
2
1
4
1
3
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a10.6 Sete cobras
Material: 2 dados, lápis e papel 
Conteúdo matemático: adição, leitura e grafia de números. 
Escreve-se a sequência numérica 2 a 12 em uma folha de papel. Na sua vez de 
jogar, o jogador soma os dados e marca com um X o número sorteado. Se a soma 
der 7, o jogador desenha uma cobra no seu papel. Quem marcar todos os números 
primeiro, com o menor número de cobras é o vencedor. Quem obtiver 7 cobras é 
eliminado do jogo.
10.7 Bingo em sala de aula
O jogo do bingo pode ser adaptado a diferentes conteúdos matemáticos. Por 
exemplo, na memorização da tabuada. Os tabuleiros (3 x 3) são formados com 
respostas da tabuada e as fichas com perguntas.
Por exemplo: 
8 12
63 81
36 48
Outro modo de montar esse mesmo bingo é inverter, isto é, as fichas no tabuleiro 
e as questões do tabuleiro nas fichas.
Referências
GROENWALD, L. O.; TIMM, U.T. Utilizando curiosidades e jogos matemáticos em sala de aula. 
Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/artigos/a1/> Acesso em: 14 mai. 2013.
Fichas: 
2 x 4 4 x 3 9 x 7
9 x 9 6 x 6 8 x 6
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