Teoria dos Números

Prévia do material em texto

Teoria dos Números 55
5 Inteiros Relativamente Primos
Inteiros para os quais o máximo divisor comum é a unidade recebem deno-
minação especial, conforme definição abaixo.
Definição 3. Dois inteiros a e b dizem-se relativamente primos ou pri-
mos entre si, se mdc(a, b) = 1.
Exemplos:
(01) 2 e 3 são relativamente primos, pois mdc(2, 3) = 1;
(02) 4 e 15 são primos entre si, pois mdc(4, 15) = 1;
(03) 4 e 10 não são relativamente primos, pois mdc(4, 10) = 2.
Proposição 5. Se
mdc(a, b) = d,
então
mdc(
a
d
,
b
d
) = 1.
Demonstração:
d = mdc(a, b)⇒ existem inteiros r e s, tais que:
d = ra+ sb
⇓
1 = r.a
d
+ s. b
d
, com a
d
, b
d
∈ Z
⇓
mdc(a
d
, b
d
) = 1,
conforme Proposição 4. �
X Exerćıcios 9.
(01) Determine todos os inteiros positivos a e b, para os quais 2a + b = 160 e
mdc(a, b) = 8.
Solução:
Como mdc(a, b) = 8⇒ a = 8k1 e b = 8k2, com k1, k2 ∈ Z∗+. Então
2a+ b = 160⇒ 2(8k1) + 8k2 = 160⇒ k2 = 20− 2k1
⇓
(k1, k2) ∈ {(1, 18), (2, 16), (3, 14), (4, 12), (5, 10), (6, 8), (7, 6), (8, 4), (9, 2)}.
Agora, como 8 = mdc(a, b) = mdc(8k1, 8k2) ⇒ mdc(k1, k2) = 1, conforme
Proposicão 5. Assim, as únicas soluções posśıveis são:
k1 = 1, k2 = 18⇒ a = 8 e b = 144;
k1 = 3, k2 = 14⇒ a = 24 e b = 112;
k1 = 7, k2 = 6⇒ a = 56 e b = 48;
k1 = 9, k2 = 2⇒ a = 72 e b = 16. �
56 Teoria dos Números
Na questão 09 da Lista de Exerćıcio 3, você encontrou inteiros a, b e c, com
a|bc, porém a - b e a - c. Por exemplo, 4|(2.6), porém 4 - 2 e 4 - 6. Também
temos, que 9|(3.15), porém 9 - 3 e 9 - 15. O teorema a seguir, atribúıdo a
Euclides, dá a condição para que isso não ocorra.
Teorema 7. (De Euclides) Sejam a, b e c inteiros, tais que a|bc. Se a e b são
relativamente primos, então a|c.
Demonstração:
Como, mdc(a, b) = 1, existem inteiros r e s, tais que 1 = ra + sb. Por outro
lado, como a|bc, existe k ∈ Z, tal que bc = ak. Multiplicando a equação
1 = ra+ sb
por c e usando o valor de bc acima:
1 = ra+ sb⇒ c = a(rc) + (bc)s⇒ c = a(rs) + a(ks) = a(rs+ ks)⇒ a|c. �
Exemplos:
(01) Se 3|(7.a), com a ∈ Z, necessariamente 3|a, pois mdc(3, 7) = 1;
(02) Para quaisquer inteiros n 6= 0 e a, se n|(an+ a), então n|a. (Justifique).
	Máximo Divisor Comum
	Inteiros Relativamente Primos