Relação de Euler em Poliedros

Prévia do material em texto

Relação de Euler
O matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) descobriu uma importante relação entre o número de 
vértices (V), o número de arestas (A) e o número de faces (F) de um poliedro convexo.
Observe estes exemplos:
Cubo Tetraedro Dodecaedro
Prisma de
base pentagonal
Pirâmide de
base quadrangular Hexaedro
 F 5 6 F 5 4 F 5 12 F 5 7 F 5 5 F 5 6
 V 5 8 V 5 4 V 5 20 V 5 10 V 5 5 V 5 8
 A 5 12 A 5 6 A 5 30 A 5 15 A 5 8 A 5 12
Observe que, para cada um dos poliedros, o número de arestas é igual à soma do número de faces com 
o número de vértices menos 2 unidades.
Essa relação pode ser escrita assim:
V 2 A 1 F 5 2 (relação de Euler)
O valor 2 dessa expressão é uma característica de todos os poliedros convexos.
Exemplo: Note a relação de Euler em mais um poliedro convexo.
V 5 6
F 5 5
A 5 9
V 2 A 1 F 5 2
ô ô ô
6 2 9 1 5 5 2
Observa•›es:
1a) Em alguns poliedros (não em todos) não convexos, vale também a relação de Euler. 
O poliedro não convexo representado abaixo é um exemplo.
2a) A expressão V 2 A 1 F pode assumir valores diferentes de 2 quando o poliedro não é convexo. O poliedro 
não convexo representado a seguir é um exemplo.
3a) Dados três números, V, A e F, tais que V 2 A 1 F 5 2, nem sempre existe um poliedro que tenha V vértices, 
A arestas e F faces. Por exemplo, V 5 1, A 5 3 e F 5 4.
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/ 
A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
No cubo, temos: 8 2 12 1 6 5 2.
Escreva no caderno a relação de Euler para os outros 
poliedros convexos representados acima.
Reflita
Tetraedro: 4 2 6 1 4 5 2
Dodecaedro: 
20 2 30 1 12 5 2
Prisma de base pentagonal: 
10 2 15 1 7 5 2
Pirâmide de base 
quadrangular: 
5 2 8 1 5 5 2
Hexaedro: 8 2 12 1 6 5 2
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
V 5 9 V 2 A 1 F 5 2
A 5 15 ô ô ô
F 5 8 9 2 15 1 8 5 2
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Todo poliedro 
convexo satisfaz a 
relação de Euler, mas 
nem todo poliedro 
que satisfaz a relação 
de Euler é convexo.
Fique atento
Il
u
s
tr
a
ç
õ
e
s
: 
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/ 
A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
 V 2 A 1 F = 2
 ô ô ô
11 2 23 1 12 5 0
77
062a081_V3_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap2_LA.indd 77062a081_V3_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap2_LA.indd 77 07/09/2020 12:3507/09/2020 12:35
Poliedro regular
Um poliedro convexo é regular quando todas as faces são regiões limitadas por 
polígonos regulares e congruentes e em todos os vértices concorre o mesmo número 
de arestas. Veja abaixo dois exemplos de poliedros regulares.
 
 Poliedro regular. Poliedro regular.
Observe agora:
 
A
B
Il
u
s
tr
a
ç
õ
e
s
: 
B
a
n
c
o
 d
e
 
im
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Il
u
s
tr
a
ç
õ
e
s
: 
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/
A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Poliedro não regular: as faces 
não são regiões limitadas por 
polígonos regulares.
Poliedro não regular: as faces são 
regulares e congruentes, mas para o 
vértice A convergem 3 arestas e para 
B convergem 4 arestas.
Um polígono 
regular tem 
todos os lados 
congruentes e todos 
os ângulos internos 
congruentes.
Fique atento
Propriedade: existem apenas cinco 
poliedros regulares convexos
Observe a seguir a representação de cada um dos poliedros regulares convexos e 
a respectiva planificação das superfícies. 
 
Tetraedro: 4 faces limitadas por triângulos equiláteros e 3 arestas 
que concorrem em cada vértice.
 
Octaedro: 8 faces limitadas por triângulos equiláteros e 4 arestas 
que concorrem em cada vértice.
Il
u
s
tr
a
ç
õ
e
s
: 
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/
A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Il
u
s
tr
a
ç
õ
e
s
: 
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/
A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
78
062a081_V3_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap2_LA.indd 78062a081_V3_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap2_LA.indd 78 07/09/2020 12:3507/09/2020 12:35