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8.	Sabemos que a quantidade de ba ctérias em uma cultura, depois de certa medida de intervalo de tempo t, em 
minutos, é dada por N(t) 5 N0 ? (2,7)rt, em que N0 é a quantidade inicial de bactérias (quando t 5 0) e r é a taxa 
de crescimento relativo da cultura. 
Em quantos minutos a quantidade de bactérias dobrará em uma cultura se a taxa de crescimento contínuo dela 
é de 5% por minuto?
Resolução
Pelos dados do problema, a pergunta é: Em quantos minutos temos N(t) 5 2N0?
Assim, calculamos:
N (t) 5 2N0 ~ N0 ? 2,70,05t 5 N2 0 ~ 2,70,05t 5 2 ~ log2,7 2 5 0,05t ~
log 2
log 2,7
5 0,05t ~ 
~ 0,05t â 0,7 ~ t 5 14
Logo, a quantidade de bactérias dobrará em aproximadamente 14 minutos.
	 9.	Em quantos anos 500 g de uma substância radioativa, que se desintegra a uma taxa de 3% ao ano, se reduzirão 
a 100 g? Use Q(t) 5 Q0 ? 32rt, em que Q é a medida de massa da substância, r é a taxa de desintegração e t é 
a medida de intervalo de tempo, em anos.
Resolução
Q(t) 5 Q0 ? 32rt ~ 100 5 500 ? 320,03t ~ 0,2 5 320,03t ~ log3 0,2 5 20,03t ~
log 0,2
log 3
5 20,03t ~
~ 20,03t â 21,46 ~ t 5 48,6
Logo, essa substância estará reduzida a 100 gramas em aproximadamente 48,6 anos.
	10.	Uma instituição bancária oferece financiamentos imobiliários a pessoas físicas com taxa de juros de 8,9% ao 
ano. Nessa situação, o valor a ser pago ao banco dobra quando o financiamento é pago em quantos anos?
As instituições bancárias 
públicas ou privadas ofertam 
linhas de crédito de longo 
prazo destinadas à aquisição 
de imóveis (novos ou usados), 
construções ou terrenos. Os 
imóveis adquiridos com os 
financiamentos imobiliários 
podem ter fins habitacionais 
ou comerciais. 
Resolução
Pela fórmula vista no capítulo anterior, em um sistema de juros compostos (que é o aplicado em financiamentos 
bancários), temos M 5 C(1 1 i )t, em que M é o montante ao final de cada período (neste caso, em anos), C é o 
capital inicial (no caso, o valor inicial do financiamento) e i é a taxa de juros compostos aplicada a cada medida 
de intervalo de tempo t.
Queremos saber quando M 5 2C. Então:
M 5 2C ~ C (1 1 0,089)t 5 2C ~ 1,089t 5 2 ~ log1,089 2 5 t ~ t 5
log 2
log 1,089
â 8,13
Logo, o valor a ser pago ao banco dobra quando o financiamento é pago em aproximadamente 8 anos.
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Atividades resolvidas
A medida de 
intervalo de 
tempo não 
depende da 
quantidade 
inicial de 
bactérias.
Fique atento
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Atividades Não escreva no livro.
Nas atividades a seguir, sempre que necessário, use cal-
culadoras científicas ou planilhas eletrônicas para efetuar 
os cálculos.
	14.	Qual é o valor do pH de uma solução cuja concentração 
de H1 é de 4,5 ? 1025 mol/L?
O pH de uma solução pode ser medido utilizando 
fitas-teste que, após o contato com a solução, mudam de 
cor para indicar se ela é ácida, básica ou neutra.
	15.	Se um capital de R$ 800.000,00 for aplicado a juros 
compostos e à taxa anual de 12%, então após quan-
tos anos da aplicação serão obtidos juros no valor de 
R$ 700.000,00?
	16.	Uma pessoa deposita uma quantia na caderneta de 
poupança, à taxa de 0,36% ao mês. Em quantos anos 
a quantia depositada triplica?
	17.	Uma pessoa coloca R$ 1.000,00 em um fundo de apli-
cação que rende, em média, 1,5% ao mês.
	a) Em quantos meses essa pessoa terá no mínimo 
R$ 1.300,00?
	b) E em quantos meses essa pessoa teria essa quantia 
se a taxa fosse de 1% ao mês?
	18.	Uma instituição financeira cobra juros do cartão de cré-
dito de 9% a.m. do saldo devedor. Um usuário desse 
cartão tem saldo devedor de R$ 505,00. Em quanto 
tempo essa dívida chegará a R$ 600,00 se não for 
paga? (Use as aproximações: log 2 5 0,3; log 3 5 0,48; 
log 1,01 5 0,004; log 1,09 5 0,038.)
	19.	Em um financiamento de R$ 200.000,00 em uma insti-
tuição bancária para a compra de um imóvel, à taxa de 
juros compostos de 8% ao ano, o valor final a ser pago 
é de R$ 440.000,00. Em quantos anos esse financia-
mento é quitado? (Dado: log1,08 2,2 â 10.)
	20.	De acordo com a lei de resfriamento de Newton, a di-
ferença das medidas de temperatura de um corpo e do 
meio que o contém decresce a uma taxa de variação 
proporcional à diferença dessas medidas. Consideran-
do DT0 a diferença das medidas de temperatura do 
corpo e do meio, no instante t 5 0, e DT(t) a diferença 
dessas medidas, em um instante t qualquer, essa lei se 
traduz pela expressão DT(t) 5 DT0 ? e
2at, em que e é 
uma constante matemática e a constante a depende 
do corpo.
Suponha que, em determinado local, cuja medida de 
temperatura ambiente é de 30 °C, exista uma panela 
de água fervente no fogo. Em t 5 0, o fogo é desliga-
do e 5 minutos depois a medida de temperatura da 
água é de 65 °C. Depois de quanto tempo, a partir do 
desligamento do fogo, a água atingirá a medida de 
temperatura de 37 °C?
(Considere log 2 â 0,3.)
	a) 20 minutos e 40 segundos.
	b) 16 minutos e 40 segundos.
	c) 12 minutos e 40 segundos.
	d) 8 minutos e 40 segundos.
	e) 4 minutos e 40 segundos.
Para as atividades a seguir, use a fórmula Q(t) 5 Q0 ? (2,7)2rt, 
em que Q representa a medida de massa da substância 
ou a quantidade de bactérias, r é a taxa e t é a medida de 
intervalo de tempo.
	21.	Uma substância radioativa se desintegra a uma taxa de 
8% ao ano. Em quantos anos 50 g dessa substância se 
reduzirão a 5 g? 
	22.	Altere o enunciado da atividade anterior de modo que 
as medidas de massa não sejam dadas, mas que seja 
possível fazer todos os cálculos e obter a mesma res-
posta.
	23.	Em um laboratório, uma pessoa verifica que a taxa de 
crescimento relativo contínuo de bactérias em uma 
cultura é de 2,5% por minuto. Nessas condições, em 
quantos minutos a quantidade de bactérias passará de 
4 000 para 6 000? 
	24.	Calcule a meia-vida de uma substância radioativa que 
se desintegra a uma taxa de 4% ao ano. 
	25.	Elabore mais um problema para ser resolvido usando 
a fórmula Q(t) 5 Q0 ? (2,7)2r t dada. Depois, peça a um 
colega que confira o problema que você elaborou e a 
resolução.
Aproximadamente 4,347.
L
o
th
a
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D
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c
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l/
S
h
u
tt
e
rs
to
c
k
 
Aproximadamente 5 anos e meio.
Aproximadamente 12,5 anos.
18 meses.
29 meses.
Aproximadamente 
2 meses.
Aproximadamente 10 anos.
Alternativa b.
Aproximadamente 29 anos.
Resposta pessoal.
Aproximadamente 16 minutos e 
44 segundos.
Aproximadamente 17 anos.
Resposta pessoal.
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