Matemática Interligada Geometria Espacial e Plana (47)

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91
A B
CF
E
D
V
g
¼
MO
h
V
g
m M
N
L
V
g
2
¼ N
h L
V
rO
¼
V
M
N
2
r
O
m
¼
 Área da superfície de uma pirâmide
Nas imagens a seguir, estão representadas uma pirâmide regular de base hexagonal e a planifi-
cação de sua superfície.
No caso da pirâmide apresentada: A 
t
 5 A 
º
 
 
 
�
 
3ºg
 1 A 
b
 
 
 
⏟
 
 
3 º 
2
 √ 
―
 3 
 ― 
2
 
 5 3ºg 1 
3 º 
2
 √ 
―
 3 
 ― 
2
 
A área total de uma pirâmide é a área lateral mais a área da base, isto é: A 
t
 5 A 
º
 1 A 
b
 .
Em qualquer pirâmide regular podemos destacar 4 importantes triângulos retângulos, nos 
quais, por meio do teorema de Pitágoras, é possível calcular algumas medidas. Veja os exemplos:
A área da base de uma pirâmide corresponde à área do polígono que a constitui ( A 
b
 ) .
No caso da pirâmide apresentada, a área da base é a área do hexágono regular, isto é, de 
6 triângulos equiláteros: A 
b
 5 6 ?? 
 º 
2
 √ 
―
 3 
 ― 
4
 5 
3 º 
2
 √ 
―
 3 
 ― 
2
 
A superfície total de uma pirâmide é a reunião da superfície lateral com a base. A área dessa 
superfície é chamada área total da pirâmide ( A 
t
 ) .
 nVOM nVMN nVON nOMN 
 g 
2
 5 m 
2
 1 h 
2
 L 
2
 5 ( 
º
 ― 
2
 ) 
2
 1 g 
2
 L 
2
 5 r 
2
 1 h 
2
 r 
2
 5 ( 
º
 ― 
2
 ) 
2
 1 m 
2
 
 A 
º
 5 6 ?? ( 
º ?? g
 ― 
2
 ) 
 
 
⏟
 
 área de uma 
face lateral
 
 5 3ºg 
A superfície lateral de uma pirâmide é a reunião de todas as suas faces laterais. A área dessa 
superfície é chamada área lateral da pirâmide ( A 
º
 ) .
No caso da pirâmide representada, a área lateral é 6 vezes a área de uma face.
R
o
n
a
ld
o
 I
n
á
c
io
R
a
fa
e
l 
L
. 
G
a
io
n
g21_scp_lt_6mat_c2_p088a097.indd 91g21_scp_lt_6mat_c2_p088a097.indd 91 9/19/20 10:54 AM9/19/20 10:54 AM
g
m
4 cm
O
V
6
 c
m
Não escreva no livro.
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 84. Sendo √ 
―
 3 m a altura de uma pirâmide quadrangu-
lar regular e 2 m a aresta da base, calcule:
a ) a medida do apótema da base.
b ) a medida do apótema da pirâmide.
c ) a área lateral.
d ) a área da base.
e ) a área total.
 85. Determine a área total de um tetraedro regular 
cujo comprimento de cada aresta é igual a 10 cm.
 86. Partindo de um cubo cujo volume era 1 dm3, cons-
truiu-se uma pirâmide. Para isso, tomou-se uma 
das bases do cubo como base da pirâmide e o en-
contro das diagonais da face oposta como vértice. 
Determine a área lateral dessa pirâmide.
 87. Heitor construiu uma pirâmide hexagonal regu-
lar de madeira que tem 3 dm de altura e apó tema 
da base com 3 √ 
―
 3 dm de comprimento. Qual é a 
área total dessa pirâmide?
 88. (Fuvest-SP) Um telhado tem a forma da super fície 
lateral de uma pirâmide regular, de base quadra-
da. O lado da base mede 8 m e a altura da pirâmide 
é 3 m. As telhas para cobrir esse telhado são vendi-
das em lotes que cobrem 1 m2. Supondo que possa 
haver 10 lotes de telhas desperdiçadas (quebras e 
emendas), o número mínimo de lotes de telhas a 
ser comprado é:
a ) 90
b ) 100
c ) 110
d ) 120
e ) 130
 R28. Considere uma pirâmide hexagonal regular cuja aresta da base tem comprimento de 4 cm e 
altura 6 cm. Determine:
a ) o comprimento do apótema da base.
b ) o comprimento do apótema da pirâmide.
c ) a área lateral.
d ) a área da base.
e ) a área total.
Resolução
a ) Como a área da base é um hexágono regular, m é a altura de um 
triângulo equilátero com 4 cm de lado. Dessa maneira:
 m 5 
º √ 
―
 3 
 ― 
2
 5 
4 √ 
―
 3 
 ― 
2
 5 2 √ 
―
 3 . 3,46 é aproximadamente 3,46 cm 
b ) O apótema da pirâmide é dado por:
 g 
2
 5 h 
2
 1 m 
2
 ä g 
2
 5 6 
2
 1 ( 2 √ 
―
 3 ) 
2
 ä g 
2
 5 36 1 12 ä g 5 4 √ 
―
 3 . 6,93 é aproximadamente 6,93 cm 
c ) A área lateral é dada por:
 A 
º
 5 6 ?? ( 
º ?? g
 ― 
2
 ) 5 6 ?? ( 
4 ?? 4 √ 
―
 3 
 ― 
2
 ) 5 48 √ 
―
 3 . 83,14 é aproximadamente 83,14 cm 
2
 
 
 
d ) Como a base é um hexágono regular, a área da base é dada por:
 A 
b
 5 
3 º 
2
 √ 
―
 3 
 ― 
2
 5 
3 ?? 4 
2
 √ 
―
 3 
 ― 
2
 5 24 √ 
―
 3 . 41,57 é aproximadamente 41,57 cm 
2
 
e ) A área total é dada por:
 A 
t
 5 A 
º
 1 A 
b
 5 48 √ 
―
 3 1 24 √ 
―
 3 5 72 √ 
―
 3 . 124,71 é aproximadamente 124,71 cm 
2
 
aproximadamente 173,2 cm 
2
 
 8 m 
2
 
1 m
2 m
 4 m 
2
 
 12 m 
2
 
aproximadamente 2,24 dm 
2
 
aproximadamente 201,53 dm 
2
 
a
Na tarefa 88, por se 
tratar de uma questão 
de vestibular, embora 
estejamos usando 
“comprimento do 
segmento”, por exemplo, aparece a palavra “mede” para 
indicar o comprimento do lado da base do telhado.
R
a
fa
el
 L
. G
a
io
n
g21_scp_lt_6mat_c2_p088a097.indd 92g21_scp_lt_6mat_c2_p088a097.indd 92 9/19/20 10:54 AM9/19/20 10:54 AM