111_APOSTILA_MECÂNICA_GERAL_II (v11_22022021)-228

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Prof.: Carlos Arthur Cavalcante 228 
A equação Eq. 13 é a equação de uma seção cônica (elipse, parábola ou hipérbole) em 
coordenadas polares 𝑟 e 𝜃. A origem 𝑂 do sistema de coordenadas polares (centro do planeta) 
é um foco dessa seção cônica e o eixo polar um dos seus eixos de 
simetria. 
 
A razão entre a constante 𝐶 e a constante 𝐺𝑀 h2⁄ é definida como a 
excentricidade 𝜀 da seção cônica. 
 
𝜖 =
𝐶
𝐺𝑀 ℎ2⁄
=
𝐶ℎ2
𝐺𝑀
 
 
Assim, podemos utilizar também uma equação alternativa à equação 
Eq. 13, equação esta que é dada por, 
 
1
𝑟
=
𝐺𝑀
ℎ2
(1 + 𝜀 cos 𝜃) Eq. 14 
 
De acordo com o valor de 𝜖 (que por sua vez depende das condições 
iniciais), a equação Eq. 14 representa quatro trajetórias possíveis: 
 
1) Hipérbole. 
Quando 𝜖 > 1 ou 𝐶 > 𝐺𝑀 ℎ2⁄ . 
Existirão dois valores para ângulo polar 𝜃, identificados por 𝜃1 e por −𝜃1, para os quais o 
lado direito da equação Eq. 14 se torna zero e, consequentemente, o raio vetor 𝑟 se torna 
infinito. 
O valor de 𝜃1 é definido por cos 𝜃1 = 𝐺𝑀 𝐶ℎ2⁄ . 
 
2) Parábola. 
Quando 𝜖 = 1 ou 𝐶 = 𝐺𝑀 ℎ2⁄ . 
Existirá um único valor para ângulo polar 𝜃 para o qual o lado direito da equação Eq. 14 
se torna zero e, consequentemente, o raio vetor 𝑟 se torna infinito. 
O raio vetor 𝑟 se torna infinito para 𝜃 = 180°. 
 
3) Elipse. 
Quando 𝜖 < 1 ou 𝐶 < 𝐺𝑀 ℎ2⁄ . 
O raio vetor 𝑟 permanece finito para todo valor de 𝜃. 
 
4) Círculo. 
Quando 𝜖 = 0 ou 𝐶 = 0. 
É um caso particular da elipse. 
O raio vetor 𝑟 permanece finito, porém constante, para todo valor de 𝜃.