Matemática_Contexto__aplicações_Volume_único_2018-655-657

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3. Um tanque cilíndrico tem 
3 m de medida de profun-
didade. Sua base superior 
é aberta e tem 4 m de me-
dida de diâmetro. Quantos 
galões de tinta são neces-
sários para pintar o inte-
rior desse tanque, se para 
4 m
3 m
 cada metro quadrado gasta-se 
1
4
 de galão?
4. Em um cilindro, a medida da altura é igual à me-
dida do raio da base. Sabe-se, também, que a me-
dida da área lateral desse cilindro é 16p  cm2. 
Calcule a medida da área total do cilindro. 
5. Uma lata de refrigerante tem forma cilíndrica, com 
8 cm de medida de diâmetro nas bases e 15 cm de 
medida de altura. Quantos centímetros quadrados 
de material são necessários, aproximadamente, 
para fabricar essa lata de refrigerante? 
6. Em um cilindro de raio medindo r e altura medin-
do h, a medida da área lateral é igual à medida 
da área de uma base. Determine o valor de h em 
função de r. 
7. Sabe-se que a medida da área lateral de um ci-
lindro é 20p cm2. Se a medida do raio da base é 
5 cm, calcule a medida h da altura e a medida da 
área total do cilindro. 
8. Um primeiro cilindro tem altura 2h e raio da base r. 
Um segundo tem altura h e raio da base 2r. Qual é 
a razão entre as áreas laterais desses cilindros? 
9. 2 latas têm forma cilíndrica. A lata mais alta tem 
o dobro da medida da altura da outra, mas a me-
dida de seu diâmetro é a metade da medida do 
diâmetro da lata mais baixa.
 
Em qual das duas latas se utiliza menos material? 
10. Qual é a razão entre a medida da área total e a 
medida da área lateral do cilindro equilátero? 
11. Uma caneta esferográfica tem a forma cilíndrica. 
A medida do raio da base é 6 mm e a medida do 
comprimento da caneta, 16 cm. Quantos centíme-
tros quadrados tem a medida da superfície late-
ral dessa caneta? 
12. Calcule a medida da área total de um cilindro re-
to que tem altura medindo 6 cm e área lateral 
medindo 48p cm2. 
13. Quanto de material (em 
metro quadrado) se 
gasta para fazer um de-
pósito tampado de 
combustível com a for-
ma e as medidas da fi-
gura ao lado? 
20 m
15 m
MEDIDA DO VOLUME DO CILINDRO
Vamos novamente usar o princípio de Cavalieri, 
agora para determinar o volume do cilindro.
Dado um cilindro com a base contida em um 
 plano a, vamos considerar um paralelepípedo retân-
gulo, também com a base contida em a, que tem a 
medida da área da base igual à medida da base do ci-
lindro e altura igual à do cilindro.
Cada plano b, paralelo a a, que secciona um dos 
sólidos também secciona o outro, e as secções deter-
minadas por b em cada um deles têm a mesma medida 
de área de suas bases.
a
b h
P
b > C
C
A
B
A
B
b > P
Como área (b > C) 5 A
B
 e área (b > P) 5 A
B
, temos:
medida da área (b > C) 5 medida da área (b > P)
para qualquer plano horizontal b. Pelo princípio de 
Cavalieri, concluímos que:
medida do volume do cilindro 5 medida do 
volume do paralelepípedo retângulo
Como medida do volume do paralelepípedo retân-
gulo 5 medida da área da base ? medida da altura, 
segue que:
medida do volume do cilindro 5 medida 
da área da base ? medida da altura
Sendo a base do cilindro um círculo de raio medin-
do r e área medindo pr2, temos:
Medida do volume do 
cilindro 5 V 5 pr2h
h
r
 FIQUE ATENTO!
Observe que a medida do volume do cilindro é calculada 
da mesma maneira que calculamos a medida do volume 
de um prisma: medida da área da base ? medida da altura.
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CAPêTULO 21 • CORPOS REDONDOS: CILINDRO, CONE E ESFERA 653
Contexto e Aplicacoes Matematica_U9_C21_649a681.indd 653 8/22/18 2:58 PM
EXERCÍCIO RESOLVIDO PASSO A PASSO
(Enem) Uma artesã confecciona dois diferentes tipos 
de vela ornamental a partir de moldes feitos com 
cartões de papel retangulares de 20  cm  3  10  cm 
(conforme ilustram as figuras abaixo). Unindo dois 
lados opostos do cartão, de duas maneiras, a arte-
sã forma cilindros e, em seguida, os preenche 
completamente com parafina.
20 cm
Tipo I
1
0
 c
m
10 cm
2
0
 c
m
Tipo II
Supondo-se que o custo da vela seja diretamente 
proporcional ao volume de parafina empregado, o 
custo da vela do tipo I, em relação ao custo da vela 
do tipo II, será:
a) o triplo.
b) o dobro.
c) igual.
d) a metade.
e) a terça parte.
1. LENDO E COMPREENDENDO
a) O que é dado no problema?
 São dadas as dimensões de 2 moldes usados por 
uma artesã na confecção de velas; é explicado 
como esses moldes são feitos a partir do papel-
-cartão.
b) O que se pede?
 Pede-se a relação entre o custo dos 2 tipos de 
vela fabricados pela artesã.
2. PLANEJANDO A SOLUÇÃO
De acordo com as instruções de montagem dos 2 ti-
pos de molde, vamos obter as medidas das dimen-
sões necessárias para o cálculo do volume dos 
cilindros (raio e altura). Com as medidas das dimen-
sões para os 2 casos, calcularemos a medida do 
volume, e como o custo das velas é proporcional 
ao volume, poderemos determinar a relação pedida 
entre os custos.
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3. EXECUTANDO O QUE FOI PLANEJADO
Vamos determinar as medidas das dimensões da 
altura (h) e do raio (r) para cada um dos moldes:
No tipo I, a medida da altura é h 5 10 cm e a medida 
do comprimento da circunferência da base é 20 cm. 
Como a medida do comprimento de uma circunfe-
rência é dado por 2pr, temos:
2pr 5 20 ⇒ r 5 
10
p
No tipo II, a medida da altura é h 5 20 cm e a medida 
do comprimento da circunferência da base é 10 cm. 
Então, temos:
2pr 5 10 ⇒ r 5 
5
p
Vamos calcular a medida do volume de parafina em-
pregado em cada molde. Para isso, devemos lem-
brar que a medida do volume de um cilindro é dado 
por V 5 pr2h.
Medida do volume no molde do tipo I:
5 ?p
p




⇒ pV
10
10
I
2
5 ? ? 5⇒ p
p p
V
100
10
1000
I 2
Medida do volume no molde do tipo II:
5 ? V
5
20
II
2
p
p




⇒ p
5 ? ? 5 V
25
20
500
II 2
⇒ p
p p
A relação entre as medidas dos volumes é a relação 
entre os custos. Assim:
5 5 ? 5
p
p
p
p
 
V
V
1000
500
1000
500
2I
II
Ou seja, a medida do volume de parafina empregado 
no molde do tipo I é o dobro da medida do volume de 
parafina empregado no molde do tipo II. Assim, o 
custo da vela I é o dobro do custo da vela II.
4. EMITINDO A RESPOSTA
A resposta é a alternativa b.
5. AMPLIANDO O PROBLEMA
a) Qual deve ser o tamanho de um cartão retangular 
para que uma vela medindo 20 cm de altura cus-
te o mesmo que uma vela medindo 10 cm de altu-
ra feita com o molde do tipo I do enunciado? 
UNIDADE 9 • POLIEDROS E CORPOS REDONDOS654
Contexto e Aplicacoes Matematica_U9_C21_649a681.indd 654 8/22/18 2:58 PM
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Um cilindro circular reto tem 10 cm de medida de 
altura e sua base tem 12 cm de medida de diâme-
tro. Calcule a medida da área lateral, a medida 
da área total e a medida do volume do cilindro.
12 cm
h = 10 cm
Resolução
Se a medida do diâmetro é igual a 12 cm, então 
r 5 6 cm.
Medida da área da base 5 A
b
 5 pr2 5 p ? 62 5
5 36p cm2
Medida da área lateral 5 A
,
 5 2prh 5
5 2p ? 6 ? 10 5 120p cm2
Medida da área total 5 At 5 A
,
 1 2A
b
 5
5 120p 1 2(36p) 5 192p cm2
Medida do volume 5 V 5 A
b
h 5 pr2h 5
5 p ? 62 ? 10 5 360p cm3
Portanto, a medida da área lateral é 120p cm2, a 
medida da área total é 192p cm2 e a medida do 
volume é 360p cm3.
2. A figura abaixo mostra um cilindro inscrito em 
um cubo. A medida do volume do cilindro é 
64p cm3. Calcule a medida do volume do cubo.
a 5 2r 5 h
r
Como a medida da altura do cilindro é igual à 
medida do seu diâmetro, temos:
V 5 pr2h ⇒ 5 ? 64 r 2r2p p ⇒ 2r3 5 64 ⇒
⇒ r3 5 32 5r 2 4 cm3
⇒
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Como a medida de comprimento da aresta do 
cubo é igual à medida do diâmetro do cilindro, 
temos:
5 5a 2r 4 4 cm3Vamos então calcular a medida do volume do 
cubo:
5 5 5V a 4 4 256 cm3 3
3
3( )
Portanto, a medida do volume do cubo é 256 cm3.
 FIQUE ATENTO!
Todo cilindro inscrito em um cubo é um cilindro equi-
látero: a medida do diâmetro da base e da altura são 
iguais à medida da aresta do cubo.
3. Qual é a medida da capacidade de uma lata de 
molho de tomate que tem a forma cilíndrica, com 
7,5 cm de medida de diâmetro e 11 cm de medida 
de altura?
Resolução
Realidade
h
r
Cilindro
Modelo matem‡tico
Se a medida do diâmetro é 7,5 cm, então 
r 5 3,75 cm.
h 5 11 cm
V 5 pr2h 5 p ? 3,752 ? 11 . 154,7p cm3
Considerando p 5 3,14 e sabendo que 1 dm3 5 1 L 
e 1 cm3 5 1 mL, temos:
154,7 ? 3,14 . 485,76 m
Logo, a medida da capacidade da lata é aproxi-
madamente 485,76 mL.
b) Debate em grupo
 Os primeiros artesãos surgiram no Período Neolítico (6000 a.C.) quando o homem aprendeu a polir a pedra, 
a fabricar a cerâmica e a tecer fibras animais e vegetais. [...] O artesão é aquele que, através da sua cria-
tividade e habilidade, produz peças de barro, palha, tecido, couro, madeira, papel ou fibras naturais, ma-
térias brutas ou recicladas, visando produzir peças utilitárias ou artísticas, com ou sem uma finalidade 
comercial.
Disponível em: <http://educacao.uol.com.br/disciplinas/cultura-brasileira/artesanato-ceramicas-rendas-e-outros-tipos-de-
artesanato-brasileiro.htm>. Acesso em: 24 abr. 2018.
Troque ideias com seus colegas sobre o texto acima. Vocês acham que o artesanato reflete a história do povo? 
Ou é apenas um passatempo?
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CAPêTULO 21 • CORPOS REDONDOS: CILINDRO, CONE E ESFERA 655
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