Matemática Ciências e Aplicações V3-130-132

Prévia do material em texto

(D Bissetrizes dos ângulos de duas retas
Outra aplicação direta da fórmula de distância de ponto a reta é a obtenção das 
bissetrizes dos ângulos formados entre duas retas concorrentes.
Sejam as retas concorrentes r: a,x + b-y + c, = 0 e s: a + b-y + c, = 0 e P (x, y) um 
ponto genérico de qualquer das bissetrizes /, e ç, cujas equações queremos determinar. 
Como P é eqüidistante de r e s, temos:
a,x + b,y + c,| a,x + b,y +
dK, = dPs = ---- =----- — - = ‘ -n ------
\ a, + b, y1 a. + b,
_ a,x + b,y + c, _ + a,x + b,y + c , _
^ rm 7 _ m:--—
V a, + b, -y a- + bj
a,x + b,y + c, + a2x + b2y + c ,
n j ~ r~2Va, + br Va2 + b?
Essa igualdade representa as bissetrizes dos ângulos formados entre r e s.
Para encontrar as equações das bissetrizes dos ângulos entre r: 3x + 4y - 12 = 0 e 
s: 8x + 6y - 5 = 0, podemos escrever:
3x + 4y - 12 + 8x + 6y - 5 _ q 3>: + 4y - 12 + 8x + 6y - 5 _ ̂
y'32 + 42 ” %Í82 + 62 5 10
=» 2 (3x + 4y - 12) ± (8x + 6y - 5) = 0 => 6x + 8y - 24 ± (8x + 6y - 5) = 0 ==>
6x + 8 y -2 4 + 8x + 6 y - 5 = 0=> 14x + 14y - 29 = 0 
ou .
6x + 8 y - 2 4 - 8 x - 6 y + 5 = 0=>2x-2y + 19 = 0
Assim, as equações das bissetrizes são i,: 14x + 14y - 29 = 0 e is: 2x - 2y + 19 = 0.
Como as bissetrizes de dois ângulos adjacentes suplementares são perpendiculares 
entre si, é aconselhável verificar a condição de perpendicularidade entre as bissetrizes 
encontradas; no caso, temos m ,= - l ,m 2= 1 em , m; = -1, o que comprova a perpendicu­
laridade.
A RF IA 127
B D Q O B O G O G B116 Encontre as equações das bissetrizes dos ângulos formados entre as retas de equações 5x + 3y - 16 = 0 e 3x — 5y -1-2 = 0.
117 Quais as equações das bissetrizes dos ângulos formados entre as retas x + 7y - 9 = 0 e 7x - y - 1 = 0.
118 Determine as equações das bissetrizes dos ângulos formados por x + y - 2 = 0 e x - y + l = 0 .
119 É possível que tenhamos como bissetrizes dos ângulos formados entre duas retas o par 3x + 4y - 5 = 0 e x - 3y + 5 = 0? Por quê?
120 Q Ui 1 a equação da bissetriz do ângulo agudo formado entre as retas 2x + 3y — 5 = 0 e 3x + 2y + 3 = 0?
121 Determine as coordenadas do incentro do triângulo ABC, sendo A (l. -2), B(4. -2) e C (l. 2).
122 Dados A(0, 0). B(3, 4) e C(12, -5), calcule o comprimento da bissetriz interna AP do triângulo ABC.
B B B B B B ^ O B B B O B D O B O B B
t : (1'nit-M G) A eq u ação da reta paralela à determ inada pelos pontos de co ord ena­das (2, 3) c (1, - 4 ) , passando pela ori­gem , é:a) y = 7xb) y = 3x - 4 C) 7y = xd) y = x® | ( F a i e c - S P ) Seja a reta r . d e e q u a ç ã o y = —— + 17. D as eq u ações ab aixo, a q u e representa uma reta paralela a r é :a) 2)' = - - + 10b) 2v = - 2x + 5
c ) 2y = x + 12d) y = - 2 x + 3e) y = x + 34
m t P I C - M G ) M é o p onto m édio d o seg­m ento de extrem os A d , 01 e B(0, -2 ) . A m ed id a da d istâ n cia d e M ao p o n to P(-l, 3), em unidades de com prim ento, é:
a l 4
b) 2V5 
c l 5 d) y 26 
e> \ 34
MATEMÁTICA; ClCNClA l APIICAÇOES
4 (UF-RS) N u paralelogram o A R C O da fi­gura ab a ixo . AB = 3 c B C = 2.
Se A = ( -1 . 0), en ião C é igual a:a) (2. 2) d) (2. v 3 )b) (3. 2 v'3 ) e) (3, 2)c) (3, V3 )
A eq u açã o geral da reta acim a represen­tada é:a ) 3x — \ 3 • y + 6 = 0b) 3x + i, 3 ■ y + 6 = 0c) v 3 ■ x - y - 2 = 0d) y = v'3 • x + 2 v3
c) y = (X + 2)
J& 1 fl-E I-SP ) As retas rep resen tad as pelas eq u ações y = 2x + I , y = x + 3 e y = b - x passam por um m esm o ponto. O valor de b c:a) 1 d ) 7b ) 3 e) 9c) 5
5 tlJF-R S) Considere a figura abaixo.
b> > = - * f - (1 - *)O y = 1 - v 3 x d.) y = v 3 (1 - x) e) y = \ 3 (x - l)
6 (Unirio-RJ) »*
8 (U F-P l) Se a reta de eq u ação(k + 3) x — (3— k ") y + k ' - 6 k + 9 = 0 passa pela origem , então seu coeficiente angular é igual a:a) 0 d) — § -
c) -IC N lU F P D A reta r passa pelos pontos (1, 2) e (3. D e intercepta os e ixo s co ord ena­dos nos pontos P e Q. O valor num érico da distância entre P e Q é:a) \ 7 >
b) V 5
d)
e)
23Vl _
7\'7
4c) 7\
• 10* (U csal-B A ) Seja o feixe de retas paralelas de eq u açã o y = 2x + k . com k E R . Uma das retas d o e ixo intercepta o e ix o das ordenadas no ponto (0, 3) e outra co n ­tém o ponto (2, 1). Q u al a distância en ­tre os pontos em q u e essas duas relas cortam o e ixo das abscissasr.■ ■ 1 d) 2
' » - í c) 3
C.
A IJI IA 129