Matemática Ciências e Aplicações V2-118-120

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B O G B B O Q O Q G
28 Encontre o domínio da função f: IR —» (R | f(x) = 1 + tg 2x.
m “I” 329 Quais os valores de m G IR para os quais temos tg (x — 7t) = ---------— ? E dem - 1x G IR?
30 Seja a função f: D —♦ IR | f(x) = tg I x + — I, com D =
V 2 yo conjunto imagem de j . , 0 Encontre
31 Qual o domínio da função real f(x) = -3tg — ^-j?
32 Seja f: A —► IR | f(x) = 1 + 2 tg ~ , com A = imagem de f .
. Determine o conjunto
33 Esboce o gráfico e dê o domínio e o período da função real f(x) = tg (2X + - y - j .
34 Esboce o gráfico e dê o domínio e o período da função real f(x) = - t g ^ 2 x - y j .
O Função cotangente
Seja D = {x G IR | x * kn, k G Z],
Denominamos função cotangente a função f: D —► IR 
que associa a cada número real x G D o número real 
BD = cotg x; isto é, f(x) = cotg x.
Temos, então:
• D = { x G l R | x * ktt, k G Z}
• Im = IR
M ATEM ÁTICA: CIÊNCIA E APLICAÇÕES
Quanto aos sinais, é fácil perceber que, quando x 
percorre os quadrantes ímpares, o ponto D situa-se à 
direita de B: BD > 0 e cotg x > 0. Já nos quadrantes 
pares, D situa-se à esquerda de B: BD < 0 e cotg x < 0. 
A função f(x) = cotg x se anula para:
x = -y- + k7t, k E Z
Com relação ao crescimento,observe que,quando x cresce dentro do 19 quadrante, 
o ponto D se aproxima de B pela direita, o mesmo acontecendo no 39 quadrante. Já 
no 29 e no 49 quadrantes, à medida que x aumenta, D afasta-se de B para a esquerda. 
Assim, em cada quadrante a função 
f(x) = cotg x é decrescente. Além dis­
so, f(x) = cotg x é função ímpar, pois 
f(—x) = -f(x), para todo x do domínio.
De posse de todas essas informa­
ções, podemos construir o gráfico da 
função y = f(x) = cotg x, o qual é cha­
mado de cotangentóide.
Função seeante
Seja D = jx x * + kjt, k E z l
2 J
Denominamos função secante a função f: D —► Dl que 
associa a cada número real x E D o número real OS = sec x; 
isto é, f(x) = sec x.
Se x = kjt.com k E Z, os pontos Pe S coincidem. Nos demais casos, o ponto Sé externo 
ao ciclo. Assim, temos:
OS =£ -1 ou OS 3= 1
RETGMANDO AS TUNÇOES rfílGONÜMÉTRlCAS
Logo, o conjunto imagem da função y = sec x 
é dado por:
lm = ]-«3, -1] U [1, +»[ ou lm = I R - ] - 1 , 1 [
Com relação ao crescimento, devemos ob­
servar que, iniciando pelo 1?quadrante,à medida 
que x aumenta, o ponto S afasta-se de O para a 
direita, deixando de existir para x = 7t/2. Assim, a 
função y = sec x é crescente no 1? quadrante. 
cos x é decrescente no 1? quadrante e que:
sec x = — - , Vx E R I x * ~ + kjt, k £ Zcos x 1 2
Quando o denominador decresce,a fração cresce,e vice-versa,desde que seja mantido 
o numerador. Assim, no:
• I o quadrante: cos x decresce => sec x é crescente
• 2? quadrante: cos x decresce => sec x é crescente
• 3? quadrante: cos x cresce => sec x é decrescente
• 4? quadrante: cos x cresce => sec x é decrescente
Além disso, os sinais de f(x) = sec x seguem os de f(x) = cos x.
Abaixo, construímos o gráfico da função y = f(x) = sec x, denominado secantóide; ele 
está associado à cossenóide.
De fato, sabemos que a função y =
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