Matemática Ciências e Aplicações V2-397-399

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Utilizando o símbolo de somatório, podemos escrever:
(a + b)" = I fnl a " - kbk k = o V̂k ̂
O resultado acima é conhecido como teorema binomial, freqüentemente atribuído a 
Newton, embora já fosse conhecido havia muito tempo na Europa e no Oriente.
Vamos desenvolver (3x + 2)4 usando o teorema binomial. 
Temos:(3x + 2)4 = 
isto é:
(3x)4 • 2o + c (3x)3 ■ 2’ + (3x)2 ■ 22 + (3x) • 23 + (3x)° ■ 24,
(3x + 2)4= 81 x4 + 216x3 + 216x2 + 96x + 16
ObservaçãoO teorema binomial continua válido se quisermos obter o desenvolvimento de (a - b)n. Basta notar que:(a - b)n= [a + (-b)]n
la + (—b)]n = an • (-b)° + | ? j a n ~1 • (-b )1 + ^ j a n * 2 • (-b)2 + . . . + | " j a° ■ C-b)rCada um dos termos acima contém potências do tipo:
(- b ? . í * s e í é p a rl-b k, se k é ímparAssim, os sinais dos termos do desenvolvimento de (a - b)nse alternam, a partir do l ‘-‘ termo, que é positivo.
Vamos desenvolver (a - 2)4 usando a observação anterior. 
Temos:
(a - 2)4 = a3 - 2 +
ou seja, (a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2- 32a + 16.
RINÜMIÜ Uf NEVktnN
Vamos calcular os seguintes somatórios:
b) X '5'
1 O
a) Desenvolvendo o somatório, temos:
í í s ] 2 * - 3' = ,5 1 2 5 • 3o +
'5'
oII | sOj 1 V■ l j
7* • 3' +i = o i= l i = 5
que é exatamente o desenvolvimento de (2 + 3)5= 55 = 3 125.
b) Desenvolvendo o somatório, temos:
X1=0
Para que essa expressão represente o desenvolvimento de um binômio de Newton,deve­
mos notar que em cada um dos termos acima também aparecem potências de 1.
Assim:
■ 2o + f4\w 1“ • 2' + + f 10 . -)'UJ ■
que é exatamente igual a (1 + 2)5= 35 = 243.
Q O O Q B O G O Q O
26 Utilizando o teorema binomial, desenvolva: a) + ' j b) (2a + b)’ c) (1 - Z x f
27 Utilizando o teorema binomial. desenvolva: a) (Vx + 2j b) ^3Ir - ^vxc) Vx
MATEMAlICA: CIÊNCIA E Af*LICAçCiFS
28 Qual o valor de y = (1 + x)' + (1 - x)"?
29 Considere o binômio (x + vx ) .a) Desenvolva-o, supondo x > 0.b) Qual o valor obtido para x = 1? E para x = 4?
30 Calcule■i (6
' (4V * V '" f i31 Calcule „?,(njll J ‘ (t )-
32 Calcule:
a) S f !°13k
t = m K '■ \ í . í 6 ) f ib .) y i , 11 — ik = ii [ k l \ 2 )
33 Calcule:
s (*> \a) 1 kk = o v k J
Bb) y ?k
34 Mostre que £k = ü = 2" ■
35 Resolva o sistema:Í2a + 3b = 9Ia -1 + 5a 'b + l O a V + I0 a 2b :1 + 5ab'! + b 1 = 1024
36 (Mackenzie-SP)
k => 1
Se '5' '5'
C x -2 )s +
J
(x — 2y + Cx-2)-1 + ...+ = (7 x-1 3 )5
Aentão calcule (x — 2)h.
HlNhMKl I1E NEWIUM