Matematicas Simplificadas-327

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5 CAPÍTULO
 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
954
Reduce a la forma normal la siguiente ecuación de la recta 3x – 4y – 6 = 0 y encuentra el valor de p y w.
Solución
Con el valor de los coefi cientes A = 3, B = – 4 y C = – 6, se obtiene el radical: 
A B2 2+ = 3 4 9 16 25 5
2 2( ) + −( ) = + = =
Debido a que C es negativo, entonces A B2 2+ es positivo, por tanto, la ecuación normal se expresa de la siguiente 
forma:
3
5
4
5
6
5
0x y− − =
De esta ecuación se determina que:
cos w =
3
5
, sen w = − 4
5
 y p = 
6
5
Luego, para obtener el ángulo se despeja w de cualquiera de las dos funciones trigonométricas:
 sen w = − 4
5
 S w = arc sen −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
4
5
 w = arc sen (– 0.8) = – 53° 79
Como cos w es positivo y sen w es negativo, w está en el cuarto cuadrante, por tanto:
w = 360° – 53° 079
 w = 306° 539
Gráfi ca:
3x – 4y – 6 = 0
p
w
X
Y
Donde: p = 
6
5
 y w = 306° 53’ y la ecuación en su forma normal es:
3
5
4
5
6
5
0x y− − =
2
 CAPÍTULO 5
 GEOMETRÍA ANALÍTICA • Línea recta
955
Expresa en su forma normal las siguientes rectas:
 1. 2x + 3y – 5 = 0 3. 5x + 3y =0 5. 12x +5y = – 13
 2. x – y + 5 = 0 4. x – 3y + 7= 0 6. 5 2 1 0x y+ − =
Determina la ecuación de la recta en su forma normal si se conoce w y p.
 7. w = 30° y p = 4 10. w = 120° y p = 1 13. w = 225° y p = 3 2
 8. w = 45° y p = 2 11. w = 180° y p = 3 14. w = 300° y p = 4 3
 9. w = 60° y p = 3 12. w = 150° y p = 5
15. Una recta es tangente a un círculo con centro en el origen y radio 2. Si el punto de tangencia es (1, − 3 ), ¿cuál es la 
ecuación de la recta en su forma normal?
16. ¿Cuál es la ecuación de la recta en forma normal, que pasa por el punto A(1, 2) y es paralela a la recta 2x + 5y – 10 = 0?
17. Expresa la ecuación de la recta 3x + ky + 7 = 0 en su forma normal, cuando pasa por el punto (– 3, 2).
18. Encuentra la medida de los ángulos formados por las rectas con ecuaciones:
x cos 330°+ y sen 330° – 1 = 0
x cos 210° + y sen 210° – 2 = 0
19. Determina la ecuación de la recta, cuya distancia al origen es 
12
5
u y pasa por el punto A(0, – 3).
 EJERCICIO 17
 Ú Verifi ca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 
Distancia de un punto a una recta
Es la longitud del segmento perpendicular a la recta trazado a partir del punto.
La distancia del punto P1(x1, y1) a la recta Ax + By + C = 0, está determinada por la fórmula:
d = 
22
11
BA
 CByAx 
+
++
Ax + By + C = 0
P1(x1, y1)
d
X
Y
d =
 5 CAPÍTULO
 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
956
Encuentra la distancia del punto A(3, 2) a la recta 6x – 2y + 11 = 0.
Solución
Se sustituyen las coordenadas del punto A y los coefi cientes de la ecuación en la fórmula:
d = 
 6 3 2 2 11
6 2
2 2
( ) − ( ) +
( ) + −( )
 = 
 18 4 11 
36 4
− +
+
 = 
 25
40
 = 
 25 
4 10( )
 = 
25
2 10
Finalmente, la distancia es: 
25
2 10
5
4
10= u.
¿Cuál es la longitud de la altura de un triángulo, cuyos vértices son los puntos A(1, – 2), B(7, 0) y C(3, 3), del vértice A 
sobre el lado BC ?
Solución
Se determina la ecuación de la recta que pasa por los vértices B y C:
y – 0 = 
3 0
3 7
−
−
(x – 7)
 y = − 3
4
(x – 7)
 4y = – 3(x – 7)
 4y = – 3x + 21
 3x + 4y – 21 = 0
A
C
X
Y
Bh
La longitud de la altura es la distancia que existe del vértice A(1, – 2) a la recta 3x + 4y – 21 = 0, entonces, al sustituir 
en la fórmula se obtiene:
h =
( )+ −( ) −
( ) + ( )
=
− −
+
=
−
=
3 1 4 2 21
3 4
3 8 21
9 16
26
5
26
2 2 55
5 2= . u 
Por consiguiente, la altura es de 5.2u.
22
1
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
6x – 2y + 11 = 0
P(3, 2)
d
Y
X