AULA 6- FLEXâO COMPOSTA

Prévia do material em texto

1
FLEXÃO COMPOSTA
Prof.Msc. Rivaildo da Silva Filho
Resistência dos Materiais II
2
INTRODUÇÃO
❖A aplicação de um esforço normal no centróide de uma peça
gera uma flexão, que chamamos de flexão pura.
❖Contudo, na engenharia, encontramos diversas situações onde as
peças estão solicitadas simultaneamente tanto pela ação de
esforços normais quanto de momentos fletores.
❖Denominamos esse tipo de solicitação de flexão composta.
❖Ocorre principalmente em: Pilares de canto, Ganchos, Sapatas
com cargas excêntricas, vigas protendidas...
3
REVISANDO A FLEXÃO ÚRA
Z
X
Y
4
FLEXÃO COMPOSTA
𝜎𝑥 = 𝜎𝑃 + 𝜎𝑀
5
FLEXÃO COMPOSTA
Tensão devido à F
Tensão devido à M
x
y
z
6
FLEXÃO COMPOSTA:PARCELA REFERENTE AO MOMENTO
A LINHA NEUTRA (L.N) É O LUGAR GEOMÉTRICO DOS PONTOS ONDE 𝜎𝑋= 0
𝑀𝑍 = 𝑃. 𝑒𝑦
7
FLEXÃO COMPOSTA:PARCELA REFERENTE AO MOMENTO
A LINHA NEUTRA (L.N) É O LUGAR GEOMÉTRICO DOS PONTOS ONDE 𝜎𝑋= 0
𝑀𝑦 = 𝑃. 𝑒𝑧
8
FLEXÃO COMPOSTA
❖Portanto, a flexão composta pode ser determinada através das
seguintes fórmulas:
𝜎𝑥 = 𝜎𝐹 + 𝜎𝑀
𝜎𝑥 = ±
𝐹
𝐴
− ±
𝑀𝑍
𝐼𝑍
. 𝑦
𝜎𝑥 = ±
𝐹
𝐴
+ ±
𝑀𝑦
𝐼𝑦
. 𝑧
9
FLEXÃO COMPOSTA
❖Podemos ter dois casos de flexão composta:
❖Flexão composta normal (reta): Ocorre quando a força aplicada está
fora do núcleo central de inércia da peça, porém está sobre um dos
eixos principais (Y ou Z).
❖Flexão composta oblíqua: Ocorre quando a força aplicada além de
estar fora do núcleo central de inércia da peça também está fora
dos eixos principais de inércia da peça.
10
FLEXÃO COMPOSTA NORMAL
❖Ocorre a partir da ação combinada entre a força normal (N) e apenas
um momento fletor (𝐌𝒛 𝐨𝐮 𝐌𝒚)
PILAR VIGA PROTENDIDA
11
FLEXÃO COMPOSTA NORMAL
❖Na prática, o estudo da flexão composta deve ser feito com todas as
cargas reduzidas ao centroide da seção transversal.
Flexão composta reta
12
CASOS DE OCORRÊNCIA: VIGAS PROTENDIDAS
13
EXEMPLO 01
Traçar o diagrama de 𝝈𝒙 para uma seção do pilar, admitindo-se e=20,0
cm. Determine também a posição da LN.
6
0
14
SOLUÇÃO
Como temos uma flexão composta, temos:
𝜎𝑥 = ±
𝑃
𝐴
− ±
𝑀𝑍
𝐼𝑍
. 𝑦
O momento 𝑀𝑍 é :
𝑀𝑍 = 𝑃. 𝑒𝑦 = 4000 𝐾𝑁. 0,20 𝑚 = 800 𝐾𝑁.𝑚
A força é 𝑃 = 4000𝐾𝑁
A área é 𝐴 = 0,60𝑚 𝑥 0,80𝑚 = 0,48𝑚²
O momento de inércia é 𝐼𝑍 =
0,60𝑚 .(0,80𝑚)3
12
= 0,026𝑚4
15
SOLUÇÃO
➢ Análise dos sinais:
𝜎𝑥 = −
𝑃
𝐴
− ±
𝑀𝑍
𝐼𝑍
. 𝑦
O momento 𝑀𝑍 é positivo :
A força é 𝑃 é 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜, 𝑙𝑜𝑔𝑜:
𝜎𝑥 = −
𝑃
𝐴
−
𝑀𝑍
𝐼𝑍
. 𝑦
16
SOLUÇÃO
➢ Agora, analisando a nossa seção transversal para construir o nosso gráfico de
tensões, temos quatro pontos:
𝜎𝑥 = −
𝑃
𝐴
−
𝑀𝑍
𝐼𝑍
. 𝑦
𝑎 𝑏
𝑐𝑑
𝑎 (−0,40,+0,30)
6
0𝑏 (+0,40,+0,30)
𝑐 (+0,40,−0,30)
𝑑 (−0,40,−0,30)
𝑀𝑧
17
SOLUÇÃO
Logo as tensões em cada ponto serão:
𝜎𝑎 = −
4000 𝐾𝑁
0,48 𝑚2
−
800 𝐾𝑁.𝑚
0,026 𝑚4
. −0,40𝑚 = +3,97 𝑀𝑃𝑎 = 𝜎𝑑
𝑎 −0,40 = 𝑑(−0,40)
𝑏 +0,40 = 𝑐(+0,40)
𝜎𝑏 = −
4000 𝐾𝑁
0,48 𝑚2
−
800 𝐾𝑁.𝑚
0,026 𝑚4
. +0,40𝑚 = −20,64 𝑀𝑃𝑎 = 𝜎𝑐
18
SOLUÇÃO
➢ Posição da Linha Neutra (LN)
Para definir por onde passa a LN basta fazer 𝜎𝑥 = 0
𝜎𝑥 = −
4000 𝐾𝑁
0,48 𝑚2
−
800 𝐾𝑁.𝑚
0,026 𝑚4
. 𝑦 = 0
−8,33. 106 − 30,77. 106𝑦 = 0
𝑦 =
8,33
30,77
= −0,27 𝑚
19
SOLUÇÃO
−20,64 𝑀𝑃𝑎
−20,64 𝑀𝑃𝑎
+3,97 𝑀𝑃𝑎
+3,97 𝑀𝑃𝑎
−0,27 𝑚
20
FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA
Quando na flexão composta, a força é aplicada fora dos eixos principais centrais
de inércia da seção (epcis), denominamos de flexão composta oblíqua.
21
FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA
Ocorre a partir da ação combinada entre a força normal (N) e dois momentos
fletores (𝐌𝒛 𝒆 𝐌𝒚).
22
FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA
𝜎𝑥=
𝑁 𝑀𝑧
𝐴 𝐼𝑧
𝑀𝑦
𝐼𝑦
.𝑦 + .𝑧
𝑁 = 𝑃
𝑀𝑧 = 𝑃. 𝑒𝑌
𝑀𝑦 = 𝑃. 𝑒𝑍
_±𝜎𝑥 = ±
𝑃
𝐴
− ±
𝑀𝑍
𝐼𝑍
. 𝑦 + ±
𝑀𝑦
𝐼𝑦
. 𝑧
23
CASOS DE OCORRÊNCIA: PILAR DE CANTO
Z
Z
24
CASOS DE OCORRÊNCIA: CARGAS EXCÊNTRICAS EM FUNDAÇÕES
25
EXEMPLO 02
Determine os valores máximos de tração e compressão no pilar e a posição da LN.
26
SOLUÇÃO
Como temos uma flexão composta, temos:
𝜎𝑥 = ±
𝑃
𝐴
− ±
𝑀𝑍
𝐼𝑍
. 𝑦 + ±
𝑀𝑦
𝐼𝑦
. 𝑧
O momento 𝑀𝑍 é :
𝑀𝑍 = 𝑃. 𝑒𝑦 = 950 𝐾𝑁. 0,06 𝑚 = 57 𝐾𝑁.𝑚
A força é 𝑃 = 950 𝐾𝑁
A área é 𝐴 = 0,20𝑚 𝑥 0,25𝑚 = 0,05𝑚²
O momento de inércia em z é 𝐼𝑍 =
0,20𝑚 .(0,25𝑚)3
12
= 0,26. 10−3𝑚4
O momento de inércia em y é 𝐼𝑦 =
0,25𝑚 .(0,20𝑚)3
12
= 0,17. 10−3𝑚4
O momento 𝑀𝑦 é :
𝑀𝑦 = 𝑃. 𝑒𝑧 = 950 𝐾𝑁. 0,05 𝑚 = 47,5 𝐾𝑁.𝑚
27
SOLUÇÃO
Análise dos sinais:
𝜎𝑥 = −
𝑃
𝐴
O momento 𝑀𝑍 é positivo :
A força é 𝑃 é 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜, 𝑙𝑜𝑔𝑜:
𝜎𝑥 = −
𝑃
𝐴
−
+𝑀𝑍
𝐼𝑍
. 𝑦
O momento 𝑀𝑦 é negativo :
𝜎𝑥 = −
𝑃
𝐴
−
+𝑀𝑍
𝐼𝑍
. 𝑦 +
(−𝑀𝑦)
𝐼𝑦
. 𝑧
𝑀𝑦
𝑀𝑧
28
SOLUÇÃO
𝑀𝑦
𝑀𝑧
Agora, analisando a nossa seção transversal para construir o nosso gráfico de tensões, temos
quatro pontos:
𝑎 𝑏
𝑐𝑑
𝑎 (−0,125,+0,100)
𝑏 (+0,125,+0,100)
𝑐 (+0,125,−0,100)
𝑑 (−0,125,−0,100)
𝜎𝑥 = −
𝑃
𝐴
−
𝑀𝑍
𝐼𝑍
. 𝑦 −
𝑀𝑦
𝐼𝑦
. 𝑧
29
SOLUÇÃO
➢ Logo as tensões em cada ponto serão:
𝑎 (−0,125,+0,100)
𝜎𝑎 = −
950 𝐾𝑁
0,05 𝑚2 −
57 𝐾𝑁.𝑚
0,26. 10−3 𝑚4 . −0,125 𝑚 +
−47,5 𝐾𝑁.𝑚
0,17. 10−3 𝑚4 . 0,100 𝑚 = −19,54 𝑀𝑃𝑎
𝑏 (+0,125,+0,100)
𝜎𝑏 = −
950 𝐾𝑁
0,05 𝑚2
−
57 𝐾𝑁.𝑚
0,26. 10−3 𝑚4
. +0,125 +
−47,5 𝐾𝑁.𝑚
0,17. 10−3 𝑚4
. 0,100 = −74,34 𝑀𝑃𝑎
𝑐(+0,125,−0,100)
𝜎𝑐 = −
950 𝐾𝑁
0,05 𝑚2
−
57 𝐾𝑁.𝑚
0,26. 10−3 𝑚4
. +0,125 −
47,5 𝐾𝑁.𝑚
0,17. 10−3 𝑚4
. −0,100 = −18,46 𝑀𝑃𝑎
𝑑(−0,125,−0,100)
𝜎𝑑 = −
950 𝐾𝑁
0,05 𝑚2
−
57 𝐾𝑁.𝑚
0,26. 10−3 𝑚4
. −0,125 −
47,5 𝐾𝑁.𝑚
0,17. 10−3 𝑚4
. −0,100 = +36,35 𝑀𝑃𝑎
30
SOLUÇÃO
➢ Portanto a máxima tensão de tração e compressão serão:
𝜎𝑐,𝑚á𝑥 = −74,34 𝑀𝑃𝑎𝜎𝑡,𝑚á𝑥 = 36,34𝑀𝑃𝑎
➢ Posição da Linha Neutra (LN):
Para encontrarmos a posição da LN basta igualar a tensão à zero.
𝜎𝑥 = −
𝑃
𝐴
−
𝑀𝑍
𝐼𝑍
. 𝑦 −
𝑀𝑦
𝐼𝑦
. 𝑧 = 0
𝜎𝑥 = −
950 𝐾𝑁
0,05 𝑚2
−
57 𝐾𝑁.𝑚
0,26. 10−3 𝑚4
. 𝑦 −
47,5 𝐾𝑁.𝑚
0,17. 10−3 𝑚4
. 𝑧 = 0
𝜎𝑥 = −19.103 − 219,23.103. 𝑦 − 279,41.103. 𝑧 = 0
31
SOLUÇÃO
Na equação obtida, basta fazer y igual a zero para encontrar onde a reta toca o eixo z, depois
igualamos z a zero, para encontrar onde a reta toca o eixo y.
−19.103 − 219,23.103. 𝑦 − 279,41.103. 𝑧 = 0
Fazendo y=0
−19.103 + 219,23.103. (0) − 279,41.103. 𝑧 = 0
𝑧 = −
19.103
279,41.103
= −0,068 𝑚 = −6,8 𝑐𝑚
➢ Posição da Linha Neutra (LN):
32
SOLUÇÃO
➢ Posição da Linha Neutra (LN):
−19.103 − 219,23.103. 𝑦 − 279,41.103. 𝑧 = 0
Fazendo z=0
−19.103 − 219,23.103. 𝑦 − 279,41.103. (0) = 0
𝑦 = −
19.103
219,23.103
= −0,087 𝑚 = − 8,7 𝑐𝑚
33
EXEMPLO 03
O bloco retangular de peso desprezível está sujeito a uma força vertical de 40 kN
aplicada em seu canto. Determine a distribuição da tensão normal que age sobre uma
seção que passa por ABCD.
34
SOLUÇÃO
Como temos uma flexão composta, temos:
O momento 𝑀𝑍 é :
𝑀𝑍 = 𝑃. 𝑒𝑦 = 40 𝐾𝑁. 0,20 𝑚 = 8 𝐾𝑁.𝑚
A força é 𝑃 = 40𝐾𝑁
A área é 𝐴 = 0,80𝑚 𝑥 0,40𝑚 = 0,32𝑚²
O momento de inércia em z é 𝐼𝑍 =
0,80𝑚 .(0,40𝑚)3
12
= 4,27. 10−3𝑚4
O momento de inércia em y é 𝐼𝑦 =
0,20𝑚 .(0,80𝑚)3
12
= 1,71. 10−2𝑚4
O momento 𝑀𝑦 é :
𝑀𝑦 = 𝑃. 𝑒𝑧 = 40 𝐾𝑁. 0,40 𝑚 = 16 𝐾𝑁.𝑚
𝑦
𝑧
0,40 𝑚
0,80 𝑚
40 𝑘𝑁
𝜎𝑥 = ±
𝑃
𝐴
− ±
𝑀𝑍
𝐼𝑍
. 𝑦 + ±
𝑀𝑦
𝐼𝑦
. 𝑧
35
SOLUÇÃO
Análise dos sinais:
𝜎𝑥 = −
𝑃
𝐴
O momento 𝑀𝑍 é positivo :
A força é 𝑃 é 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜, 𝑙𝑜𝑔𝑜:
𝜎𝑥 = −
𝑃
𝐴
−
+𝑀𝑍
𝐼𝑍
. 𝑦
O momento 𝑀𝑦 é negativo :
𝜎𝑥 = −
𝑃
𝐴
−
+𝑀𝑍
𝐼𝑍
. 𝑦 +
(−𝑀𝑦)
𝐼𝑦
. 𝑧
𝑀𝑦 𝑀𝑧
𝑦
𝑧
0,40 𝑚
0,80 𝑚
40 𝑘𝑁
36
SOLUÇÃO
Agora, analisando a nossa seção transversal para construir o nosso gráfico de tensões, temos
quatro pontos:
𝐴 (−0,2,−0,4)
𝐵 (+0,2,−0,4)
𝐶 (+0,2,+0,4)
𝐷 (−0,2,+0,4)
𝜎𝑥 = −
𝑃
𝐴
−
𝑀𝑍
𝐼𝑍
. 𝑦 −
𝑀𝑦
𝐼𝑦. 𝑧
𝑀𝑦 𝑀𝑧
𝑦
𝑧
0,40 𝑚
0,80 𝑚
40 𝑘𝑁
𝐴 𝐵
𝐶
𝐷
37
SOLUÇÃO
➢ Logo as tensões em cada ponto serão:
𝜎𝐴 = −
40 𝐾𝑁
0,32 𝑚2
−
8 𝐾𝑁.𝑚
4,27. 10−3𝑚4
. −0,2 𝑚 +
−16 𝐾𝑁.𝑚
1,71. 10−2𝑚4
. −0,4 𝑚 = +0,624 𝑀𝑃𝑎
𝐴 (−0,2,−0,4)
𝐵 (+0,2,−0,4)
𝜎𝐵 = −
40 𝐾𝑁
0,32 𝑚2
−
8 𝐾𝑁.𝑚
4,27. 10−3𝑚4
. 0,2 𝑚 +
−16 𝐾𝑁.𝑚
1,71. 10−2𝑚4
. −0,4 𝑚 = −0,125 𝑀𝑃𝑎
𝐶 (+0,2,+0,4)
𝜎𝐶 = −
40 𝐾𝑁
0,32 𝑚2
−
8 𝐾𝑁.𝑚
4,27. 10−3𝑚4
. 0,2 𝑚 +
−16 𝐾𝑁.𝑚
1,71. 10−2𝑚4
. 0,4 𝑚 = −0,874 𝑀𝑃𝑎
𝐷 (−0,2,+0,4)
𝜎𝐷 = −
40 𝐾𝑁
0,32 𝑚2
−
8 𝐾𝑁.𝑚
4,27. 10−3𝑚4
. −0,2 𝑚 +
−16 𝐾𝑁.𝑚
1,71. 10−2𝑚4
. 0,4 𝑚 = −0,125𝑀𝑃𝑎
38
SOLUÇÃO
➢ Portanto a máxima tensão de tração e compressão serão:
𝜎𝑐,𝑚á𝑥 = 0,874 𝑀𝑃𝑎𝜎𝑡,𝑚á𝑥 = 0,624 𝑀𝑃𝑎
➢ Posição da Linha Neutra (LN):
Para encontrarmos a posição da LN basta igualar a tensão à zero.
𝜎𝑥 = −
𝑃
𝐴
−
𝑀𝑍
𝐼𝑍
. 𝑦 +
𝑀𝑦
𝐼𝑦
. 𝑧 = 0
𝜎𝑥 = −
40 𝐾𝑁
0,32 𝑚2
−
8 𝐾𝑁.𝑚
4,27. 10−3𝑚4
. 𝑦 +
−16,0 𝐾𝑁.𝑚
1,71. 10−2𝑚4
. 𝑧 = 0
𝜎𝑥 = −125 − 1873,536. 𝑦 − 935,672. 𝑧 = 0
39
SOLUÇÃO
Na equação obtida, basta fazer y igual a zero para encontrar onde a reta toca o eixo z, depois
igualamos z a zero, para encontrar onde a reta toca o eixo y.
Fazendo y=0
➢ Posição da Linha Neutra (LN):
𝜎𝑥 = −125 − 1873,536. 𝑦 − 935,672. 𝑧 = 0
−125 − 1873,536. (0) − 935,672. 𝑧 = 0
𝑧 =
−125
935,672
= −0,134 𝑚
40
SOLUÇÃO
➢ Posição da Linha Neutra (LN):
Fazendo z=0
𝜎𝑥 = −125 − 1873,536. 𝑦 − 935,672. 𝑧 = 0
−125 − 1873,536. 𝑦 − 935,672. (0) = 0
𝑦 =
−125
1873,536
= −0,067 𝑚
41
SOLUÇÃO
42
OBRIGADO!
DÚVIDAS