Aula 03 - IntegraisLinhaCampoEscalar-RC

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Notas de aula de Cálculo III
Rony Cristiano
(rony.cristiano@ufg.br)
Instituto de Matemática e Estatística - IME
Universidade Federal de Goiás - UFG
Integrais de linha de um campo escalar
Goiânia, 2021
IL de Campos Escalares Aplicações Exercícios Referências
Contents
1 Integrais de Linha de Campos Escalares
2 Aplicações
3 Exercícios
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IL de Campos Escalares Aplicações Exercícios Referências
As integrais de linha (ou integrais curvilíneas) são semelhantes a uma
integral simples, exceto que, em vez de integrar em um intervalo, integramos
em uma curva. Elas foram inventadas no início do século XIX para resolver
problemas envolvendo fluxo de fluidos, forças, eletricidade e magnetismo, [2].
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IL de Campos Escalares Aplicações Exercícios Referências
Integrais de linha de campos escalares: Introdução
Seja C uma curva suave no plano (ver figura abaixo), orientada, com ponto inicial em
A e ponto final em B, parametrizada por
r(t) = (x(t),y(t)), t ∈ [a,b].
y
z
x
B
A
C
t
a b
C : r(t) = x(t)i+ y(t)j, t ∈ [a,b]
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IL de Campos Escalares Aplicações Exercícios Referências
Integrais de linha de campos escalares: Introdução
Seja C uma curva suave no plano (ver figura abaixo), orientada, com ponto inicial em
A e ponto final em B, parametrizada por
r(t) = (x(t),y(t)), t ∈ [a,b].
Para simplificar a geometria, consideramos a curva C representada por uma linha
reta, como na figura abaixo.
y
z
x
B
A
C t
a b
C : r(t) = x(t)i+ y(t)j, t ∈ [a,b]
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IL de Campos Escalares Aplicações Exercícios Referências
Integrais de linha de campos escalares: Introdução
Seja f : D⊂ R2→ R uma função escalar contínua e definida em todos os pontos da
curva C . Tomamos f avaliada apenas sobre a curva C , ie,
z = f (r(t)), t ∈ [a,b]
Assumimos f (r(t))> 0.
y
z
x
B
A
Pn
P0
z = f (x(t),y(t))
C t
a b
C : r(t) = x(t)i+ y(t)j, t ∈ [a,b]
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IL de Campos Escalares Aplicações Exercícios Referências
Integrais de linha de campos escalares: Introdução
Vamos calcular a área pintada na figura abaixo. A base é dada pela curva C e a altura
pela função escalar f avaliada em C .
y
z
x
B
A
Pn
P0
z = f (x(t),y(t))
C t
a b
C : r(t) = x(t)i+ y(t)j, t ∈ [a,b]
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Integrais de linha de campos escalares: Introdução
1) Dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos [ti−1, ti] de tamanhos iguais ∆ti;
2) Definimos xi = x(ti) e yi = y(ti). Os pontos (xi,yi) dividem C em n sub-arcos
com comprimentos ∆s1, ∆s2, ..., ∆si, ..., ∆sn.
y
z
x
B
A
Pn
P0
(xi−1,yi−1)
(xi,yi)
∆si
Pi−1 Pi
z = f (x(t),y(t))
t
t0 = a ti−1 ti tn = b
∆ti
C : r(t) = x(t)i+ y(t)j, t ∈ [a,b]
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Integrais de linha de campos escalares: Introdução
3) Tomamos um ponto (x∗i ,y
∗
i ) no i-ésimo sub-arco.
4) Agora, avaliamos f no ponto (x∗i ,y
∗
i ) e multiplicamos pelo comprimento do arco
∆si:
f (x∗i ,y
∗
i )∆si, área aproximada para o intervalo [ti−1, ti].
5) Área total aproximada:
n
∑
i=1
f (x∗i ,y
∗
i )∆si.
y
z
x
B
A
Pn
P0
∆si
(x∗i ,y
∗
i )
f (x∗i ,y
∗
i )
z = f (x(t),y(t))
t∆ti
t0 = a ti−1
t∗i
ti tn = b
C : r(t) = x(t)i+ y(t)j, t ∈ [a,b]
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IL de Campos Escalares Aplicações Exercícios Referências
Integrais de linha de campos escalares: Introdução
Em seguida,
A integral de linha de f ao longo de C é definida por
∫
C
f (x,y)ds = lim
n→∞
n
∑
i=1
f (x∗i ,y
∗
i )∆si,
se o limite existe.
y
z
x
B
A
Pn
P0
∆si
(x∗i ,y
∗
i )
f (x∗i ,y
∗
i )
z = f (x(t),y(t))
t∆ti
t0 = a ti−1
t∗i
ti tn = b
C : r(t) = x(t)i+ y(t)j, t ∈ [a,b]
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Integrais de linha de campos escalares: Introdução
Integral de linha de f ao longo de C :∫
C
f (x,y)ds = lim
n→∞
n
∑
i=1
f (x∗i ,y
∗
i )∆si,
se o limite existe.
Se f (x,y)≥ 0, então
∫
C f (x,y)ds representa a área de um dos lados da “cortina”
da Figura abaixo, cuja base é C e cuja altura acima do ponto (x,y) é f (x,y).
y
z
x
B
A
Pn
P0
z = f (x(t),y(t))
t
t0 = a tn = b
C : r(t) = x(t)i+ y(t)j, t ∈ [a,b]
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Integrais de linha de campos escalares: Definição
Dados,
C uma curva suave, orientada, com ponto inicial em A e ponto final em B;
parametrizada por r(t) = (x(t),y(t),z(t)), t ∈ [a,b].
f : D⊂ R3→ R um campo escalar contínuo e definido em todos os pontos da
curva C .
A
B
C
Definition
A Integral de linha de um campo escalar f sobre a curva C , denotada por
∫
C f ds, é
definida por
∫
C
f (x,y,z)ds =
∫ b
a
f (x(t),y(t),z(t))|r′(t)|dt.
Observação: Da função comprimento de arco s = s(t) obtemos ds = |r′(t)|dt.
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Integrais de linha de campos escalares
Propriedades: Assumimos que C é uma curva suave ou suave por partes. Além disso, assumimos que as
funções escalares f e g são contínuas em cada ponto de C.
(i)
∫
C
kf (x,y,z)ds = k
∫
C
f (x,y,z)ds, onde k é uma constante.
(ii)
∫
C
[f (x,y,z)+g(x,y,z)]ds =
∫
C
f (x,y,z)ds+
∫
C
g(x,y,z)ds.
(iii) Se C = C1 ∪C2 (como na Fig. abaixo), então∫
C
f (x,y,z)ds =
∫
C1
f (x,y,z)ds+
∫
C2
f (x,y,z)ds.
P
A
BC2C1
(iv)
∫
C
f (x,y,z)ds =
∫
−C
f (x,y,z)ds, onde −C é a curva C orientada no sentido oposto.
(v) A integral não depende da parametrização da curva, desde que a curva seja percorrida uma única
vez à medida que t aumenta de a para b.
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Integrais de linha de campos escalares
Example (1)
Calcular a integral
∫
C
(x2 + y2− z)ds, onde C é a hélice circular dada por
r(t) = (cos(t),sen(t), t),
do ponto P(1,0,0) ao ponto Q(1,0,2π), [1].
Sobre a curva C:
r(t) = (cos(t),sen(t), t), t ∈ [0,2π]
r′(t) = (−sen(t),cos(t),1)
|r′(t)|=
√
2{
t = 0 ⇒ r(0) = (1,0,0) = P
t = 2π ⇒ r(2π) = (1,0,2π) = Q
−1
−0.5
0
0.5
1
−1
−0.5
0
0.5
1
0
1
2
3
4
5
6
7
P
xy
z
Q C
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Integrais de linha de campos escalares
Example (1)
Calcular a integral
∫
C
(x2 + y2− z)ds, onde C é a hélice circular dada por
r(t) = (cos(t),sen(t), t),
do ponto P(1,0,0) ao ponto Q(1,0,2π), [1].
Sobre a curva C:
r(t) = (cos(t),sen(t), t), t ∈ [0,2π]
r′(t) = (−sen(t),cos(t),1)
|r′(t)|=
√
2{
t = 0 ⇒ r(0) = (1,0,0) = P
t = 2π ⇒ r(2π) = (1,0,2π) = Q
−1
−0.5
0
0.5
1
−1
−0.5
0
0.5
1
0
1
2
3
4
5
6
7
P
xy
z
Q C
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Integrais de linha de campos escalares
Sobre a função escalar f :
f (x,y,z) = x2 + y2− z ⇒ f (r(t)) = cos2(t)+ sen2(t)− t = 1− t.
Resolvendo a integral
∫
C
f (x,y,z)ds =
∫ b
a
f (x(t),y(t),z(t))|r′(t)|dt:
∫
C
(x2 + y2− z)ds =
∫ 2π
0
(x(t)2 + y(t)2− z(t))|r′(t)|dt
=
∫ 2π
0
(1− t)
√
2dt
=
√
2
(
t− t2
2
)∣∣∣2π
0
= 2
√
2π(1−π).
�
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IL de Campos Escalares Aplicações Exercícios Referências
Integrais de linha de campos escalares
Sobre a função escalar f :
f (x,y,z) = x2 + y2− z ⇒ f (r(t)) = cos2(t)+ sen2(t)− t = 1− t.
Resolvendo a integral
∫
C
f (x,y,z)ds =
∫ b
a
f (x(t),y(t),z(t))|r′(t)|dt:
∫
C
(x2 + y2− z)ds =
∫ 2π
0
(x(t)2 + y(t)2− z(t))|r′(t)|dt
=
∫ 2π
0
(1− t)
√
2dt
=
√
2
(
t− t2
2
)∣∣∣2π
0
= 2
√
2π(1−π).
�
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Integrais de linha de campos escalares
Quando C é parametrizada pelo comprimento de arco s.
Função comprimento de arco:
s(t) =
∫ t
0
|r′(τ)|dτ =⇒ ds = |r′(t)|dt, e
{
t = a ⇒ s(a) = c
t = b ⇒ s(b) = d
Reparemetrização pelo comprimento de arco: da equação s = s(t)
obtemos t = t(s) tal que r(t(s)) = h(s) e
h(s) = (x(s),y(s),z(s)), para s ∈ [c,d],
h(c) = A e h(d) = B.
Neste caso, a integral de linha é dada por∫
C
f (x,y,z)ds =
∫ d
c
f (x(s),y(s),z(s))ds.
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Integrais de linha de campos escalares
Example (2)
Considere o problema do Exemplo (1). Acurva C tem a equação
r(t) = (cos(t),sen(t), t), t ∈ [0,2π]. E a função comprimento de arco é
s(t) =
∫ t
0
|r′(τ)|dτ =
∫ t
0
√
2dτ ⇒ s(t) =
√
2t.
Reparametrização pelo comprimento de arco: fazendo a mudança de
parâmetro t = 1√
2
s, obtemos
h(s) =
(
cos( 1√
2
s),sen( 1√
2
s),
1√
2
s
)
, s ∈ [0,2
√
2π].
Logo,
∫
C
(x2 + y2− z)ds =
∫ 2
√
2π
0
(cos2( 1√
2
s)+ sen2( 1√
2
s)− 1√
2
s)ds
=
∫ 2
√
2π
0
(1− 1√
2
s)ds = (s− 1
2
√
2
s2)
∣∣∣2√2π
0
= 2
√
2π(1−π).
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Integrais de linha de campos escalares
Aplicações: Considere um fio delgado com densidade f (x,y,z) no ponto (x,y,z),
tendo a forma de uma curva C.
Centro de Massa: A massa M desse fio é dada por M =
∫
C
f (x,y,z)ds. O centro
de massa tem coordenadas (xc,yc,zc) tal que
xc =
1
M
∫
C
xf (x,y,z)ds, (1)
yc =
1
M
∫
C
yf (x,y,z)ds, (2)
zc =
1
M
∫
C
zf (x,y,z)ds. (3)
Momento de Inércia: O momento de inércia do fio em relação a um eixo L é
dado por
IL =
∫
C
δ
2(x,y,z)f (x,y,z)ds, (4)
onde δ(x,y,z) é a distância de um ponto P de C ao eixo L.
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Integrais de linha de campos escalares
Example (3)
Dado um arame semicircular uniforme de raio 4 cm, como na Fig abaixo, [1].
x
y
P
0 4−4
r =
4 cm
C
L
a) Mostrar que o centro de massa está situado no eixo de simetria a uma distância
de 8
π
cm do centro.
b) Mostrar que o momento de inércia em relação ao diâmetro que passa pelos
extremos do arame é 8M sendo M a massa do arame.
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Resposta da a): A curva C tem a equação r(t) = (4cos(t),4sen(t)), t ∈ [0,π]. Logo,
r′(t) = (−4sen(t),4cos(t)) e, portanto,
|r′(t)|=
√
(−4sen(t))2 +(4cos(t))2 = 4.
Como o arame é uniforme, então f (x,y) = k, k constante. Calculando M:
M =
∫
C
f (x,y)ds =
∫
π
0
f (x(t),y(t))|r′(t)|dt = 4k
∫
π
0
dt = 4kπ.
Em seguida, calculamos as coordenadas do ponto de centro de massa (xc,yc):
xc =
1
M
∫
C
xf (x,y)ds =
1
4kπ
∫
π
0
x(t)f (x(t),y(t))|r′(t)|dt =
=
1
4kπ
∫
π
0
4cos(t) · k ·4 ·dt =
4
π
∫
π
0
cos(t)dt = 0,
yc =
1
M
∫
C
yf (x,y)ds =
1
4kπ
∫
π
0
y(t)f (x(t),y(t))|r′(t)|dt =
=
1
4kπ
∫
π
0
4sen(t) · k ·4 ·dt =
4
π
∫
π
0
sen(t)dt =
8
π
.
Portanto, (xc,yc) = (0,8/π), que está situado no eixo de simetria (x = 0) a uma
distância de 8
π
cm do centro.
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Resposta da a): A curva C tem a equação r(t) = (4cos(t),4sen(t)), t ∈ [0,π]. Logo,
r′(t) = (−4sen(t),4cos(t)) e, portanto,
|r′(t)|=
√
(−4sen(t))2 +(4cos(t))2 = 4.
Como o arame é uniforme, então f (x,y) = k, k constante. Calculando M:
M =
∫
C
f (x,y)ds =
∫
π
0
f (x(t),y(t))|r′(t)|dt = 4k
∫
π
0
dt = 4kπ.
Em seguida, calculamos as coordenadas do ponto de centro de massa (xc,yc):
xc =
1
M
∫
C
xf (x,y)ds =
1
4kπ
∫
π
0
x(t)f (x(t),y(t))|r′(t)|dt =
=
1
4kπ
∫
π
0
4cos(t) · k ·4 ·dt =
4
π
∫
π
0
cos(t)dt = 0,
yc =
1
M
∫
C
yf (x,y)ds =
1
4kπ
∫
π
0
y(t)f (x(t),y(t))|r′(t)|dt =
=
1
4kπ
∫
π
0
4sen(t) · k ·4 ·dt =
4
π
∫
π
0
sen(t)dt =
8
π
.
Portanto, (xc,yc) = (0,8/π), que está situado no eixo de simetria (x = 0) a uma
distância de 8
π
cm do centro.
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Resposta da b): A distância de um ponto P sobre o semicírculo C até o eixo x, é
dada por δ(x,y) = y.
x
y
δ
P(x,y)
0 4−4
r =
4 cm
C
L
Assim, temos
IL =
∫
C
δ
2(x,y)f (x,y)ds =
∫
π
0
δ
2(x(t),y(t))f (x(t),y(t))|r′(t)|dt =
=
∫
π
0
y(t)2 · k ·4 ·dt = 64k
∫
π
0
sen(t)2dt = 64k
∫
π
0
1− cos(2t)
2
dt = 32kπ.
Como M = 4kπ, então k = M
4π
. Substituindo na equação acima, obtemos IL = 8M.
�
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Resposta da b): A distância de um ponto P sobre o semicírculo C até o eixo x, é
dada por δ(x,y) = y.
x
y
δ
P(x,y)
0 4−4
r =
4 cm
C
L
Assim, temos
IL =
∫
C
δ
2(x,y)f (x,y)ds =
∫
π
0
δ
2(x(t),y(t))f (x(t),y(t))|r′(t)|dt =
=
∫
π
0
y(t)2 · k ·4 ·dt = 64k
∫
π
0
sen(t)2dt = 64k
∫
π
0
1− cos(2t)
2
dt = 32kπ.
Como M = 4kπ, então k = M
4π
. Substituindo na equação acima, obtemos IL = 8M.
�
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Exercícios
1) Seção 16.2 em [3]: 1, 3, 5, 9, 11, 33
2) Seção 5.2 em [1]: 1, 3, 5, 6, 7, 10, 12, 17, 20, 22
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Referências
[1] M. B. Gonçalves and D. M. Flemming. Cálculo C - Funções vetoriais,
integrais curvilíneas, integrais de superfície. Makron books, Brasil, 3rd
edition, 2000.
[2] J. STEWART. Cálculo: Volume II. Thomson Learning, Brasil, 5rd
edition, 2006.
[3] J. STEWART. Calculus Early Transcendentals. Thomson Learning,
USA, 6rd edition, 2008.
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	Aplicações
	Exercícios
	Referências