Cap 30 - Indução e Indutância

Prévia do material em texto

Capítulo 30: 
Indução e Indutância 
 Fatos Experimentais; 
 A Lei de Faraday; 
 A Lei de Lenz; 
 Indução e Tranferência de Energia; 
 Campos Elétricos Induzidos; 
 Indutores e Indutância; 
 Auto-indução; 
 Circuito RL; 
 Energia Armazenada no Campo Magnético; 
 Indução Mutua. 
Índice 
Cap. 30: Indução e Indutância 
Fatos Experimentais 
Cap. 30: Indução e Indutância 
 Uma corrente elétrica é observada apenas se existe 
um movimento relativo entre a espira e o imã; a corrente 
desaparece no momento que o movimento deixa de 
existir. 
 Quanto mais rápido for o movimento maior será a 
corrente. 
 Quando aproximamos da expira o pólo norte do imã, a 
corrente terá sentido horário, e quando afastamos o imã 
da espira a corrente terá sentido anti-horário. Sendo 
assim, a corrente na espira sempre produzirá um campo 
oposto ao campo oposto a variação de fluxo magnético! 
Um imã é aproximado a uma espira conectada a 
um amperímetro 
A Lei de Indução de Faraday 
Cap. 30: Indução e Indutância 
Fluxo magnético através da área A 
  dABAdBB cos

Lei de Faraday 
O sentido da corrente induzida em uma espira gera um campo que é oposto 
ao sentido da variação do campo magnético aplicado. 
O módulo da força eletromotriz E induzida em uma espira condutora é igual à 
taxa de variação com o tempo do fluxo magnético ФB que atravessa a espira. 
Unidade de medida no SI: 
1 Weber = 1 Wb = 1 T/m2 
BAB 
Caso de espira plana, campo 
uniforme e perpendicular ao plano da 
espira 
dt
d BE
A Lei de Indução de Faraday 
Cap. 30: Indução e Indutância 
Lei de Faraday 
dt
d
N B

E
 Para uma bobina, onde as espiras estão muito próximas, ou seja um 
enrolamento compacto onde fluxo magnético que atravessa todas as N espiras, a 
força eletromotriz total induzida é dada por: 
Formas de mudar o fluxo magnético em uma bobina: 
 mudar o módulo do campo magnético B. 
 Mudar a área total da bobina ou a parte da área atravessada pelo campo 
magnético, mudando as dimensões da bobina. 
 Mudar o ângulo entre a direção do campo magnético e o plano da bobina 
(girando a bobina por exemplo). 
  dABAdBB cos

A Lei de Indução de Faraday 
Cap. 30: Indução e Indutância 
Exemplo 30-1) pg. 267 
O solenóide longo S representado em corte na figura 30-3 possui 220 espiras/cm, tem 
um diâmetro D = 3,2 cm e conduz uma corrente i = 1,5 A. No centro do solenóide é 
colocada uma bobina C, de enrolamento compacto, com 130 espiras e diâmetro d = 2,1 
cm. A corrente no solenóide é reduzida a uma taxa constante em 25 ms. Qual o valor 
absoluto da força eletromotriz na bobina C, enquanto a corrente no solenóide está 
variando? 
 Calcular o campo dentro do solenóide: 
5,1)100*220(104 70
  niB
 Calcular o fluxo magnético na bobina: 
Wb
d
BBAB
5
2
3
2
10436,1
4
021,0
1047,41
4
 







mTB 47,41
mV
tt
N
t
N
dt
d
N
if
iBfBBB 75
01025
10436,10
130
3
5














E
A Lei de Lenz 
Cap. 30: Indução e Indutância 
A corrente induzida em uma espira tem um sentido tal que o campo 
magnético produzido pela corrente se opõe ao campo magnético que induz a 
corrente. 
 A aproximação do pólo norte do imã aumenta o 
fluxo magnético que atravessa a espira, portanto 
induz uma corrente na espira. A corrente induzida na 
espira tem sentido anti-horário, produzindo um 
campo que se opõe ao campo do imã. 
 Esse princípio também pode ser usado para 
explicar o funcionamento dos captadores das 
guitarras. 
A Lei de Lenz 
Cap. 30: Indução e Indutância 
Exemplo 30-2) pg. 269. 
A figura abaixo mostra uma bobina formada por uma semicircunferência de raio R e três 
fios retilíneos. A semicircunferência esta em uma região onde existe um campo de 
módulo dados por B = 4t2 + 2t + 3. Uma fonte com força eletromotriz E = 2 V é ligada à 
espira que possui resistência de 2 . a) Determinar o módulo e o sentido da força 
eletromotriz induzida na espira no instante t = 10 s. b) Qual é a corrente na bobina no 
instante t = 10 s? 
 b) A corrente na bobina: 
A
RR
i
fonindtot 58,1


EEE
 a) Da Lei de Faraday: 
)28(
2
2


 t
R
dt
dB
A
dt
d B E
horárioV152,5E
A Lei de Lenz 
Cap. 30: Indução e Indutância 
Exemplo 30-3) pg. 270. 
A figura abaixo mostra uma espira retangular imersa em um campo magnético variável 
de módulo B = 4t2x2, dirigido para dentro do papel. A espira tem largura W = 3 m e altura 
H = 2 m. Determinar o módulo e a direção da força eletromotriz induzida na epira no 
instante t = 0,1 s. 
 A força eletromotriz: 
Vt
dt
d B 4,14)72(2 

E
 O fluxo na espira: 
ww
B
Hxt
HdxxtBdA
0
32
0
22
3
4
4  
2
32
72
3
4
t
Hwt
B 
Indução e Transferência de Energia 
Cap. 30: Indução e Indutância 
 Para puxar a espira da figura ao lado é necessário 
aplicar uma força F constante. A potência pode ser 
determinada da seguinte forma: 
Fv
dt
Fdx
dt
dW
P 
 Enquanto a espira está sendo puxada, o fluxo 
magnético diminui, e de acordo com a Lei de Faraday 
uma corrente será induzida na espira. O fluxo que 
atravessa a espira é: 
BLxB 
 A corrente induzida na espira pode ser obtida por 
meio da força eletromotriz. 
R
BLv
Rdt
BLdx
iiR E
A força será: 
iLBiLBsenF  901
 A Potência: 
iLBvFvP 
 
R
BLv
P
2

Potência dissipada na forma 
de energia térmica pelo 
movimento de uma espira. 
Correntes Parasitas 
Cap. 30: Indução e Indutância 
 Quando uma placa metálica é puxada para fora de uma região onde existe campo 
magnético, correntes parasitas são induzidas na placa. As correntes parasitas são 
induzidas todas as vezes que a placa entra ou sai da região de campo magnético. Toda 
a energia associada às correntes parasitas é dissipada na forma de calor. 
Campos Elétricos Induzidos 
Cap. 30: Indução e Indutância 
Um campo magnético variável produz um campo elétrico. 
 Imaginamos que nas figuras abaixo o campo magnético esteja aumentando a uma 
taxa constante. 
A Indução de Campos Elétricos 
Cap. 30: Indução e Indutância 
 Considerando uma carga que executa um movimento circular. O trabalho pode ser 
escrito em termos da força eletromotriz como descrito abaixo: 
rEqsdFqW 200  

E
rE 2E
 Para os casos mais gerais: 
  sdE

E
 A Lei de Fadaray pode ser reescrita como: 
dt
d
sdE B



A Indução de Campos Elétricos 
Cap. 30: Indução e Indutância 
O potencial elétrico tem significado apenas para campos elétricos produzidos 
por cargas estáticas; o conceito não se aplica aos campos elétricos produzidos 
por indução. 
 Na presença de um fluxo magnético variável, a integral de não é zero.   sdE

 Imaginando que o campo elétrico seja constante nessa situação, levaria a conclusão 
que o potencial não poderia ser constante, seria dependente da posição, pois: 
VE 

 Como explicar isso sabendo que dentro de um condutor o potencial é constante? A 
única conclusão possível é que o conceito de potencial elétrico não se aplica quando o 
campo elétrico é obtido por meio de indução. 
Cap. 30: Indução e Indutância 
A Indução de Campos Elétricos 
Exemplo 30-4) pg. 277. 
Na figura abaixo R = 8,5 cm e dB/dt = 0,13 T/s. a) Deduza a equação para o campo 
elétrico induzido e calcule o valor para r = 5,2 cm. b) Escreva a expressão para o campo e 
obtenha quando r = 12,5 cm, ou seja, fora da região de campo magnético. 
 Obtendo o campo elétrico na região de campo 
magnético: 
dt
d
sdE B



dt
dB
rrE )()2( 2  mV
dt
dB
rE /104,3)2/( 3
 Obtendo o campo elétrico fora da região de campo 
magnético: 
dt
d
sdE B



dt
dB
RrE )()2( 2 
mV
dt
dB
r
R
E /108,3
2
3
2

Indutância e Indutores 
Cap. 30: Indução e Indutância 
 A indutância de um solenóide de N espiras, percorrido por uma corrente i que gera 
um fluxo magnético ФB no seu interior é: 
i
N
L B


Definição de Indutância. A sua unidade de medida no SI é o Henry: 
1 Henry = 1 H = 1 Tm2/A 
 Curiosidade: Na época de Faraday, não haviam fios isolados comerciais, e sendo 
assim, ele isolava os fios com pedaços de pano para a construção dos seus indutores. 
Cap. 30: Indução e Indutância 
Indutância e Indutores 
 Considerando um longo solenóide de N espiras (n = N/l), seção reta A, e 
comprimento l, temos: 
)(BAnlN B 
 O campo magnético de um solenóide é: 
niB 0
 Da definição de indutância temos: 
i
niAnl
i
nlBA
i
N
L B 0




An
l
L 2
0
Indutância de um solenóide. 
Auto-indução 
Cap. 30: Indução e Indutância 
Uma força eletromotriz induzida EL aparece em todo indutor cuja corrente 
está variando. 
 Quando fazemos variar a corrente em um indutor, 
mudando os contados de um resistor variável, uma 
força eletromotriz auto-induzida EL aparece no 
indutor enquanto a corrente está variando. 
BNLi 
 Analisando as equações temos: 
dt
Nd B
L
)( 
E
dt
di
LL E
Força Eletromotriz Auto-induzida 
Circuitos RL 
Cap. 30: Indução e Indutância 
Inicialmente, um indutor se opõe a qualquer variação da corrente que o 
atravessa. Após um tempo suficientemente longo, o indutor se comporta 
como um fio comum. 
 Depois de um logo tempo ligado, passamos a 
chave para o contato b, desligando a fonte. 
0
dt
di
LiR
dt
L
R
id
i 

1
1C
t
L
R
eei


R
i
E
)0(
t
L
R
e
R
i


E
Diminuindo a corrente 
 Considerando o acionamento da 
fonte: 
E
dt
di
LiR
2Ce
R
i
t
L
R

E
R
C
E
2









 t
L
R
e
R
i 1
E
Aumentando a corrente R
L
L 
Constante de Tempo 
Cap. 30: Indução e Indutância 
Circuitos RL 
t
L
R
e
R
i


E









 t
L
R
e
R
i 1
E
Ligando 
Desligando 
 Supondo que a fonte seja ligada. Depois de um 
tempo t = L, a corrente será 63% da corrente 
máxima do circuito, ou seja a corrente em t = ! 
 Supondo que depois de um longo período de 
tempo a fonte seja desligada. Depois de um tempo 
t = L, a corrente será 63% da corrente máxima do 
circuito, ou seja a corrente em t = 0! 
R
L
L 
Constante de Tempo 
Circuito RL 
Cap. 30: Indução e Indutância 
Exemplo 30-5) pg. 283. 
A figura ao lado mostra um circuito com três resistores 
iguais de R = 9 , dois indutores iguais de L = 2 mH e 
uma fonte ideal de 18 V. a) Qual a corrente i que 
atravessa a chave no instante inicial? b) Depois de um 
tempo muito longo qual é a corrente i que atravessa a 
chave? 
 Em t = 0, i = 0 nos indutores. 0 iRE
A
R
i 2
E
 Para t = , os indutores se comportarão como condutores. 
0 eqiRE
321
1111
RRRReq
  3eqR
A
R
i
eq
6
E
Circuito RL 
Cap. 30: Indução e Indutância 
Exemplo 30-6) pg. 284. 
Um solenóide tem uma indutância de 53 mH e uma resistência de 0,37 . Se o 
solenóide é ligado a uma bateria, quanto tempo leva para que a corrente atinja metade 
do valor final? 









 t
L
R
e
RR
1
2
EE
)2/1ln(
R
L
t 
st 1,0
Energia Magnética Armazenada em um Indutor 
Cap. 30: Indução e Indutância 
 Da lei das malhas temos: 
0
dt
di
LiRE
 Cada um dos termos representa uma potência 
(W = J/s). Para o indutor temos: 
dt
di
LiRii  2E
dt
di
Li
dt
dU
P B  LididUB 
 A energia potencial magnética associada ao indutor é: 
2
2Li
UB 
C
q
UE
2
2

 Em analogia com o 
campo elétrico 
Cap. 30: Indução e Indutância 
Energia Magnética Armazenada em um Indutor 
Exemplo 30-7) pg. 285. 
Uma bobina tem uma indutância de 53 mH e uma resistência de 0,35 . a) Se uma 
força eletromotriz de 12 V é aplicada à bobina, qual é a energia armazenada no campo 
magnético quando a corrente atinge seu valor final? b) Após quantas constantes de 
tempo a metade da energia magnética máxima estará armazenada na bobina? 
 Determinar a corrente máxima, e depois a indutância. 
A
R
i 3,3435,0/12 
E
J
Li
UB 31
2
)3,34(053,0
2
22

 Determinar a corrente quando a energia for metade do seu valor máximo. 
22
1
2
22

LiLi
2

i
i
R
e
R
t
L
R
EE
2
1
1 









2
1
1

L
t
e

Lt 23,1
Densidade de Energia Magnética 
Cap. 30: Indução e Indutância 
 Por definição, a Densidade de Energia é: 
V
U
u BB 
 Para uma bobina: 
Al
Li
Al
U
u BB
2
2

2
2
1
LiUB 
An
l
L 2
0
22
22
0
22
0 in
A
Ain
uB

  Para uma bobina: niB 0
0
2
2
B
uB 
 Em analogia com o 
campo elétrico 
2
2
0EuE


Densidade de energia 
Cap. 30: Indução e Indutância 
Exemplo 30-8) pg. 287. 
Um fio coaxial longo é formado por dois fios concêntricos de paredes finas e raios a e b. 
O cilindro interno produz uma corrente i que retorna pelo cilindro externo. Calcule a 
energia armazenada no campo magnético em um segmento l de cabo. 
isdB 0

irB 02  
r
i
B


2
0
22
2
0
2
0
00
2
822
1
2 r
i
r
iB
uB












dV
dU
u BB 
 dVuU BB

b
a
B rldr
r
i
U )2(
8 22
2
0 



b
a
B dr
r
i
l
U 1
4
2
0

 )/ln(
4
2
0 ab
i
l
UB



A Indutância Mutua 
Cap. 30: Indução e Indutância 
 O campo magnético B1 
produzido pela corrente i1 na 
bobina 1 atravessa as espiras da 
bobina 2. Quando se faz variar a 
corrente i1, uma força eletromotriz 
é induzida na bobina 2 e o 
amperímetro revela a passagem 
de uma corrente nessa bobina. O 
mesmo ocorre quando a bobina é 
invertida. 
 A indutância que a bobina 2 
sente devido a presença da bobina 
1: 
1
21
221
i
NM


dt
d
N
dt
di
M 212
1
21


Analisando a força eletromotriz: 
dt
d
N
dt
di
M 212
1
212


dt
d
N
dt
di
M 121
2
121


MMM  1221
A Indutância Mutua 
Cap. 30: Indução e Indutância 
 Analisando a Indutância Mutua: 
Exemplo 30-9) pg. 289. 
A figura abaixo mostra duas bobinas circulares, compactas, coplanares, coaxiais, a 
menor de raio R2 e N2 espiras e a maior com raio R1 e N1 espiras. Escreva a expressão 
para a indutância Mutua M, com R1 >> R2. 
1
21
2
1
21
22112
i
AB
N
i
NMMM 


222
1
2
110
1
)(2 zR
Ri
B



 O campo magnético de uma espira: 
1
10
11
2R
i
NB


 No centro da bobina 
com N1 espiras z = 0: 
 
1
2
2
1
10
1
2
2
i
R
R
i
N
NM









1
2
2210
2R
RNN
M


Lista de Exercícios: 
 
5, 11, 25, 31, 35, 37, 43, 47, 57, 63, 71 
Cap. 30: Indução e Indutância 
Referências 
 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J.; Fundamentos de Física: 
Eletromagnetismo. 8a ed. Rio de janeiro: LTC, 2009. v3. 
 
TIPLER, P. A.; Física para Cientistas e Engenheiros. 4a ed, LTC, 2000. v2. 
 
SEARS, F.; ZEMANSKY, M.W.; YOUNG, H.; FREEDMAN, R.A.; Física: 
Eletromagnetismo. 12a ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2008. v3.