Metodo_de_Gauss_Jordan

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Gramas de A/kg 
Gramas de B/kg 
Preço/kg 
1. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN 
�
O método que vamos usar para resolver sistemas lineares consiste na aplicação de operações elementares às linhas da 
matriz aumentada do sistema até que obtenhamos uma matriz numa forma em que o sistema associado a esta matriz 
seja de fácil resolução. 
 
Vamos procurar obter uma matriz numa forma em que todas as linhas não nulas possuam como primeiro ele-
mento não nulo (chamado pivô) o número 1. Além disso, se uma coluna contém um pivô, então todos os seus outros 
elementos terão que ser iguais à zero. Vamos ver no exemplo seguinte como conseguimos isso. Neste exemplo veremos 
como a partir do faturamento e do gasto com insumos podemos determinar quanto foi produzido de cada produto ma-
nufaturado em uma indústria. 
 
 
Exemplo 1: Uma indústria produz três produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B. Para a manufatura de 
cada kg de X, são utilizados 1 grama do insumo A e 2 gramas do insumo B; para cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 1 
grama de insumo B e, para cada kg de Z, 1 grama de A e 4 gramas de B. O preço de venda do kg de cada um dos produtos 
X, Y e Z é R$ 2,00; R$ 3,00 e R$ 5,00, respectivamente. Com a venda de toda a produção de X, Y e Z manufaturada com 1 
kg de a e 2 kg de B, essa indústria arrecadou R$ 2500,00. Vamos determinar quantos kg de cada um dos produtos X, Y e 
Z foram vendidos. 
 
Solução: Usando matrizes, o esquema de produção pode ser descrito da seguinte forma: 
 X Y Z 
 �1 1 12 4 12 3 5� = A e X = �	
�� 
 
Fazendo 
 · �, obtemos o seguinte sistema: � 	 � 
 � � � 10002	 � 
 � 4� � 20002	 � 3
 � 5� � 2500�, cuja matriz é: � 1 2 2 
113
 1 4 5
 1000 2000 2500�. 
 
1ª eliminação: Vamos procurar para pivô da 1ª linha um elemento não nulo da primeira coluna não nula (se for o caso, 
podemos usar a troca de linhas para “trazê-lo” para a primeira linha). Como o primeiro elemento da primeira coluna é 
igual a 1 ele será o primeiro pivô. Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 1ª coluna, que é a coluna do pivô, 
para isto, adicionamos à 2ª linha, (-2) vezes a primeira linha e adicionamos à 3ª linha, também (-2) vezes a 1ª linha. 
Neste exemplo, ficou um tanto quanto óbvio que deveríamos multiplicar (-2), contudo, para em casos menos óbvios, 
basta utilizar um método que permite descobrir o multiplicador das linhas. Esse método consiste em dividir o elemento 
a ser zerado pelo pivô. 
 
 � �1 0 0 
1�11
 1 2 3
 10000 500 � 
 
2ª eliminação: Olhamos para a sub-matriz obtida eliminando-se a 1ª linha. Escolhemos para pivô um elemento dife-
rente de zero na 1ª coluna não nula desta sub-matriz. Vamos escolher o elemento de posição a2,2. Como temos que fazer 
o pivô igual a um, vamos multiplicar a 2ª linha por (-1). 
 
 � �1 0 0 
1 1 1
 1 �2 3
 10000 500 � 
 
Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 2ª coluna, que é a coluna do pivô. Para isto, somamos à 1ª linha (-1) 
vezes a 2ª linha e somamos à 3ª linha, também (-1) vezes a 2ª linha. 
 
 � �1 0 0 
0 1 0 
 3 �2 5 
 10000 500 � 
 
 3ª eliminação: olhamos para a sub-matriz obtida eliminando-se a 1ª e a 2ª linha. Escolhemos para pivô um elemen-
to diferente de zero na 1ª coluna não nula desta sub-matriz. Temos de escolher o elemento de posição a3,3 e como temos 
de fazer o pivô igual a 1, vamos multiplicar a 3ª linha por 1/5. 
 
 
(-2) x 1ª linha + 2ª linha � 2ª linha 
(-2) x 1ª linha + 3ª linha � 3ª linha 
�
(-1) x 2ª linha � 2ª linha 
�
(-1) x 2ª linha + 1ª linha � 1ª linha 
(-1) x 2ª linha + 3ª linha � 3ª linha 
�
Multiplicador da linha 2 � 
��,����ô 
 
Multiplicador da linha 3 � 
��,����ô 
 
 � �1 0 0 
0 1 0
 3 �2 1
 10000 100 � 
 
Agora precisamos “zerar” os outros elementos da 3ª coluna, que é a coluna do pivô, para isto, somamos à 1ª linha (-3) 
vezes a 3ª e somamos a 2ª (2) vezes a 2. 
 
 � �1 0 0 
010
 0 0 1
 700 200 100 � 
 
Portanto, o sistema dado é equivalente à �	 � 700
 � 200� � 100
� . 
 
 
 
A última matriz que obtivemos está na forma que chamamos escalonada reduzida e satisfaz as seguintes condições: 
a)� Todas as linhas nulas (formadas inteiramente por zeros) ocorrem abaixo das linhas não nulas; 
b)� O pivô (1° elemento não nulo de uma linha) de cada linha não nula é igual a 1; 
c)� O pivô de cada linha não nula ocorre à direita do pivô da linha anterior; 
d)� Se uma coluna contém um pivô, então todos os seus outros elementos são iguais a zero. 
 
 
 
Exemplo 2: No sistema �	 � 3
 � 13� � 9 
 � 5� � 2�2
 � 10� � �8� , encontrar o valor de x, y e z. 
 
Solução: Montando a matriz, temos: � 1 0 0 
 3 1�2
 13 15 �10
 9 2 �8�. 
 
1ª eliminação: como o pivô da linha é igual a 1 e os outros elementos da 1ª coluna são iguais a zero, não há nada o que 
fazer na 1ª eliminação. 
 �1 0 0 
 3 1�2
 13 15 �10
 9 2 �8� 
 
2ª eliminação: olhamos para a sub-matriz obtida eliminando-se a 1 linha. Escolhemos para pivô um elemento não nulo 
da 1 coluna não nula da submatriz. Escolhemos o elemento de posição a2,2. Como ele é igual a 1, precisamos agora 
“zerar” os outros elementos da coluna do pivô. Para isto somamos à 1ª linha (-3) vezes a 2ª e somamos à 3ª linha (2) 
vezes a 2ª. 
 
 
 � �1 0 0 
010
 �2 5 0
 3 2 �4� 
 
Portanto o sistema dado é equivalente ao sistema: �	 � 2
 � 9 
 � 5� � 2 0 � �4
� que não possui solução. 
 
Em geral, um sistema linear não tem solução se, e somente se, a última linha não nula da forma escalonada reduzida da 
sua matriz aumentada for da forma [0 ... 0 | b’m], com b’m ≠ 0. 
 
 
 
 
 
 
(-1/5) x 3ª linha � 3ª linha 
�
(-3) x 3ª linha + 1ª linha � 1ª linha 
(2) x3ª linha + 2ª linha � 2ª linha 
�
(-3) x 2ª linha + 1ª linha � 1ª linha 
(2) x2ª linha + 3ª linha � 3ª linha 
�