Aula_01_-_Integrais_improprias-dd5fc884a6554dcf8a4e42efdc1c0150

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Integrais Impróprias
ENGENHARIA MECÂNICA
CDI II
Prof. Abimael Lopes de Melo
abimael@ifpi.edu.br
mailto:abimael@cefetpi.br
Integrais Impróprias
Considere a função f(x) esboça a seguir. Motivação:
Pense e responda:
dx
x
1
A
5.2
1
2 

5.2
1
2dxx
5.2
1
12
12
x










 5.2
1x
1













 1
5.2
1
u.a. 6.014.0 
Se você fizer o limite superior da integral crescer ilimitadamente o que
acontece com a área da região sob o gráfico de f?
A área sob o gráfico de f entre 1 e 2,5 é dada por:
dx
x
1
A
5.2
1
2
Você pode pensar que esta área cresce infinitamente, mas observe com mais 
cuidado.
  dx
x
1
A
t
1
2
t
1
12
12
x










1
t
1

E quando você faz o valor de t crescer ilimitadamente, -1/t tende a zero.
Assim, 1
t
1
1)t(A  Logo, esta área é menor que 1, qualquer 
que seja o valor de t.
Então você pode escrever:
Note que a área A é função de t.


)t(Alim
t







 t
1
1lim
t












dx
x
1
lim
t
1
2t
1
Portanto, a área da região ilimitada sob o gráfico da função f, à direita de 
x = 1 é igual a 1 u.a.
t
1
1)t(A 
Se dx)x(f
t
a
 existe para todo número at Definição 1: então defini-se: 
se este limite existe e é finito .
dx)x(f
a












 
dx)x(flim
t
a
t
Exemplo 1: dxe
1
x













 


dxelim
t
1
x
t 







 

t
1
x
t
elim
    1t
t
eelim 


 t1
t
eelim 


.a.u
e
1
0
e
1

Se dx)x(f
a
t
 existe para todo número at  então defini-se: 
dx)x(f
a












 
dx)x(flim
a
t
t
se este limite existe e é finito .
Definição 2:
Exemplo 2:
dx
x
1
1
2












 


dx
x
1
lim
1
t
2t
1
tt x
1
lim
















 t
1
1lim
t
1
As integrais das definições 1 e 2 são conhecidas como integrais
impróprias.
Quando o limite existe e é finito diz-se que a integral é convergente. Caso 
contrário, diz-se que a integral é divergente.
Exemplo 3: dx
x
1
1












 
dx
x
1
lim
t
1
t
  






t
1t
xlnlim
 )1ln()tln(lim
t


)tln(lim
t 
 
Logo, a dx
x
1
1


é divergente.Neste caso, a área dessa região é infinita .
Se a função f(x) é não negativa, qualquer uma dessas integrais impróprias 
podem ser interpretadas como uma área.
Definição 3
Se as integrais impróprias dx)x(f
a


dx)x(f
a


e são convergente, então defini-se:



dx)x(f dx)x(f
a


dx)x(f
a


O número a pode ser qualquer real.
Exemplo 4: 



dx
x1
1
2



dx
x1
1
0
2
dx
x1
1
0
2





dx
x1
1
0
2


dx
x1
1
lim
0
t
2t


0
t
t
)x(arctglim  

)t(arctg)0(arctglim
t
2/)2/( 



dx
x1
1
0
2


dx
x1
1
lim
t
0
2t


t
0
t
)x(arctglim  

)0(arctg)t(arctglim
t
2/
 

)t(arctglim
t
 

)t(arctglim
t
Assim,




dx
x1
1
2



dx
x1
1
0
2
dx
x1
1
0
2



Integrais Impróprias – Tipo 2
Considere a função f(x) esboça a seguir. Motivação:
dx
2x
1
A
5
3
 

A área sob o gráfico de f no intervalo [3,5] é dada por:
Pense e responda:
A área da região ilimitada sob o gráfico da função f no intervalo ]2,5] é finita? 
Então,
  dx2x
5
3
2/1


u2x  dudx 
duu 2/1






12/1
u )12/1(
u2
2/1
u )2/1(

c2x2 
   232252    .a.u232 
  dx2x 2/1


  dx2x 2/1


dx
2x
1
A
5
3
 
  5
3
2x2 
Comece observando que a função f não está definida em x = 2 e que a 
reta x = 2 é uma assíntota do gráfico de f.
Você pode calcular a área sob o gráfico 
de f para todo 2 < t < 5, ou seja,
dx
2x
1
A
5
t
 
  5
t
2x2 
   2t2252A 
2t232)t(A 
Então você pode escrever:


)t(Alim
2t












5
t
2t
dx
2x
1
lim  

2t232lim
2t
u.a. 32
Portanto, a área da região ilimitada sob o gráfico da função f no intervalo ]2 ,5] 
é igual a u.a. 32
Definição 1
Se a função f(x) é contínua em ]a,b] e descontínua em a, então 
dx)x(f
b
a
 









 
dx)x(flim
b
t
at
se este limite existe e é finito.
 )tln(tlim
0t 
1
0t t
)tln(
lim

 

2
0t t
t/1
lim

 










2
0t
t
t
1
lim  tlim
0t


0
Exemplo 1: Comece observando que a função f (x) = ln(x) 
não está definida em x =0 e que a reta x = 0 é 
uma assíntota do gráfico de f.
dx)xln(
1
0
 









 
dx)xln(lim
1
t
0t
 dx)xln( cx)xln(x 
 dx)xln(
1
0
 1
t
0t
x)xln(xlim 

    t)tln(t1)1ln(1lim
0t


 1)tln(ttlim
0t


1
dx)xln(
1
0

Aplique L’Hospital para calcular o limite:
Definição 2
Se a função f(x) é contínua em [a,b[ e descontínua em b, então 
dx)x(f
b
a
 









 
dx)x(flim
t
a
bt
Exemplo 2: dx
x2
1
2
1
 
dx
x2
1
lim
t
1
2t
 


ux2 
du)1(u 2/1 

dudx 

 dx
x2
1
t222 
duu 2/1


 t
1
x22     122t22 
dx
x2
1
2
1
 
 t222lim
2t


2
u2
2/1
u )2/1(

cx22 
dx
x2
1
t
1
 
se este limite existe e é 
finito.
Exemplo 3:
dx
)2x(
1
2
1
2  










 
dx
)2x(
1
lim
t
1
2
2t

















t
12t 2x
1
lim





















 21
1
2t
1
lim
2t
 Logo, esta integral é divergente.
As integrais das definições 1 e 2 são conhecidas também como integrais 
impróprias.
Quando o limite existe e é finito diz-se que a integral é convergente. 
Caso contrário, diz-se que a integral é divergente.
Se a função f(x) é não negativa, qualquer uma dessas integrais impróprias 
podem ser interpretadas como uma área.
Definição 3
Se a função f(x) for descontínua em c, onde a < c < b e 
e são convergente, então defini-se:
 dx)x(f
b
a
 dx)x(f
c
a
dx)x(f
b
c
dx)x(f
c
a

dx)x(f
b
c

Exemplo 4: dxxln
1
1

 dxxln
1
1


 

dxxln
0
1
dxxln
1
0



dxxln
1
1
2)1(1 


dxxln
0
1
Vamos calcular a integral,












 
dx)xln(lim
t
1
0t
 dx)xln(  )du()uln(
  du)uln(  u)uln(u 
  c)x()xln(x 
ux  dudx 
Assim,
cx)xln(x 


dxxln
0
1
  t
1
0t
xxx




)ln(lim
    111ttt
0t


)ln()ln(lim  1t)tln(tlim
0t


1
 )tln(tlim
0t


1
0t t
)tln(
lim




 2
0t t
t/1
lim

 










2
0t
t
t
1
lim  tlim
0t


0