trabalho -R

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a) \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) 
b) \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) 
c) \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \) 
d) \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) 
 
**Resposta:** b) \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) 
**Explicação:** A matriz já está na forma normal de Jordan. 
 
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**15.** Qual é a integral de \( \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \)? 
a) \( \sqrt{\pi} \) 
b) \( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \) 
c) \( \frac{\pi}{2} \) 
d) \( \pi \) 
 
**Resposta:** a) \( \sqrt{\pi} \) 
**Explicação:** A integral é conhecida como a integral de Gauss e seu valor é \( \sqrt{\pi} \). 
 
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**16.** Resolva a equação \( \log_{2}(x) + \log_{2}(x-1) = 3 \). 
a) \( 4 \) 
b) \( 5 \) 
c) \( 6 \) 
d) \( 7 \) 
 
**Resposta:** b) \( 5 \) 
**Explicação:** Usando a propriedade dos logaritmos, \( \log_{2}(x(x-1)) = 3 \), então \( x(x-1) 
= 2^3 = 8 \). Resolvendo \( x^2 - x - 8 = 0 \), obtemos \( x = 5 \). 
 
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**17.** Qual é o produto interno entre os vetores \( \mathbf{u} = (1, 2, 3) \) e \( \mathbf{v} = 
(4, -5, 6) \)? 
a) \( 32 \) 
b) \( 35 \) 
c) \( 39 \) 
d) \( 29 \) 
 
**Resposta:** a) \( 32 \) 
**Explicação:** O produto interno é \( 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-5) + 3 \cdot 6 = 4 - 10 + 18 = 12 \). 
 
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**18.** Qual é a fórmula para o número de combinações de \( n \) elementos tomados \( k \) 
de cada vez? 
a) \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \) 
b) \( \frac{n!}{k!(n+k)!} \) 
c) \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \) 
d) \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \) 
 
**Resposta:** a) \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \) 
**Explicação:** A fórmula para combinações é dada por \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \). 
 
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**19.** Qual é a integral de \( \int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx \)? 
a) \( \ln(\ln(x)) + C \) 
b) \( \ln(x) + C \) 
c) \( \frac{1}{\ln(x)} + C \) 
d) \( \frac{1}{x \ln(x)} + C \) 
 
**Resposta:** a) \( \ln(\ln(x)) + C \) 
**Explicação:** Usando substituição, \( u = \ln(x) \) e \( du = \frac{1}{x} dx \), então a integral 
se torna \( \int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C = \ln(\ln(x)) + C \). 
 
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**20.** Resolva a equação \( \sin^2(x) - \cos^2(x) = 0 \). 
a) \( x = \frac{\pi}{4} + n\pi \) 
b) \( x = \frac{\pi}{2} + n\pi \) 
c) \( x = n\pi \) 
d) \( x = \frac{\pi}{3} + n\pi \) 
 
**Resposta:** a) \( x = \frac{\pi}{4} + n\pi \) 
**Explicação:** Usando a identidade \( \sin^2(x) - \cos^2(x) = -\cos(2x) \), temos \( -\cos(2x) = 
0 \), então \( \cos(2x) = 0 \). Isso ocorre quando \( 2x = \frac{\pi}{2} + n\pi \), então \( x = 
\frac{\pi}{4} + n\pi \). 
 
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**21.** Se \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \), qual é o valor de \( f''(x) \) em \( x = 1 \)? 
a) \( 6 \) 
b) \( -6 \) 
c) \( 2 \) 
d) \( 0 \) 
 
**Resposta:** a) \( 6 \) 
**Explicação:** A segunda derivada \( f''(x) = 6x - 6 \). Em \( x = 1 \), \( f''(1) = 6 \cdot 1 - 6 = 6 
\). 
 
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**22.** Qual é o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por \( y = x^2 \) e \( 
y = 4 \) em torno do eixo \( x \)?