matematica BI

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- b) \( \sin^2(x) - \cos^2(x) \) 
 - c) \( \cos(2x) \) 
 - d) \( \sin(2x) \) 
 
 **Resposta:** a) \( \cos^2(x) - \sin^2(x) \) 
 **Explicação:** Usando identidades trigonométricas, \( \cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(2x) \). 
 
31. **Qual é o valor de \( \frac{d}{dx} (e^x \cdot \sin(x)) \)?** 
 - a) \( e^x \cdot (\sin(x) + \cos(x)) \) 
 - b) \( e^x \cdot \cos(x) \) 
 - c) \( e^x \cdot \sin(x) \) 
 - d) \( e^x \cdot (\sin(x) - \cos(x)) \) 
 
 **Resposta:** a) \( e^x \cdot (\sin(x) + \cos(x)) \) 
 **Explicação:** Usando a regra do produto, a derivada é \( e^x \cdot \sin(x) + e^x \cdot 
\cos(x) = e^x \cdot (\sin(x) + \cos(x)) \). 
 
32. **Qual é a solução geral da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = y \)?** 
 - a) \( y = Ce^x \) 
 - b) \( y = C e^{-x} \) 
 - c) \( y = C \ln(x) \) 
 - d) \( y = Cx \) 
 
 **Resposta:** a) \( y = Ce^x \) 
 **Explicação:** A solução da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = y \) é \( y = Ce^x \). 
 
33. **Qual é o valor de \( \frac{d}{dx} (x^2 \ln(x)) \)?** 
 - a) \( 2x \ln(x) + x \) 
 - b) \( 2x \ln(x) - x \) 
 - c) \( x^2 \ln(x) \) 
 - d) \( x^2 \) 
 
 **Resposta:** a) \( 2x \ln(x) + x \) 
 **Explicação:** Usando a regra do produto, a derivada é \( \frac{d}{dx} (x^2) \cdot \ln(x) + 
x^2 \cdot \frac{d}{dx} (\ln(x)) = 2x \ln(x) + x \). 
 
34. **Qual é a fórmula para a área de um triângulo com base \( b \) e altura \( h \)?** 
 - a) \( \frac{1}{2} b h \) 
 - b) \( b h \) 
 - c) \( b + h \) 
 - d) \( b \times h \) 
 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2} b h \) 
 **Explicação:** A fórmula para a área de um triângulo é \( \frac{1}{2} b h \). 
 
35. **Qual é o valor de \( \int e^{-x} \, dx \)?** 
 - a) \( -e^{-x} + C \) 
 - b) \( e^{-x} + C \) 
 - c) \( -e^x + C \) 
 - d) \( e^x + C \) 
 
 **Resposta:** a) \( -e^{-x} + C \) 
 **Explicação:** Integrando \( e^{-x} \), obtemos \( -e^{-x} + C \). 
 
36. **Qual é o valor da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \)?** 
 - a) \( e - 1 \) 
 - b) \( e \) 
 - c) \( e^2 - 1 \) 
 - d) \( e \cdot 2 \) 
 
 **Resposta:** b) \( e \) 
 **Explicação:** A série \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \) é a série de Taylor para \( e \), 
então a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} = e - 1 \), pois começamos com \( n = 1 \). 
 
37. **Qual é a fórmula para a área de um cilindro?** 
 - a) \( 2 \pi r (r + h) \) 
 - b) \( \pi r^2 h \) 
 - c) \( 2 \pi r h \) 
 - d) \( \pi r^2 \) 
 
 **Resposta:** a) \( 2 \pi r (r + h) \) 
 **Explicação:** A área total de um cilindro é dada por \( 2 \pi r (r + h) \), onde \( r \) é o raio 
e \( h \) é a altura. 
 
38. **Qual é o valor da soma dos primeiros \( n \) quadrados inteiros?** 
 - a) \( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \) 
 - b) \( \frac{n(n+1)}{2} \) 
 - c) \( \frac{n^2(n+1)}{2} \) 
 - d) \( \frac{n(n+1)(n+2)}{3} \) 
 
 **Resposta:** a) \( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \) 
 **Explicação:** Esta é a fórmula para a soma dos primeiros \( n \) quadrados inteiros. 
 
39. **Qual é a fórmula para a área de um setor circular?** 
 - a) \( \frac{1}{2} r^2 \theta \) 
 - b) \( r^2 \theta \) 
 - c) \( \pi r^2 \theta \) 
 - d) \( \frac{1}{2} r \theta \) 
 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2} r^2 \theta \) 
 **Explicação:** A fórmula para a área de um setor circular é \( \frac{1}{2} r^2 \theta \), onde 
\( \theta \) está em radianos. 
 
40. **Qual é a fórmula para a área de um paralelogramo com base \( b \) e altura \( h \)?** 
 - a) \( b h \)