raiz -o

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**5.** Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\). 
**Resposta:** \(1\) 
**Explicação:** Usando a definição de limite ou a série de Taylor para \(\sin(x)\), o limite é 
\(1\). 
 
**6.** Calcule a integral definida \(\int_{1}^{2} (3x^2 - 2x + 1) \, dx\). 
**Resposta:** \(\frac{14}{3}\) 
**Explicação:** \(\int_{1}^{2} (3x^2 - 2x + 1) \, dx = \left[ x^3 - x^2 + x \right]_{1}^{2} = (8 - 4 + 
2) - (1 - 1 + 1) = 6 - 1 = \frac{14}{3}\). 
 
**7.** Resolva a equação \(\int e^{-x} \, dx\). 
**Resposta:** \(-e^{-x} + C\) 
**Explicação:** A integral é \(\int e^{-x} \, dx = -e^{-x} + C\), usando a substituição \(u = -x\). 
 
**8.** Encontre a série de Taylor de \(f(x) = \cos(x)\) em torno de \(x = 0\). 
**Resposta:** \(\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\) 
**Explicação:** A série de Taylor para \(\cos(x)\) é dada pela soma alternada dos termos 
\(\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}\). 
 
**9.** Determine a raiz quadrada de \(16\) usando o método de Newton-Raphson. 
**Resposta:** \(4\) 
**Explicação:** A iteração do método de Newton-Raphson para encontrar a raiz de \(x^2 - 16 
= 0\) converge para \(x = 4\). 
 
**10.** Calcule a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\). 
**Resposta:** \(f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\) 
**Explicação:** Usando a regra da cadeia: \(f'(x) = \frac{d}{dx} \ln(x^2 + 1) = \frac{1}{x^2 + 1} 
\cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = \frac{2x}{x^2 + 1}\). 
 
**11.** Resolva a equação \(x^2 + 2x - 3 = 0\). 
**Resposta:** \(x = 1\) e \(x = -3\) 
**Explicação:** Fatorando: \((x + 3)(x - 1) = 0\), portanto \(x = 1\) e \(x = -3\). 
 
**12.** Calcule \(\int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx\). 
**Resposta:** \(2\) 
**Explicação:** \(\int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx = \left[-\cos(x)\right]_{0}^{\pi} = -(-1 - 1) = 2\). 
 
**13.** Determine o valor de \(\int_{0}^{1} e^{-x^2} \, dx\). 
**Resposta:** Aproximadamente \(0.7468\) 
**Explicação:** Esta integral não tem uma solução elementar e é aproximada numericamente. 
 
**14.** Resolva a equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}\). 
**Resposta:** \(y^2 = \frac{x^2}{2} + C\) 
**Explicação:** Separando as variáveis e integrando: \(\int y \, dy = \int x \, dx\), resultando 
em \(y^2 = \frac{x^2}{2} + C\). 
 
**15.** Calcule a derivada de \(f(x) = \arctan(x)\). 
**Resposta:** \(f'(x) = \frac{1}{1 + x^2}\) 
**Explicação:** Usando a fórmula padrão para a derivada da função arco-tangente. 
 
**16.** Encontre a integral indefinida \(\int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx\). 
**Resposta:** \(\ln|\ln(x)| + C\) 
**Explicação:** Usando a substituição \(u = \ln(x)\), a integral se transforma em \(\int 
\frac{1}{u} \, du\). 
 
**17.** Determine a solução geral da equação diferencial \(\frac{d^2y}{dx^2} - 4y = 0\). 
**Resposta:** \(y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}\) 
**Explicação:** A equação diferencial característica é \(r^2 - 4 = 0\), resultando nas soluções 
\(r = \pm 2\). 
 
**18.** Calcule a integral definida \(\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx\). 
**Resposta:** \(1\) 
**Explicação:** \(\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx = \left[ \ln(x) \right]_{1}^{e} = \ln(e) - \ln(1) = 1\).