Prévia do material em texto

**Explicação:** Use a substituição \( u = x^2 \) para resolver. 
 
43. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y' = \frac{y}{x} \) com condição inicial \( 
y(1) = 2 \). 
 **Resposta:** \( y = 2x \) 
 **Explicação:** Usando separação de variáveis, a solução é \( y = Cx \) e aplicando a 
condição inicial. 
 
44. **Problema:** Encontre a série de Taylor para \( e^x \) em torno de \( x = 0 \). 
 **Resposta:** \( 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \) 
 **Explicação:** A série de Taylor para \( e^x \) é a soma das potências de \( x \) divididas 
pelos fatoriais. 
 
45. **Problema:** Determine a integral \( \int_0^\pi \cos^3(x) \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{4}{3} \) 
 **Explicação:** Use a identidade \( \cos^3(x) = \frac{3 \cos(x) + \cos(3x)}{4} \). 
 
46. **Problema:** Encontre a solução da equação diferencial \( y' + 3y = e^{-x} \). 
 **Resposta:** \( y = C e^{-3x} - \frac{e^{-x}}{4} \) 
 **Explicação:** Use o método de fatores integrantes para resolver. 
 
47. **Problema:** Calcule o valor da integral \( \int_{0}^{\pi/2} \sin^2(x) \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{\pi}{4} \) 
 **Explicação:** Usando a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \), a integral é 
simplificada. 
 
48. **Problema:** Encontre a transformada de Laplace de \( \cos(at) \). 
 **Resposta:** \( 
 
 \frac{s}{s^2 + a^2} \) 
 **Explicação:** A transformada de Laplace de \( \cos(at) \) segue esta fórmula. 
 
49. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y'' + 4y = 0 \). 
 **Resposta:** \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \) 
 **Explicação:** A solução é obtida usando funções trigonométricas devido às raízes do 
polinômio característico. 
 
50. **Problema:** Calcule a integral de \( \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \arctan(x) + C \) 
 **Explicação:** A integral é uma forma padrão que resulta na função arco-tangente. 
 
51. **Problema:** Encontre a série de Taylor para \( \ln(1 + x) \) em torno de \( x = 0 \). 
 **Resposta:** \( x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \) 
 **Explicação:** A série de Taylor para \( \ln(1 + x) \) é uma série alternada. 
 
52. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} + 9y = 0 \). 
 **Resposta:** \( y = C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x) \) 
 **Explicação:** A solução envolve funções trigonométricas com a frequência determinada 
pela raiz do polinômio característico. 
 
53. **Problema:** Determine o valor da integral \( \int_{0}^{1} x e^{-x^2} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{1 - e^{-1}}{2} \) 
 **Explicação:** Use a substituição \( u = x^2 \) para resolver. 
 
54. **Problema:** Encontre o valor da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} \). 
 **Resposta:** 2 
 **Explicação:** Esta é uma série geométrica ajustada e pode ser somada usando fórmulas 
conhecidas. 
 
55. **Problema:** Calcule a integral de \( \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{\pi}{2} \) 
 **Explicação:** A integral é conhecida como a integral do arco-tangente sobre o intervalo \( 
(0, \infty) \).