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50. **Problema:** Encontre a integral \( \int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{e^x + 1} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{\pi^2}{6} \). 
 **Explicação:** Usamos métodos avançados, como a série de Laurent, para calcular a 
integral. 
 
51. **Problema:** Calcule a integral \( \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{\pi}{2a} \). 
 **Explicação:** Usamos a fórmula conhecida para integrais envolvendo funções racionais. 
 
52. **Problema:** Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' + y = 0 \). 
 **Resposta:** \( y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) \). 
 **Explicação:** A solução é encontrada resolvendo a equação característica. 
 
53. **Problema:** Encontre o valor de \( \int_{0}^{2\pi} \sin^3(x) \, dx \). 
 **Resposta:** \( 0 \). 
 **Explicação:** A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero. 
 
54. **Problema:** Resolva a equação \( \frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - x^2}{2xy} \). 
 **Resposta:** \( \frac{y}{x} = \pm \sqrt{C - \ln(x^2)} \). 
 **Explicação:** Usamos separação de variáveis e integração para encontrar a solução. 
 
55. **Problema:** Determine o número de pontos de interseção das curvas \( y = x^2 \) e \( y 
= \sqrt{x} \). 
 **Resposta:** 2 pontos. 
 **Explicação:** Igualando as duas expressões e resolvendo \( x^2 = \sqrt{x} \) obtemos os 
pontos de interseção. 
 
56. **Problema:** Encontre a transformada de Laplace de \( t^n \). 
 **Resposta:** \( \frac{n!}{s^{n+1}} \). 
 **Explicação:** Usamos a fórmula da transformada de Laplace para funções potenciais. 
 
57. **Problema:** Calcule a integral \( \int_{0}^{1} x e^{x^2} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{e - 1}{2} \). 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^2 \) para simplificar a integral. 
 
58. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} + 4y = 0 \). 
 **Resposta:** \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \). 
 **Explicação:** Usamos a solução característica \( r^2 + 4 = 0 \) para encontrar a solução 
geral. 
 
59. **Problema:** Determine a integral \( \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-x}}{x^2 + 1} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{\pi}{2e} \). 
 **Explicação:** Usamos técnicas de integração complexa ou transformadas para calcular a 
integral. 
 
60. **Problema:** Encontre o volume da região entre as superfícies \( z = x^2 + y^2 \) e \( z = 4 
\). 
 **Resposta:** \( \frac{16\pi}{3} \). 
 **Explicação:** Usamos coordenadas cilíndricas para calcular o volume. 
 
61. **Problema:** Resolva a equação \( \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} \). 
 **Resposta:** \( y = C x \). 
 **Explicação:** Usamos separação de variáveis e integração para encontrar a solução. 
 
62. **Problema:** Determine a série de Taylor de \( \ln(x) \) em torno de \( x = 1 \). 
 **Resposta:** \( \ln(x) = (x - 1) - \frac{(x - 1)^2}{2} + \frac{(x - 1)^3}{3} - \cdots \). 
 **Explicação:** Usamos a expansão em série de Taylor para a função logarítmica. 
 
63. **Problema:** Encontre a transformada de Laplace de \( \sin(at) \). 
 **Resposta:** \( \frac{a}{s^2 + a^2} \). 
 **Explicação:** Usamos a fórmula padrão para a transformada de Laplace de funções 
trigonométricas. 
 
64. **Problema:** Resolva o sistema de equações \( \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + 3z = 
14 \\ -x + 4y - z = 5 \end{cases} \).