ensino XXXV

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- b) \( \ln(e) \) 
 - c) \( e - 1 \) 
 - d) \( \ln(e) - 1 \) 
 - **Resposta:** a) \( \ln(e) - \ln(1) \) 
 - **Explicação:** A integral de \(\frac{1}{x}\) é \(\ln|x|\). Avaliando de 1 a \(e\), obtemos \( 
\ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1 \). 
 
13. **Qual é a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\)?** 
 - a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 - b) \( \frac{x}{x^2 + 1} \) 
 - c) \( \frac{2x}{x^2 + 1} - \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 - d) \( \frac{x}{x^2 + 1} - \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 - **Resposta:** a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 - **Explicação:** Usando a regra da cadeia, a derivada de \( \ln(x^2 + 1) \) é \( \frac{1}{x^2 + 
1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 
14. **Qual é a soma da série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 1}\)?** 
 - a) \(\frac{\pi}{2}\) 
 - b) \(\frac{\pi}{4}\) 
 - c) \(\frac{\pi}{6}\) 
 - d) \(\frac{\pi}{3}\) 
 - **Resposta:** d) \(\frac{\pi}{3}\) 
 - **Explicação:** A soma desta série é conhecida por ser \(\frac{\pi}{3}\), que pode ser 
encontrada por meio de técnicas avançadas de análise. 
 
15. **Qual é o valor do determinante da matriz \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 
\end{bmatrix}\)?** 
 - a) -2 
 - b) 2 
 - c) -1 
 - d) 0 
 - **Resposta:** a) -2 
 - **Explicação:** O determinante é calculado como \(1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2\). 
 
16. **Se \( f(x) = x^2 e^x \), qual é a sua segunda derivada \( f''(x) \)?** 
 - a) \( (x^2 + 2x) e^x \) 
 - b) \( (x^2 + 2x) e^x + 2 e^x \) 
 - c) \( (x^2 + 2x) e^x \) 
 - d) \( (x^2 + 2x) e^x - 2 e^x \) 
 - **Resposta:** a) \( (x^2 + 2x) e^x \) 
 - **Explicação:** Aplicando a regra do produto e depois derivando novamente, obtemos \( 
(x^2 + 2x) e^x \). 
 
17. **Qual é o valor de \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}\)?** 
 - a) 0 
 - b) 1 
 - c) \(\infty\) 
 - d) -1 
 - **Resposta:** a) 0 
 - **Explicação:** O denominador cresce exponencialmente mais rápido que o numerador, 
resultando em 0. 
 
18. **Qual é a forma geral da solução para a equação diferencial \( y' - 2y = e^{3x} \)?** 
 - a) \( y = Ce^{2x} + \frac{e^{3x}}{5} \) 
 - b) \( y = Ce^{2x} + \frac{e^{3x}}{5} \) 
 - c) \( y = Ce^{2x} - \frac{e^{3x}}{5} \) 
 - d) \( y = Ce^{2x} + \frac{e^{3x}}{2} \) 
 - **Resposta:** a) \( y = Ce^{2x} + \frac{e^{3x}}{5} \) 
 - **Explicação:** A solução da equação diferencial é a soma da solução da homogênea 
\(Ce^{2x}\) e uma solução particular \( \frac{e^{3x}}{5} \). 
 
19. **Qual é o valor da integral \( \int x e^x \, dx \)?** 
 - a) \( e^x(x - 1) + C \) 
 - b) \( e^x(x + 1) + C \) 
 - c) \( e^x(x + 1) - C \) 
 - d) \( e^x(x - 1) - C \) 
 - **Resposta:** a) \( e^x(x - 1) + C \) 
 - **Explicação:** Usando a integração por partes, temos \( \int x e^x \, dx = e^x(x - 1) + C \). 
 
20. **Se a função \( f(x) \) é contínua e derivável e \( f'(x) = 3x^2 - 4x + 1 \), qual é a integral de 
\( f'(x) \)?** 
 - a) \( x^3 - 2x^2 + x + C \) 
 - b) \( x^3 - 2x^2 + 1 + C \) 
 - c) \( x^3 - 4x^2 + x + C \) 
 - d) \( x^3 - 2x^2 + 2x + C \) 
 - **Resposta:** a) \( x^3 - 2x^2 + x + C \) 
 - **Explicação:** Integrando \( f'(x) = 3x^2 - 4x + 1 \), obtemos \( x^3 - 2x^2 + x + C \). 
 
21. **Qual é o valor da integral \( \int_0^\pi \cos^2(x) \, dx \)?** 
 - a) \( \frac{\pi}{2} \) 
 - b) \( \frac{\pi}{4} \) 
 - c) \( \pi \) 
 - d) \( \frac{\pi}{6} \) 
 - **Resposta:** a) \( \frac{\pi}{2} \) 
 - **Explicação:** Usando a identidade \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\), a integral se 
simplifica para \( \int_0^\pi \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{\pi}{2} \). 
 
22. **Qual é o resultado de \( \frac{d}{dx} \left[ \frac{1}{x} \right] \)?** 
 - a) \( -\frac{1}{x^2} \) 
 - b) \( \frac{1}{x^2} \) 
 - c) \( -\frac{1}{x} \) 
 - d) \( \frac{1}{x} \) 
 - **Resposta:** a) \( -\frac{1}{x^2} \) 
 - **Explicação:** A derivada de \( \frac{1}{x} \) é \( -\frac{1}{x^2} \) usando a regra da 
potência.