testes de aula 44

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9. **Problema:** Determine o valor de \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)} \). 
 **Resposta:** 1. **Explicação:** Usando a técnica de frações parciais, a série telescópica 
converge para 1. 
 
10. **Problema:** Resolva a equação \(e^x - 3e^{x/2} + 2 = 0\). 
 **Resposta:** \(x = 2 \ln 2\). **Explicação:** Substitua \(e^{x/2} = t\), transformando a 
equação em uma quadrática. 
 
11. **Problema:** Qual é a raiz quadrada de \(50 + 30\sqrt{2}\)? 
 **Resposta:** \(5 + 3\sqrt{2}\). **Explicação:** Resolva \((a + b\sqrt{2})^2\) e iguale aos 
termos dados para encontrar \(a\) e \(b\). 
 
12. **Problema:** Qual é o valor de \( \log_2(16) \)? 
 **Resposta:** 4. **Explicação:** \(16 = 2^4\), então \(\log_2(16) = 4\). 
 
13. **Problema:** Qual é a soma dos quadrados dos 3 primeiros números primos? 
 **Resposta:** 50. **Explicação:** \(2^2 + 3^2 + 5^2 = 4 + 9 + 25 = 50\). 
 
14. **Problema:** Encontre a integral definida de \(\int_{0}^{\pi/2} \sin^2 x \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{4}\). **Explicação:** Use a identidade \(\sin^2 x = \frac{1 - 
\cos(2x)}{2}\) e integre. 
 
15. **Problema:** Resolva \(x^2 + 6x + 9 = 0\) e dê a solução única. 
 **Resposta:** \(x = -3\). **Explicação:** A equação é um quadrado perfeito \((x + 3)^2 = 
0\). 
 
16. **Problema:** Qual é a soma dos inversos dos 5 primeiros números primos? 
 **Resposta:** \(\frac{77}{30}\). **Explicação:** A soma é \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + 
\frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} = \frac{77}{30}\). 
 
17. **Problema:** Encontre a solução para a equação \(x^2 - 2x + 1 = 0\). 
 **Resposta:** \(x = 1\). **Explicação:** A equação é um quadrado perfeito \((x - 1)^2 = 0\). 
 
18. **Problema:** Qual é a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\)? 
 **Resposta:** \(\frac{2x}{x^2 + 1}\). **Explicação:** Use a regra da cadeia para derivar. 
 
19. **Problema:** Qual é a solução para \( \sin x = \cos x \) no intervalo \([0, \pi/2]\)? 
 **Resposta:** \(x = \pi/4\). **Explicação:** \(\sin x = \cos x\) implica \(x = \pi/4\) nesse 
intervalo. 
 
20. **Problema:** Resolva a integral \(\int_{0}^{1} x e^{x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{2} e - \frac{1}{2}\). **Explicação:** Use a substituição \(u = x^2\). 
 
21. **Problema:** Qual é o determinante da matriz \(\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 
4\end{pmatrix}\)? 
 **Resposta:** \(-2\). **Explicação:** O determinante é dado por \(1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = -
2\). 
 
22. **Problema:** Determine o número de permutações possíveis das letras da palavra 
"MATEMÁTICA". 
 **Resposta:** 30240. **Explicação:** Contabilize as repetições e use a fórmula de 
permutação com repetições. 
 
23. **Problema:** Qual é a soma das raízes da equação \(x^3 - 3x + 2 = 0\)? 
 **Resposta:** 0. **Explicação:** Pela fórmula de Vieta, a soma das raízes de \(x^3 + bx + c = 
0\) é igual a zero. 
 
24. **Problema:** Resolva \(\int_{1}^{e} \frac{1}{x \ln x} \, dx\). 
 **Resposta:** 1. **Explicação:** Use a substituição \(u = \ln x\). 
 
25. **Problema:** Qual é o valor de \(\sum_{k=1}^{10} k^2\)? 
 **Resposta:** 385. **Explicação:** Use a fórmula da soma dos quadrados: 
\(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\). 
 
26. **Problema:** Qual é a solução da equação \(x^2 + 4x + 4 = 0\)?