9. Problema: Determine o valor de \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)} \).

Para determinar o valor da série \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)} \), podemos primeiro decompor a fração em frações parciais. Temos: \[ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1} \] Multiplicando ambos os lados por \( k(k+1) \), obtemos: \[ 1 = A(k+1) + Bk \] Para determinar os valores de \( A \) e \( B \), podemos substituir valores específicos de \( k \). Por exemplo, se substituirmos \( k = 0 \), obtemos: \[ 1 = A(1) + B(0) \] \[ A = 1 \] E se substituirmos \( k = -1 \), obtemos: \[ 1 = A(0) + B(-1) \] \[ B = -1 \] Portanto, a decomposição em frações parciais é: \[ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \] Agora, podemos reescrever a série original como: \[ \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) \] Ao simplificar a série, percebemos que muitos termos se cancelam, restando apenas o primeiro termo da série original: \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} - \frac{1}{\infty} = 1 \] Portanto, o valor da série \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)} \) é igual a 1.