Prévia do material em texto

33. **Problema:** Prove que a soma dos ângulos internos de um quadrado é \(360^\circ\). 
 **Resposta:** Verdadeiro. 
 **Explicação:** Um quadrado é um caso especial de um polígono com \(n = 4\) lados, então 
a soma dos ângulos internos é \((4-2) \cdot 180^\circ = 360^\circ\). 
 
34. **Problema:** Encontre o valor de \( \sum_{k=1}^{n} k \cdot (k+1) \). 
 **Resposta:** \(\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\). 
 **Explicação:** A soma pode ser encontrada por expansão e simplificação, resultando na 
fórmula \(\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\). 
 
35. **Problema:** Resolva a equação \(3^{x+1} = 81\). 
 **Resposta:** \(x = 3\). 
 **Explicação:** \(81 = 3^4\), então \(3^{x+1} = 3^4\) implica \(x + 1 = 4\), então \(x = 3\). 
 
36. **Problema:** Determine a área de um triângulo com lados \(6\), \(8\) e \(10\). 
 **Resposta:** \(24\). 
 **Explicação:** Este é um triângulo retângulo, então a área é \(\frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 
24\). 
 
37. **Problema:** Encontre a raiz quadrada de \(196\). 
 **Resposta:** \(14\). 
 **Explicação:** A raiz quadrada de \(196\) é \(14\), pois \(14^2 = 196\). 
 
38. **Problema:** Resolva o sistema de equações \( \begin{cases} x - y = 2 \\ x + y = 6 
\end{cases} \). 
 **Resposta:** \(x = 4\), \(y = 2\). 
 **Explicação:** Somando e subtraindo as equações, obtemos as soluções \(x = 4\) e \(y = 2\). 
 
39. **Problema:** Determine a inversa da matriz \(\begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 1 & 3 
\end{pmatrix}\). 
 **Resposta:** \(\begin{pmatrix} 3 & -7 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}\). 
 **Explicação:** Usando a fórmula para a inversa de uma matriz \(2 \times 2\), obtemos a 
inversa como mostrado. 
 
40. **Problema:** Calcule o valor de \( \frac{6!}{4! \cdot 2!} \). 
 **Resposta:** \(15\). 
 **Explicação:** A expressão é uma combinação \(\binom{6}{2}\), que resulta em \(15\). 
 
41. **Problema:** Prove que a soma dos cubos dos primeiros \(n\) números naturais é 
\(\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\). 
 **Resposta:** Verdadeiro. 
 **Explicação:** Esta fórmula é derivada usando a soma dos quadrados e a fórmula da soma 
dos primeiros \(n\) números naturais. 
 
42. **Problema:** Resolva a equação \( \log_{10}(x) + \log_{10}(2) = 3 \). 
 **Resposta:** \(x = 1000 / 2 = 500\). 
 **Explicação:** Usando a propriedade dos logaritmos, \( \log_{10}(x \cdot 2) = 3 \), então \(x 
\cdot 2 = 1000\), logo \(x = 500\). 
 
43. **Problema:** Determine a solução da 
 
 equação \(\cos(x) = \frac{1}{2}\) no intervalo \(0 \leq x < 2\pi\). 
 **Resposta:** \(x = \frac{\pi}{3}\) e \(x = \frac{5\pi}{3}\). 
 **Explicação:** \(\cos(x) = \frac{1}{2}\) é verdadeiro para os ângulos \(\frac{\pi}{3}\) e 
\(\frac{5\pi}{3}\). 
 
44. **Problema:** Calcule o valor de \( \frac{7!}{5! \cdot 2!} \). 
 **Resposta:** \(21\). 
 **Explicação:** A expressão é uma combinação \(\binom{7}{2}\), que resulta em \(21\). 
 
45. **Problema:** Determine a soma dos ângulos internos de um octógono. 
 **Resposta:** \(1080^\circ\). 
 **Explicação:** A soma dos ângulos internos de um polígono com \(n\) lados é \((n-2) \cdot 
180^\circ\). Para um octógono (\(n = 8\)), temos \((8-2) \cdot 180^\circ = 1080^\circ\).