aulas b cG

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17. **Problema:** Determine os valores de \( x \) para que a equação \( 2x^2 - kx + 1 = 0 \) 
tenha duas raízes iguais. 
 **Resposta:** \( k^2 = 8 \). 
 **Explicação:** O discriminante deve ser zero, então \( k^2 - 8 = 0 \). 
 
18. **Problema:** Resolva o sistema \( \begin{cases} 3x + 4y = 7 \\ 5x - 2y = 1 \end{cases} \). 
 **Resposta:** \( x = 1 \) e \( y = 1 \). 
 **Explicação:** Usando o método da eliminação, obtemos as soluções. 
 
19. **Problema:** Encontre o valor de \( k \) para que a equação \( x^2 - (k+1)x + 2k = 0 \) 
tenha uma raiz que é o dobro da outra. 
 **Resposta:** \( k = -2 \). 
 **Explicação:** Se uma raiz é \( r \), a outra é \( 2r \), e o sistema é resolvido para \( k \). 
 
20. **Problema:** Resolva \( x^2 + 3x - 10 = 0 \). 
 **Resposta:** \( x = 2 \) e \( x = -5 \). 
 **Explicação:** Usando a fórmula quadrática. 
 
21. **Problema:** Determine os valores de \( x \) para que \( x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 \) tenha 
uma raiz \( x = 1 \). 
 **Resposta:** O polinômio se fatoriza como \( (x-1)^3 \). 
 **Explicação:** Verificando \( x = 1 \) e fatorizando o polinômio. 
 
22. **Problema:** Resolva o sistema \( \begin{cases} 4x - 5y = -3 \\ 3x + y = 7 \end{cases} \). 
 **Resposta:** \( x = 2 \) e \( y = 1 \). 
 **Explicação:** Aplicando eliminação ou substituição. 
 
23. **Problema:** Encontre o valor de \( a \) para que \( x^2 + 4ax + a^2 + 2 = 0 \) tenha raízes 
reais. 
 **Resposta:** \( a^2 \geq -2 \). 
 **Explicação:** O discriminante deve ser maior ou igual a zero. 
 
24. **Problema:** Resolva \( x^2 - 7x + 12 = 0 \). 
 **Resposta:** \( 
 
 x = 3 \) e \( x = 4 \). 
 **Explicação:** Fatorizando o polinômio, encontramos as raízes. 
 
25. **Problema:** Determine os valores de \( k \) para que a equação \( x^2 - 4kx + 4k^2 - 1 = 
0 \) tenha exatamente uma raiz real. 
 **Resposta:** \( k = \pm \frac{1}{2} \). 
 **Explicação:** O discriminante deve ser zero. 
 
26. **Problema:** Resolva o sistema \( \begin{cases} 2x + 3y = 4 \\ x - y = 1 \end{cases} \). 
 **Resposta:** \( x = 2 \) e \( y = 1 \). 
 **Explicação:** Utilizando eliminação ou substituição. 
 
27. **Problema:** Encontre a soma das raízes da equação \( x^3 - 3x^2 + 4x - 12 = 0 \). 
 **Resposta:** A soma é 3. 
 **Explicação:** A soma das raízes de um polinômio cúbico é dada pelo coeficiente de \( x^2 
\) com sinal trocado. 
 
28. **Problema:** Resolva \( 4x^2 - 12x + 9 = 0 \). 
 **Resposta:** \( x = \frac{3}{2} \) (raiz dupla). 
 **Explicação:** Fatorizando a equação, obtemos uma raiz dupla. 
 
29. **Problema:** Determine os valores de \( k \) para que a equação \( x^2 + kx + k = 0 \) 
tenha raízes que somam 1. 
 **Resposta:** \( k = -1 \). 
 **Explicação:** A soma das raízes é dada por \( -k \), então \( -k = 1 \). 
 
30. **Problema:** Resolva \( x^2 - 5x + 6 = 0 \). 
 **Resposta:** \( x = 2 \) e \( x = 3 \). 
 **Explicação:** Fatorizando o polinômio, obtemos as raízes.