matematica XXV

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Explicação: Para que uma função seja derivável em um ponto, ela deve ser contínua nesse 
ponto, embora o inverso não seja necessariamente verdadeiro. 
 
87. Se a função \( f(x) = 3x^2 + 2x + 1 \), qual é o valor de \( f'(1) \)? 
 a) 6 
 b) 5 
 c) 3 
 d) 7 
 Resposta: a) 8 
 Explicação: Primeiramente, encontramos a derivada total \( f'(x) = 6x + 2 \). Assim, \( f'(1) = 
6(1) + 2 = 8 \). 
 
88. Qual é o resultado de \( \int_0^1 (x^2 + 1) \, dx \)? 
 a) \( 1 \) 
 b) \( 4/3 \) 
 c) \( 2 \) 
 d) \( 5/3 \) 
 Resposta: d) \( 5/3 \) 
 Explicação: A integral é dada por \( \int_0^1 (x^2 + 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x 
\right]_0^1 = \left(\frac{1^3}{3} + 1\right) - \left(0\right) = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3} \). 
 
89. O que significa que uma função \( f(x) \) tem um máximo absoluto em \( x = c \)? 
 a) \( f(c) > f(x) \) para todos \( x \) em um intervalo 
 b) \( f(c) < f(x) \) para todos \( x \) em um intervalo 
 c) \( f(c) \) não é definido 
 d) A derivada de \( f(c) = 0 \) 
 Resposta: a) \( f(c) > f(x) \) para todos \( x \) em um intervalo 
 Explicação: Um máximo absoluto indica que o valor de \( f(c) \) é maior ou igual a todos os 
valores da função em um determinado intervalo. 
 
90. O que caracteriza uma função contínua em um intervalo [a, b]? 
 a) Não ter máximos locais 
 b) Sua derivada é igual a zero 
 c) O limite da função é igual ao valor da função em [a, b] 
 d) Ter múltiplas raízes no intervalo 
 Resposta: c) O limite da função é igual ao valor da função em [a, b] 
 Explicação: Para que a função seja contínua no intervalo, precisamos que \( \lim_{x \to a^+} 
f(x) = f(a) \) e \( \lim_{x \to b^-} f(x) = f(b) \). 
 
91. Qual é o limite \( \lim_{x \to \infty} (3x^2 - 2x)^{1/2} \)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) Infinito 
 d) 3 
 Resposta: c) Infinito 
 Explicação: Para encontrar o limite, vemos que o termo dominante em \( 3x^2 - 2x \) é \( 
3x^2 \). Portanto, temos \( \lim_{x \to \infty} (3x^2)^{1/2} = \lim_{x \to \infty} \sqrt{3} x \) e 
isso tende ao infinito. 
 
92. Determine o valor da integral \( \int_3^5 (2x - 1) \, dx \). 
 a) 6 
 b) 8 
 c) 10 
 d) 4 
 Resposta: a) 4 
 Explicação: A integral é dada por \( \left[ x^2 - x \right]_3^5 = (5^2 - 5) - (3^2 - 3) = (25 - 5) - (9 
- 3) = 20 - 6 = 14 \). 
 
93. O que descreve um mínimo global em um gráfico de função? 
 a) É onde a derivada é negativa 
 b) É onde a função assume seu menor valor em um intervalo 
 c) É onde a função muda de concavidade 
 d) É uma raiz da função 
 Resposta: b) É onde a função assume seu menor valor em um intervalo 
 Explicação: Um mínimo global é o menor valor que a função não ultrapassa em seu domínio. 
 
94. Qual é a integral indefinida de \( f(x) = x^3 + 3x^2 \)? 
 a) \( \frac{x^4}{4} + C \) 
 b) \( \frac{x^3}{3} + C \) 
 c) \( \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + C \) 
 d) \( \frac{x^3}{3} + x^2 + C \) 
 Resposta: c) \( \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + C \) 
 Explicação: Ao integrar \( x^3 + 3x^2 \), obtemos \( \int (x^3 + 3x^2) \, dx = \frac{x^4}{4} + 
\frac{3x^3}{3} + C = \frac{x^4}{4} + x^3 + C \). 
 
95. Se \( f(x) = x^3 - 6 \), qual é a derivada de \( f(x) \)? 
 a) \( 4x^2 \) 
 b) \( 3x^2 \) 
 c) \( 6x \) 
 d) \( 3x^2 - 6 \) 
 Resposta: b) \( 3x^2 \) 
 Explicação: A derivada de \( x^3 - 6 \) é dada pela regra básica de potência, resultando em \( 
3x^2 \). 
 
96. Qual é o resultado do limite \( \lim_{x \to 1} \frac{3x^3 - 3}{x^2 - 1} \)? 
 a) 0 
 b) 3 
 c) 1 
 d) 6 
 Resposta: c) 3 
 Explicação: Para resolver isso, fatoramos o numerador: \( 3(x^3 - 1) = 3(x - 1)(x^2 + x + 1) \) e 
o denominador \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \), portanto, ao simplificar, obtemos \( 3 \cdot (x^2 + x 
+ 1) / (x + 1) \). 
 
97. O que indica que a integral de uma função \( f(x) \) é não convergente? 
 a) A função é contínua 
 b) A área sob a curva cresce indefinidamente 
 c) A função possui limites bem definidos 
 d) A função não tem raízes reais 
 Resposta: b) A área sob a curva cresce indefinidamente 
 Explicação: Uma integral não convergente significa que a soma da área sob a curva da função 
tende a infinito. 
 
98. Qual é a derivada de \( f(x) = \sqrt{x} + x^2 \)? 
 a) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x \) 
 b) \( 2\sqrt{x} + 2x \) 
 c) \( -\frac{1}{2x} + 2x \) 
 d) \( \frac{1}{4x^{3/2}} \) 
 Resposta: a) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x \) 
 Explicação: A derivada de \( \sqrt{x} \) é \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) e a derivada de \( x^2 \) é \( 
2x \). Portanto, a derivada total é \( \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x \). 
 
99. Se a função \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4 \), qual é o valor de \( f''(1) \)? 
 a) 0 
 b) 4 
 c) 6 
 d) 2 
 Resposta: c) 6 
 Explicação: Primeiramente, calculamos \( f'(x) = 6x^2 - 6x \). Agora encontramos \( f''(x) = 12x 
- 6 \). Avaliando em \( x = 1 \), temos \( f''(1) = 12(1) - 6 = 12 - 6 = 6 \). 
 
100. Determine a integral de \( f(x) = 7x^2 + 5x + 2 \). 
 a) \( \frac{7x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + 2x + C \) 
 b) \( 7x^2 + 5x + C \) 
 c) \( 7x^3 + 5x^2 + 2 + C \) 
 d) \( \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + C \) 
 Resposta: a) \( \frac{7x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + 2x + C \) 
 Explicação: A integral passa por cada termo individualmente: