matematica XXIV

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Explicação: A integral de uma constante \( c \) ao longo de um intervalo [a, b] é dada por \( 
c(b - a) \). Portanto, \( \int_{1}^{3} 5 \, dx = 5(3 - 1) = 5 \times 2 = 10 \). 
 
73. O que é uma função derivável? 
 a) Significa que a função é contínua 
 b) Significa que a derivada é igual a zero para todos os pontos 
 c) Significa que a função tem uma taxa de variação definida em todos os pontos do intervalo 
 d) Significa que a função é crescente 
 Resposta: c) Significa que a função tem uma taxa de variação definida em todos os pontos do 
intervalo 
 Explicação: Uma função é derivável em um ponto se a derivada existe e é igual a uma 
inclinacao instantânea de uma linha tangente nesse ponto. 
 
74. Qual é o resultado de \( \int_{0}^{1} x^3 \) dx? 
 a) 0.5 
 b) 0.25 
 c) 1/4 
 d) 1/2 
 Resposta: c) 0.25 
 Explicação: A integral é dada por \( \int x^3 dx = \frac{x^4}{4} \). Avaliando entre 0 e 1, temos 
\( \left[ \frac{1}{4} - 0 \right] = \frac{1}{4} \). 
 
75. Qual das alternativas representa a integral de \( x^2 \)? 
 a) \( \frac{x^3}{2} + C \) 
 b) \( \frac{1}{3}x^3 + C \) 
 c) \( 2x^3 + C \) 
 d) \( x^3 + C \) 
 Resposta: b) \( \frac{1}{3}x^3 + C \) 
 Explicação: A integral de \( x^n \) é \( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \), então a integral de \( x^2 \) 
resulta em \( \frac{x^3}{3} + C \). 
 
76. O que caracteriza uma função contínua em um intervalo [a, b]? 
 a) Não ter derivadas nesse intervalo 
 b) Ter valor no intervalo [f(a), f(b)] para cada valor \( x \) em [a, b] 
 c) Ter um máximo e mínimo local 
 d) A função deve ser crescente em todo o intervalo 
 Resposta: b) Ter valor no intervalo [f(a), f(b)] para cada valor \( x \) em [a, b] 
 Explicação: Para que uma função seja contínua em [a, b], a função deve assumir todos os 
valores entre \( f(a) \) e \( f(b) \) sem interrupções. 
 
77. Qual é o teorema fundamental do cálculo? 
 a) O cálculo é a soma de infinitas derivadas 
 b) Um teorema que define a continuidade de funções 
 c) Implica que a derivada de uma integral é a função original 
 d) Diz que funções contínuas são sempre deriváveis 
 Resposta: c) Implica que a derivada de uma integral é a função original 
 Explicação: O teorema fundamental do cálculo relaciona os conceitos de derivação e 
integração, estabelecendo que a derivada de uma função integral é a própria função. 
 
78. Determine o ponto mínimo da função \( f(x) = x^2 - 4x + 5 \). 
 a) (2, 1) 
 b) (1, 5) 
 c) (0, 5) 
 d) (2, 0) 
 Resposta: a) (2, 1) 
 Explicação: A função é uma parábola para cima. O ponto mínimo ocorre em \( x = -
\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(1)} = 2 \). Substituindo \( x = 2 \) na função, temos \( f(2) = 1 \). 
 
79. Calcule a derivada de \( f(x) = \frac{1}{x} + \ln(x) \). 
 a) \( -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} \) 
 b) \( -\frac{1}{x^2} + \ln(x) \) 
 c) \( \frac{1}{x} \) 
 d) \( -\frac{1}{x} + \frac{1}{x} \) 
 Resposta: a) \( -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} \) 
 Explicação: A derivada de \( \frac{1}{x} \) é \( -\frac{1}{x^2} \). A derivada de \( \ln(x) \) é \( 
\frac{1}{x} \), portanto, a derivada total é \( -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} \). 
 
80. Qual é o valor do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin(x)} \)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Não existe 
 Resposta: c) 0 
 Explicação: Usamos o fato de que \( \sin(x) \) é aproximadamente igual a \( x \) para valores 
pequenos de \( x \). Portanto, 
 \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to 0} x = 0 \). 
 
81. O que caracteriza uma função crescente? 
 a) \( f'(x) < 0 \) 
 b) \( f'(x) > 0 \) 
 c) \( f(x) \) é sempre positiva 
 d) O limite de \( f(x) \) é infinito 
 Resposta: b) \( f'(x) > 0 \) 
 Explicação: Uma função é crescente em um intervalo se, para todas as \( x_1 < x_2 \) nesse 
intervalo, temos \( f(x_1) < f(x_2) \). 
 
82. Determine a integral de \( f(x) = 4 \). 
 a) \( 4x + C \) 
 b) \( 2x + C \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( 4x^2 + C \) 
 Resposta: a) \( 4x + C \) 
 Explicação: A integral de uma constante \( c \) é \( cx + C \). Portanto, \( \int 4 \, dx = 4x + C \). 
 
83. Se \( f(x) = e^{x} + e^{-x} \), qual é a derivada de \( f(x) \)? 
 a) \( e^{x} - e^{-x} \) 
 b) \( e^{x} + e^{-x} \) 
 c) \( e^{2x} \) 
 d) \( -e^{-x} \) 
 Resposta: b) \( e^{x} + e^{-x} \) 
 Explicação: A derivada \( f'(x) = e^{x} - e^{-x} \). Portanto, obtemos que a derivada de \( e^{-x} 
\) altera o sinal. 
 
84. O que significa uma função ser integrável em um intervalo? 
 a) A função tem infinitas derivadas 
 b) A função pode ser definida em qualquer valor dentro do intervalo 
 c) A integral converge a um valor finito nesse intervalo 
 d) A função tem raízes reais 
 Resposta: c) A integral converge a um valor finito nesse intervalo 
 Explicação: Para que uma função seja integrável em um intervalo [a, b], é necessário que a 
integral definida converja a um valor finito. 
 
85. Determine o limite \( \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 + 3x}{5x^2 - 4} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Infinito 
 Resposta: c) 2 
 Explicação: Para encontrar o limite, dividimos todos os termos pelo maior grau de \( x^2 \): 
 \( \lim_{x \to +\infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{5 - \frac{4}{x^2}} = \frac{2 + 0}{5 - 0} = \frac{2}{5} 
\). 
 
86. O que caracteriza uma função derivável? 
 a) A função é contínua 
 b) A função possui todos os limites iguais 
 c) A função é essencialmente constante 
 d) A função é simétrica 
 Resposta: a) A função é contínua